高优指导2021数学理人教A版一轮考点规范练：43 点与直线、两条直线的位置关系

考点规范练43点与直线、两条直线的位置关系
基础巩固组
1.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是()
A.1
B.2
C.1
2
D.4
答案:B
解析:由直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行可得6
3=m
4
,
则m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0.
故d=|-3-7|
√3+4=10
5
=2.
2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()
A.3√2
B.2√2
C.3√3
D.4√2〚导学号92950534〛
答案:A
解析:依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最
小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,依据平行线间的距离公式得|m+7|
√2
=
√2
⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,
即l:x+y-6=0,依据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为
√2
=3√2.
3.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()
A.(1,-2)
B.(1,2)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
答案:A
解析:由于向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
4.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0
B.3x-y-10=0
C.3x-y-9=0
D.3x-y-12=0
答案:A
解析:设AC的中点为O,则O(5
2
,-2).
设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),
即D(x0,y0),则{
x0=5-x,
y0=-4-y,
由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.
5.
如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最终经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()
A.2√10
B.6
C.3√3
D.2√5
答案:A
解析:易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|=√(4+2)2+(2-0)2=2√10.
6.已知直线l的倾斜角为3π
4
,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则
a+b=.
答案:-2
解析:l的斜率为-1,则l1的斜率为1,k AB=2-(-1)
3-a
=1,∴a=0.
由l1∥l2,得-2
b
=1,b=-2,∴a+b=-2.
7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.〚导学号92950535〛
答案:5
6
解析:由题意得线段AB的中点为(-1
2
,2),故{
3-1
1+2
·k=-1,
2=k·(-1
2
)+b,
解得k=-3
2
,b=5
4
,所以直线方程为y=-3
2
x+5
4
.令y=0,即-
3
2
x+5
4
=0,解得x=5
6
,故直线y=kx+b在x轴上的截距为5
6
.
8.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x
,y),则|PA|·|PB|的最大值是.
答案:5
解析:易知A (0,0),B (1,3)且两直线相互垂直,即△APB 为直角三角形,
∴|PA|·|PB|≤
|PA |2+|PB |2
2
=
|AB |22
=
10
2
=5,当且仅当|PA|=|PB|=√5时,等号成立. 9.已知两条直线l 1:(3+m )x+4y=5-3m ,l 2:2x+(5+m )y=8.当m 分别为何值时,l 1与l 2: (1)相交? (2)平行? (3)垂直?
解:(1)当m=-5时,明显l 1与l 2相交但不垂直;
当m ≠-5时,两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1=-3+m
4,k 2=-2
5+m ,它们在y 轴上的截距分别为b 1=5-3m
4,b 2=8
5+m . 由k 1≠k 2,得-3+m 4≠-2
5+m
,
即m ≠-7且m ≠-1.
则当m ≠-7且m ≠-1时,l 1与l 2相交. (2)由{k 1=k 2,
b 1≠b 2,
得{-3+m
4=-2
5+m
,
5-3m 4
≠8
5+m
,
得m=-7. 则当m=-7时,l 1与l 2平行. (3)由
k 1k 2=-1,得(-3+m 4)·(-25+m )=-1,m=-133
. 则当m=-13
3
时,l 1与l 2垂直.
〚导学号92950536〛
10.过点P (3,0)作始终线l ,使它被两直线l 1:2x-y-2=0和l 2:x+y+3=0所截的线段AB 以P 为中点,求此直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为y=k (x-3),将此方程分别与l 1,l 2的方程联立,
得{y =k (x -3),2x -y -2=0和{y =k (x -3),x +y +3=0. 解得x A =3k -2
k -2和x B =3k -3
k+1,
∵P (3,0)是线段AB 的中点,
由x A +x B =6, 得3k -2
k -2+3k -3
k+1=6, 解得k=8.
故直线l 的方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.
力量提升组
11.点P 到点A'(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P 到直线y=x 的距离等于√2
2,这样的点P 共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C 解析:设P (x ,y ),
由题意知√(x -1)2+y 2=|x+1|且√22=√2,所以{y 2=4x ,|x -y |=1,
即{y 2=4x ,x -y =1①或{y 2=4x ,x -y =-1,② 解得①有两根,②有一根.
12.已知M={(x ,y )|y -3
x -2=3},N={(x ,y )|ax+2y+a=0},且M ∩N=⌀,则a=( ) A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.-2
答案:A
解析:集合M 表示去掉一点A (2,3)的直线3x-y-3=0,集合N 表示恒过定点B (-1,0)的直线ax+2y+a=0,由于M ∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A (2,3).
因此-a
2=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.
13.已知曲线|x |
2−|y |
3=1与直线y=2x+m 有两个交点,则m 的取值范围是( ) A.(-∞,-4)∪(4,+∞)
B.(-4,4)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,3) 〚导学号92950537〛
答案:A
解析:曲线|x |
2−|y |
3=1的草图如图所示.由该曲线与直线y=2x+m 有两个交点,可得m>4或m<-4. 14.已知l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,则直线l 1的方程是 . 〚导学号92950538〛
答案:x+2y-3=0
解析:当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.由于A (1,1),B (0,-1),所以k AB =-1-1
0-1=2,所以两平行直线的斜率为k=-1
2,所以直线l 1的方程是y-1=-1
2(x-1),即
x+2y-3=0.
15.已知三条直线:l 1:2x-y+a=0(a>0);l 2:-4x+2y+1=0;l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2间的距离是7√5
10. (1)求a 的值;
(2)能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件:
①点P 在第一象限;
②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的1
2;
③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是√2∶√5.
若能,求点P 的坐标;若不能,说明理由. 解:(1)直线
l 2:2x-y-1
2
=0,所以两条平行线l 1与l 2间的距离为
d=
|a -(-12
)|
√2+(-1)=
7√510,所以|a+1
2|√5
=
7√510,即|a +1
2
|=7
2
,
又a>0,解得a=3.
(2)假设存在点P ,设点P (x 0,y 0).若P 点满足条件②,则P 点在与l 1,l 2平行的直线l':2x-y+c=0上,且
√5
=
2|c+1
2|
√5
,即c=13
2或11
6,
所以2x 0-y 0+13
2=0或2x 0-y 0+11
6=0;
若P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有
00√5
=
√2√5
00√2
,
即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, 所以x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0;
由于点P 在第一象限,所以3x 0+2=0不行能. 联立方程
2x 0-y 0+13
2=0和x 0-2y 0+4=0,解得{
x 0=-3,y 0
=
1
2(舍去);
联立方程2x 0-y 0+11
6
=0和x 0-2y 0+4=0,解得{x 0=1
9,y 0=3718. 所以存在点P (19,37
18
)同时满足三个条件. 〚导学号92950539〛。