陕西高二高中数学期末考试带答案解析

陕西高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠
，则tanα≠1
B ．若α=
，则tanα≠1
C ．若tanα≠1，则α≠
D ．若tanα≠1，则α=
2.已知椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
3.命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）
A ．不存在x ∈R ，x 3﹣x 2
+1≤0
B ．存在x ∈R ，x 3
﹣x 2
+1≤0
C ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2
+1＞0
D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2
+1＞0
4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ） A ．x 2
﹣
=1
B ．
﹣y 2
=1
C ．
﹣x 2
=1
D ．y 2
﹣
=1
5.抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1）
B ．（0，
）
C ．（1，0）
D ．（
，0）
6.已知双曲线﹣
=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7.在△ABC 中，“A=60°”是“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8.设F 1，F 2分别是椭圆+y 2=1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，求点P 的横坐标
为（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．
9.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，已知
=，=，=，则用向量，，
可表示向量为（ ）
A ．++
B ．﹣++
C ．﹣+
D ．﹣+﹣
10.已知椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若
|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=，则C 的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=
．平面OCB 1的法向量=（x ，y ，z ）为（ ）
A ．（0，1，1）
B ．（1，﹣1，1）
C ．（0，1，﹣1）
D ．（﹣1，﹣1，1）
12.抛物线y=2x 2上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y=x+m 对称，且x 1•x 2=﹣，则m 等于（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．3
二、填空题
1.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
2.双曲线
的离心率为，则m 等于 ．
3.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BC=AA 1，∠ABC=90°，则直线AB 1和BC 1所成的角
是 ．
4.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为 ．
5.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题
1.椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆经过点（，﹣） （1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
2.已知p ：∀x ∈R ，不等式x 2﹣mx+＞0恒成立，q ：椭圆+
=1的焦点在x 轴上，若“p 或q”为真，“p 且
q”为假，求实数m 的取值范围．
3.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°．
（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；
（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
4.已知椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O 到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为
c ．
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（x+2）2+（y ﹣1）2=的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．
陕西高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠
，则tanα≠1
B ．若α=
，则tanα≠1
C ．若tanα≠1，则α≠
D ．若tanα≠1，则α=
【答案】C
【解析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
【考点】四种命题间的逆否关系．
2.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）
A．2B．3C．5D．7
【答案】D
【解析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．
故选D．
【考点】椭圆的简单性质．
3.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
【答案】C
【解析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题
∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选C．
【考点】命题的否定．
4.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）
A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1
【答案】C
【解析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．
故选C．
【考点】双曲线的简单性质．
5.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A．（0，1）B．（0，）C．（1，0）D．（，0）
【答案】B
【解析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选B．
【考点】抛物线的简单性质．
6.已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c ，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b 2=c 2﹣a 2求得b ，则双曲线的方程可得． 解：抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0），
双曲线的方程为
故选D
【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
7.在△ABC 中，“A=60°”是“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC 中，若“A=60°成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论．
解：在△ABC 中，若“cosA=”成立，则有“A=60°成立； 反之在△ABC 中，若“A=60°成立则有“cosA=”成立， 所以，“A=60°”是“
”的充要条件．
故选C ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
8.设F 1，F 2分别是椭圆+y 2=1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，求点P 的横坐标
为（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．
【答案】D
【解析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c ，根据PF 1⊥PF 2，推断出点P 在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P 所在的象限确定其横坐标． 解：由题意半焦距c==， 又∵PF 1⊥PF 2，
∴点P 在以为半径，以原点为圆心的圆上， 由
，解得x=±，y=±
∴P 坐标为（
，
）．
故选：D ．
【考点】椭圆的简单性质．
9.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，已知
=，=，=，则用向量，，
可表示向量为（ ）
A ．++
B ．﹣++
C ．﹣+
D ．﹣+﹣
【答案】B
【解析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出． 解：===﹣． 故选：B ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
10.已知椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若
|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=，则C 的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e ． 解：如图所示，
在△AFB 中，|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=， 由余弦定理得
|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos ∠ABF =100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′． 根据对称性可得四边形AFBF′是矩形． ∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5． ∴e==．
故选B ．
【考点】椭圆的简单性质．
11.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=
．平面OCB 1的法向量=（x ，y ，z ）为（ ）
A ．（0，1，1）
B ．（1，﹣1，1）
C ．（0，1，﹣1）
D ．（﹣1，﹣1，1）
【答案】C 【解析】易知
=（1，0，0），
=（1，1，0），从而可得
=
+
=（1，1，1），结合
•=x=0，
•=x+y+z=0，从而解得． 解：∵ABCD 是正方形，且AB=， ∴AO=OC=1，
∴=（1，0，0），
∵A （﹣1，0，0），B （0，1，0）， ∴=（1，1，0）， ∴=（1，1，0）， ∵OA=1，AA 1=， ∴OA 1==1， 故=（0，0，1）， 故=
+
=（1，1，1）， ∵向量=（x ，y ，z ）是平面OCB 1的法向量，
∴
•=x=0，
•=x+y+z=0， 故x=0，y=﹣z ， 结合选项可知， 当y=1时，z=﹣1， 故选：C ．
【考点】平面的法向量．
12.抛物线y=2x 2上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y=x+m 对称，且x 1•x 2=﹣，则m 等于（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．3
【答案】A
【解析】先利用条件得出A 、B 两点连线的斜率k ，再利用A 、B 两点的中点在直线y=x+m 求出关于m 以及x 2，x 1的方程，再与已知条件联立求出实数m 的值．
解：由条件得A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点连线的斜率k=，
而y 2﹣y 1=2（x 22﹣x 12） ①，得x 2+x 1=﹣ ②，且（，
）在直线y=x+m 上，
即
=
+m ，即y 2+y 1=x 2+x 1+2m ③
又因为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点在抛物线y=2x 2上，
所以有2（x 22+x 12）=x 2+x 1+2m ，：即2[（x 2+x 1）2﹣2x 2x 1]=x 2+x 1+2m ④， 把①②代入④整理得2m=3，解得m= 故选 A ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
二、填空题
1.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ． 【答案】2．
【解析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
解：因为抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1， 所以=1，
所以p=2． 故答案为：2．
【考点】抛物线的简单性质．
2.双曲线的离心率为，则m 等于 ．
【答案】9．
【解析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．
解：∵双曲线可得a 2=16，b 2=m ，
又离心率为，则
，
解得m=9． 故答案为9．
【考点】双曲线的简单性质．
3.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BC=AA 1，∠ABC=90°，则直线AB 1和BC 1所成的角
是 ．
【答案】60°
【解析】由题意补成正方体，由正三角形的性质可得．
解：不妨设AB=BC=AA 1=a ，由题意可补成棱长为a 的正方体，（如图） ∵AD 1∥BC 1，∴∠B 1AD 1就是直线AB 1和BC 1所成的角， 在正三角形AB 1D 1中易得∠B 1AD 1=60
故答案为：60°
【考点】异面直线及其所成的角．
4.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为 ．
【答案】
【解析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B 1到平面ABC 1的距离就等于点C 到平面ABC 1的距离，取AB 得中点M ，连接CM ，C 1M ，过点C 作CD ⊥C 1M ，垂足为D ，则平面ABC 1⊥平面C 1CM ，所以CD ⊥平面C 1AB ，故CD 的长度即为点C 到平面ABC 1的距离，在Rt △C 1CM 中，利用等面积
法即可求出CD 的长度．
解：如图所示，取AB 得中点M ，连接CM ，C 1M ，过点C 作CD ⊥C 1M ，垂足为D ∵C 1A=C 1B ，M 为AB 中点， ∴C 1M ⊥AB
∵CA=CB ，M 为AB 中点， ∴CM ⊥AB
又∵C 1M∩CM=M ， ∴AB ⊥平面C 1CM 又∵AB ⊂平面ABC 1，
∴平面ABC 1⊥平面C 1CM ，平面ABC 1∩平面C 1CM=C 1M ，CD ⊥C 1M ， ∴CD ⊥平面C 1AB ，
∴CD 的长度即为点C 到平面ABC 1的距离，即点B 1到平面ABC 1的距离 在Rt △C 1CM 中，C 1C=1，CM=，C 1M=
∴CD=
，即点B 1到平面ABC 1的距离为
故答案为：
【考点】点、线、面间的距离计算．
5.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ． 【答案】
【解析】设椭圆的方程和点P 的坐标，把点P 的坐标代入椭圆的方程，求出点P 的纵坐标的绝对值，Rt △PF 1F 2 中，利用边角关系，建立a 、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率． 解：设椭圆的方程为（a ＞b ＞0），设点P （c ，h ），则=1，
h 2=b 2﹣
=
，∴|h|=
，由题意得∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=45°， Rt △PF 1F 2 中，tan45°=1==
=
=
=，
∴a 2﹣c 2=2ac ，，∴=
﹣1．
故答案为：
三、解答题
1.椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆经过点（，﹣） （1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率． 【答案】（1）椭圆的标准方程为：+
=1， （2）椭圆的长轴长：2
，短轴长2
，离心率e=
=
．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（a ＞b ＞0），结合两点之间距离公式，求出2a ，进而求出b ，可得
椭圆标准方程．
（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率． 解：（1）设椭圆的标准方程为
+
=1（a ＞b ＞0），
则2a=
+=2，
即a=， 又∵c=2，
∴b 2=a 2﹣c 2=6， 故椭圆的标准方程为：+
=1，
（2）由（1）得： 椭圆的长轴长：2， 短轴长2， 离心率e=
=
．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
2.已知p ：∀x ∈R ，不等式x 2﹣mx+＞0恒成立，q ：椭圆
+
=1的焦点在x 轴上，若“p 或q”为真，“p 且
q”为假，求实数m 的取值范围．
【答案】m 的范围是（﹣，2）∪[，3）．
【解析】分别判断出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，得到关于m 的不等式组，取并集即可． 解：∵p ：∀x ∈R ，不等式x 2﹣mx+＞0恒成立， ∴△=m 2﹣6＜0，解得：﹣＜m ＜
；
q ：椭圆
+
=1的焦点在x 轴上，
∴m ﹣1＞3﹣m ＞0，解得：2＜m ＜3， 若“p 或q”为真，“p 且q”为假， 则：p ，q 一真一假， p 真q 假时：，解得：﹣
＜m ＜2， p 假q 真时：
，解得：≤m ＜3，
故m 的范围是（﹣，2）∪[，3）．
【考点】复合命题的真假．
3.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°．
（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；
（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ，由已知可证OA 1⊥AB ，AB ⊥平面OA 1C ，进而可得AB ⊥A 1C ；
（Ⅱ）易证OA ，OA 1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得
，
，
的坐标，设=（x ，y ，z ）为平面BB 1C 1C 的法向量，则
，可解得=（
，1，﹣
1），可求|cos ＜，
＞|，即为所求正弦值．
解：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ，
因为CA=CB ，所以OC ⊥AB ，由于AB=AA 1，∠BAA 1=60°， 所以△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB ， 又因为OC∩OA 1=O ，所以AB ⊥平面OA 1C ， 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两垂直．
以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A （1，0，0），A 1（0，
，0），C （0，0，），B （﹣1，0，0）， 则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣
，）， 设=（x ，y ，z ）为平面BB 1C 1C 的法向量，则，即
， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos ＜，
＞==， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为：．
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
4.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，原点O 到经过两点（c ，0），（0，b ）的直线的距离为c ．
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：（x+2）2+（y ﹣1）2=的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．
【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）椭圆E 的方程为+=1．
【解析】（Ⅰ）求出经过点（0，b ）和（c ，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程．
解：（Ⅰ）经过点（0，b ）和（c ，0）的直线方程为bx+cy ﹣bc=0，
则原点到直线的距离为d=
=c ，即为a=2b ，
e===； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①
由题意可得圆心M （﹣2，1）是线段AB 的中点，则|AB|=，
易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y=k （x+2）+1，代入①可得
（1+4k 2）x 2+8k （1+2k ）x+4（1+2k ）2﹣4b 2=0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则x 1+x 2=．x 1x 2=，
由M 为AB 的中点，可得x 1+x 2=﹣4，得=﹣4，解得k=，
从而x 1x 2=8﹣2b 2，于是|AB|=
•|x 1﹣x 2|=• ==，解得b 2=3，
则有椭圆E 的方程为
+=1． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．。