数学质量检测7排列组合、项式定理、统计、概率

质量检测(七)
测试内容：排列组合、二项式定理、统计、概率
（时间：120分钟满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低
收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户,对这些家庭社会
购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为A．70户B．17户
C．56户D．25户
解析：总体容量为125＋280＋95＝500,样本容量为100,则中等收
入家庭中应抽选出的户数为280×错误!＝56户．故选C。

答案：C
2．(2013年青岛质检)错误!6的展开式中x2的系数为（A．－240 B．240
C．－60 D．60
解析：由二项式定理通项公式，得T r＋1＝C错误!（－1）r26－r·x6
－2r，所以r＝2，系数为C2624×(－1）2＝240。

答案:B
3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加
其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同
学参加同一个兴趣小组的概率为（A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择,故共有C13·C1，3＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为错误!＝错误!，选A。

答案：A
4．（2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下
雨的概率均为40%。

现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有
两天下雨的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，
用1,2，3,4表示下雨，用5，6，7，8,9,0表示不下雨；再以每三个随
机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如
下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A．0。

35 B．0。

25
C．0.20 D．0.15
解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271，932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P＝错误!＝0。

25。

故选B。

答案:B
5．（2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试,得分如图所示，假设得分值的中位数为m e,平均值为错误!,众数为m0，则( ）
A．m e＝m0＝错误!B．m e＝m0<错误!
C．m e〈m0〈错误!D．m0〈m e<错误!
解析：依图形可知,m e＝错误!＝错误!，
错误!＝错误!
＝错误!,
m0＝5，所以m0<m e〈x，选D.
答案：D
6．（2013年武汉调研测试）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A.14
B 。

错误! C.错误! D.错误! 解析:依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1，
阴影部分的面积，
∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝错误!＝错误!＝错误!,选C 。

答案：C
7．（2013年黄冈质检）将5名支教志愿者分配到3所学校,每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有
( ）
A ．78种
B ．36种
C ．60种
D ．72种 解析:C 15错误!·A 错误!－C 错误!C 错误!A 错误!＝72。

答案:D
8．（2013年沈阳期末）袋中装有6个不同的红球和4个不同的
白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第
2次摸出的也是红球的概率为（A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：事件A表示第1次摸出红球,事件B表示第2次也摸出红球，P（B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!,即在第1次摸出红球的条件下，第
2次摸出的也是红球的概率为错误!。

答案:A
9．（2013年广州质检)从0,1，2,3，4,5，6,7,8,9这10个数字中任
取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x，y，z），若
x＋y＋z是3的倍数，则满足条件的点的个数为
A．252 B．216
C．72 D．42
解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排
列A错误!，所以四个选择答案可以变化为42,36，12，7.
（1)首数选0，则后续两个数为(1，2)，(1,5)，(1，8)，(2，4），（2，7）,（3,6)，(3，9），(4，5），（4，8)，（5，7），（6,9)，(7，8),
有12种;
（2）首数选1，则后续两个数为(2,3),（2，6），(2,9），（3,5），(3，8），(4,7），(5，6），(5，9)，（6,8)，(8，9），有10种；
(3）首数选2，则后续两个数为（3,4),（3，7)，（4，6)，(4,9），（5,8)，(6,7），(7，9）,有7种；
(4)首数选3,则后续两个数为（4，5）,（4，8)，(5，7)，(6,9),(7，8)，有5种；
(5）首数选4，则后续两个数为(5，6）,（5，9）,(6，8)，（8,9)，有4种;
(6）首数选5，则后续两个数为(6，7)，(7,9)，有2种；
(7）首数选6，则后续两个数为（7,8)，有1种；
(8)首数选7，则后续两个数为（8,9）,有1种．
综上可知,共有42种．
答案：A
10．（2012年合肥质检）建立从集合A＝｛1,2,3,4}到集合B＝｛5，6，7｝的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B的概率为( ）
A。

错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
解析：从A到B的函数一共有34＝81个，其中值域是B的有
C24A错误!＝36个，所以概率是错误!.
答案:C
11．(2012年长沙联考）某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90,a2）（a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的错误!,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为
A．200 B．300
C．400 D．600
解析:由ξ～N（90,a2），得正态曲线关于直线x＝90对称,所以P （ξ≥110）＝P（ξ≤70)＝错误![1－P(70〈ξ〈110)]＝错误!错误!＝错误!.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×错误!＝200.
答案：A
12．（2012年武汉调研）如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数y＝错误!（x〉0)图象下方的区域(阴影部分），从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析:由错误!解得错误!故由几何概型得,点M取自E内的概率为。

故选C。

答案：C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）
13．(2012年武汉调研)已知错误!n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是________．
解析：由题意，2n＝256,解得n＝8.故错误!n
即错误!8展开式中第7项为C错误!错误!2错误!6＝9(－1）6C错误!＝252 ，故展开式中第7项的系数是252.
答案:252
14．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm）数据绘制了频率分布直方图(如下图）．若规定长度在［97，103）内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．
解析：依题意,可估计这批产品的合格率是1－(0。

027 5×4＋0.045 0×2）＝0.8＝80％。

答案：80％
15．（2012年东北四校质检）在棱长为2的正方体内随机取一点,取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：
该题属于几何概型．根据题意,到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R＝1的实心球，如图所示，其体积V球＝错误!πR3＝错误!π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V′＝V正方体－V球＝8－错误!π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P(d〉1)＝错误!＝错误!＝1－错误!。

答案：1－错误!
16．面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内
的产品销量x(千箱)与单位成本y（元）的资料进行线性回归分析,结果如下：错误!＝错误!，错误!＝71，错误!错误!＝79,错误!i y i＝1 481，错误!＝错误!≈－1。

818 2，错误!＝71－(－1.818 2)×错误!≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．
解析：依据题意可得回归直线方程为错误!＝－1.818 2x＋
77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元．
答案：1.818 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：
均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；
（2）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格"，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得
x甲＝错误!（4＋5＋7＋9＋10)＝7，
错误!乙
＝错误!(5＋6＋7＋8＋9）＝7，
s2，甲＝错误!［(4－7)2＋(5－7）2＋（7－7）2＋(9－7)2＋（10－7)2]＝错误!＝5.2，
s2乙＝1
5
[（5－7）2＋（6－7)2＋（7－7)2＋（8－7）2＋(9－7)2］＝2.
因为错误!甲＝错误!乙，s错误!〉s错误!，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．
（2)设事件A表示该车间“质量合格"，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为
(4,5)，(4，6),（4,7)，（4，8），(4,9），(5,5),(5，6)，（5,7），(5，8)，(5,9），（7，5），（7,6)，（7,7），（7，8)，(7,9）,(9,5），（9，6）,(9,7)，（9,8)，(9,9），(10,5)，（10,6)，(10,7），（10，8）,(10,9)，共25种．
事件A包含的基本事件为
（4，9)，（5,8),(5,9），(7,6)，(7，7）,（7，8)，（7，9），（9，5），(9，6）,(9，7），（9，8），(9,9)，（10,5），(10，6)，（10,7）,(10,8），（10,9)，共17种．
所以P(A）＝错误!.
18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩（均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间［70，80)内的图形,根据图形的信息，回答下列问题：
(1）求成绩在区间[70,80）内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）假设成绩在［80,90)内的学生中有错误!的成绩在85分以下（不含85分)，从成绩在[80，90）内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分）的概率．
解：
（1）因为各组的频率和等于1，故成绩在［70,80)内的频率为f4＝1－(0.01×2＋0。

015＋0。

020＋0。

005)×10＝0.4。

频率分布直方图如右图．
（2）依题意,60分及以上的分数在第三、四、五、六段,故其频率和为(0。

02＋0.04＋0。

01＋0。

005)×10＝0.75,所以抽样学生成绩的及格率是75%.
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0。

1＋95×
0．05＝69.
所以估计这次考试的平均分是69分．
(3）因为成绩在［80，90）内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80，85）和［85，90）内的人数分别为4人和2人．假设［80，85)段的学生的编号为1,2,3,4；［85,90）段的学生编号为5,6。

记第一次抽到的学生编号为x，第二次抽到的学生编号为y，用数对(x，y)表示基本事件：（1，2），(1，3），(1，4)，(1，5）,(1，6），（2,3)，(2，4)，(2，5)，（2,6），（3,4），(3,5），(3,6），（4,5），(4,6)，（5,6），其基本事件总数n＝15.
解法一：记恰有1人成绩在［85,90)内的事件为A。

事件A包含
基本事件：（1，5)，(1，6），（2，5),（2,6），(3，5),（3，6），（4,5),(4，6），事件A包含的基本事件数m＝8。

故所求概率为P(A）＝错误!＝错误!，故恰有1人成绩在85分以上（含85分）的概率是错误!。

解法二:记恰有1人成绩在[85，90)内的事件为A，则事件错误!包含的基本事件：(1，2)，（1,3）,(1,4)，(2,3），（2，4)，(3,4）,(5,6），事件错误!包含的基本事件数m＝7，所以P(A）＝1－P(错误!）＝1－错误!＝错误!，故恰有1人成绩在85分以上（含85分）的概率是错误!。

19．（2012年石家庄质检)某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：
（1),认为工科院校
中“性别"与“专业”有关系呢？
(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
注:χ2＝错误!
解:(1)
χ2＝错误!≈4.762，
由于4。

762>3.841,因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．
(2）专业A 中女生12人，男生38人，
P (X ＝0)＝错误!＝错误!,P (X ＝1）＝错误!＝错误!，P （X ＝2)＝错误!＝错误!。

所以X 的分布列为
所以E(X）＝1×错误!＋2×错误!＝错误!＝错误!。

20．(2012年昆明模拟）从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
（1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170）之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．解:(1)x甲＝170，x乙＝170,s错误!＝53,s错误!＝37.4,
估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．
（2)X＝0,1，2,3。

P（X＝0)＝错误!＝错误!，P(X＝1）＝错误!＝错误!，P(X＝2)＝错误!＝错误!，P（X＝3)＝错误!＝错误!。

所以X的分布列为
X0123
所以E（X）＝0×27＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!.
21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号"发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为错误!,错误!，错误!，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格,则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．（1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（2）记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
解：（1）记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A,B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋A错误!C.
因为ABC与A错误!C为互斥事件,且A，B，C为彼此独立，所以
P(ABC＋A错误!C)＝P（ABC）＋P(A错误!C）＝P（A)P(B)P(C）＋P(A)P(错误!）P（C)＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!。

（2）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1，2，3。

因为P（ξ＝0）＝P(错误!错误!错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!,
P（ξ＝1）＝P(A错误!错误!＋错误!B错误!＋错误!错误!C)＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，
P（ξ＝2)＝P(AB C＋A错误!C＋错误!BC）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，
P（ξ＝3）＝P（ABC)＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
所以随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ）＝0×错误!错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!。

22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查,该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．
（1）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；
(2）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会,若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是错误!,设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元）为随机变量X，请写出X的分布列，并求X 的数学期望；
(3)在（2）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？
解：(1）从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C错误!种选法．
选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C3，4种，
所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为
P＝1－错误!＝错误!.
（2)X的所有可能的取值为0，m，2m,3m。

X＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,
所以P（X＝0)＝C错误!错误!0·错误!3＝错误!，
同理可得P（X＝m）＝C错误!错误!1·错误!2＝错误!,
P(X＝2m)＝C错误!错误!2·错误!1＝错误!，
P（X＝3m)＝C错误!错误!3·错误!0＝错误!，
所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为
E（X)＝0×错误!＋m×错误!＋2m×错误!＋3m×错误!＝1。

5m.
（3）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1。

5m<150，所以m〈100.
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。