福建省永泰县第一中学高三数学上学期期中试题文

福建省永泰县第一中学2020届高三数学上学期期中试题 文
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1. 已知集合{}
0652≤+-=x x x A ，{}
51<<∈=x Z x B ，则=B A （ ）
A ．[]3,2
B ．()5,1
C ．{}3,2
D ．{}4,3,2 2. 若复数z 满足i i z -=+3)1(，则z 的共轭复数z =（ ）
A ．i 32--
B ．i 32-
C ．i 32+
D ．i 32+-
3.已知函数22
()log (
)1
f x m x =++是奇函数，则实数=m （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
4.已知 312-=a ，21
log 3b =， 121log 3
c =， 则( )
A ． c b a >>
B ．b c a >>
C ． b a c >>
D ．b c >5.若向量a ，b 是非零向量，则“a b a b +=-”是“a ，b 夹角为 ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.函数x
x x y -+=2
223
在[]6,6-的图像大致为（ ） A ．B ．C ．D ． 7.已知定义在R 上的奇函数)(x f y =满足)()2(x f x f -=+，且2)1(
=f ，则
)2019()2018(f f +
的值为（ ）
A ．2-
B ．0
C ．2
D ．4
8.在ABC ∆
中，2,6
AB C π
==
，则AC 的最大值为( )
A B
． D ．
9.已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且AE EC 2=，则向量EM ＝（ ）
A ．
3121+ B ．6121+ C ．2161+ D ．2
3
61+ 10.函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移
3
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）
A. 关于点012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 B. 关于直线12x π=
对称 C. 关于点06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 D. 关于直线6x π=对称
11.若0>a ，0>b ，1++=b a ab ，则b a 2+的最小值为（ ） A ． 323+ B ． 323- C ． 133+ D ． 7
12.已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时， ()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ） A. ()1,+∞ B. (),1-∞- C. ()1,1- D. ()(),11,-∞-⋃+∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上． 13.函数x x x x f +=ln )(的单调递增区间是 ．
14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121272=++a a a ，则=13S . 15.若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为__________．
16.已知函数2242(0)
()(0)
x x x x f x x e x ⎧-++≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，
则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知115=a ，637=S
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证6
1
<n T .
18. （本小题满分12分）
已知函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ （Ⅰ）若,2
1
tan =
x 求)(x f 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 最小正周期及单调递减区间．
19. （本小题满分12分）
已知函数1)(2
+++=bx ax e x f x
，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为
1)1(+-=x e y .
（Ⅰ）求实数b a ,的值；
（Ⅱ）求函数)(x f y =在[]2,1-的最值.
20．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n S a ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 中90BAC ∠=，30ABC ∠=，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.
（Ⅰ）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求θ； （Ⅱ）若6
ADB π
∠=
，求tan θ.
22. （本小题满分12分） 已知函数1()()a
f x a R x
+=
∈． （Ⅰ） 设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数h （x ）的极值；
（Ⅱ） 若()ln g x a x x =-在[1，e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围．
参考答案
一．选择题：（各5分, 共60分）
二. 填空题（各5分, 共20分）
13．2
(,)e -+∞ ；（2
[,)e -+∞
也正确） 14． 52；
15. 9； 16. 2
2
(3,1]{}e --⋃ 三、解答题：共70分
17、解：（1）由设数列{}n a 的公差为d ，则
11
41172163a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………………………2分
解得2d =， ……………………………………3分 13a = ……………………………4分
所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ ……………………………5分
（2）由21n a n =+
111111
().(21)(23)22123
n n b a a n n n n +=
==-++++ ……………………7分 12n n T b b b =+++
61)32131(21)321121(...)7151()5131(21<+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=n n n ……………………………10分
18、解： )1(x x x x x f 2
2
cos 3cos sin 2sin )(+⋅+=
x
x x x x x 2
222cos sin cos 3cos sin 2sin +++=………………………………………2分 =1tan 3
tan 2tan 22+++x x x …………………………………………4分
=5
17
…………………………………………6分
（2）x x x x x f 2
2
cos 3cos sin 2sin )(+⋅+= =2)42sin(2++
π
x …………………………………………8分 )(x f 的最小正周期为T=ππ
=2
2…………………………………………9分
由πππππk x k 2234222+≤+≤+，解得 Z k k x k ∈+≤≤+,8
58ππππ…………………………………………11分 所以)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈++],8
5,8[ππ
ππ…………………12分
19、解：（1）()e 2x
f x ax b '=++，………………………………1分
则(1)e 2e 1(1)e 1e f a b f a b =++=-⎧⎨
=+++='⎩
，………………………………4分 01a b =⎧∴⎨
=-⎩．………………………………6分
（2）()e 1x
f x x =-+的定义域为(,)-∞+∞，()e 1x
f x '=-，
令()0f x '=，则0x =，………………………………………………8分
∴ 当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；
∴ 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，………………………10分
∴min ()(0)2f x f ==，∵1
(1)2e
f -=
+，2(2)e 1f =-，且(2)(1)f f >-， ∴
2max ()(2)e 1
f x f ==-．………………………………………………12分
20、解：（1）.由11a =，121n n a S +=+，当1n =时，可得21213a a =+=.…………………………
1分
当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +-=，即13n n a a +=，
…………………………3分
且213a a =.…………………………4分
故{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列。

…………………………5分 所以13n n a -=………………………………………6分 （2）.由题意
12)1(21-=-+=n n a b n
n
，所以
13)12(-⋅-=n n n b .…………7分 所以
n
n n n n n n T n T 3)12(3)32...(35333133)12( (37353311321)
32⋅-+⋅-+⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅+=--…………………8分
相减得
n
n n n n n T 3)22(23)12()3...333(212132⋅-+-=--+++++=--…………………9分
…………………………………………………11分
n n n T 3)1(1⋅-+=∴…………………………………………12分
21、解：（1）设AC a =
，则AB =
，sin AD a θ=，
cos CD a θ=，………………………………2分 由题意4ABC ACD S S ∆∆=，
则
11
4cos sin 22
a a a θθ=⋅⋅，………………………………4分
所以sin 22θ=.3
6)2,0(πθπθπθ=
=∴∈或 ………………………………5分 （2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，即(
)sin sin 6
BD ππθ=
-①
………………………………7分
BCD ∆中，
sin sin BD BC
BCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD a
ππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
② ……………………………9分
①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
2sin θθ=，……………11分
所以tan 2
θ=
.………………………………12分 22、解：（Ⅰ） 依题意1()ln a
h x a x x x
+=--
，定义域为（0, +∞）， ∴2222
1(1)(1)[(1)]
()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=-+=-=-, …………3分
①当a +1＞0，即a ＞1-时，令()0h x '>，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+ a , 此时，h （x ） 在区间（0, a +1）上单调递增， 令()0h x '<，得 x ＞1+ a ．
此时，h （x ）在区间（a +1,+∞）上单调递减． …………………………4分②当a +1≤0，
即a ≤1-时，()0h x '<恒成立， h （x ）在区间（0,+∞）上单调递减． ………5分 综上，当a ＞1-时，h （x ）在x ＝1+a 处取得极大值h （1+a ）＝ln(1)2a a a +--，无极小
值；
当a ≤1-时，h （x ）在区间（0,+∞）上无极值． …………………6分
（Ⅱ）依题意知，在[1, e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立,即在[1, e]上存在一点x 0，使得h （x 0）≥0， 故函数1()ln a
h x a x x x
+=--
在[1, e]上，有h （x ）max ≥0． ………………8分 由（Ⅰ）可知，①当a +1≥e, 即a ≥1e -时，h （x ）在[1, e]上单调递增， ∴max
1()(e)e 0e a h x h a +==--≥, ∴2e 1
e 1
a +≥-,
∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1
e 1
a +≥-． ……………………9分 ②当0＜a +1≤1，或a ≤1-，即a ≤0时，h （x ）在[1, e]上单调递减， ∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴a ≤2-． ……………………………10分 ③当1＜a +1＜e ，即0＜a ＜1e -时，
由（Ⅱ）可知，h （x ）在x ＝1+a 处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值， 即h （x ）max ＝h （1+a ）＝ln(1)2[ln(1)1]2a a a a a +--=+--， ∵0＜ln （a +1）＜1, ∴h （1+a ）＜0在[1, e]上恒成立，
此时不存在x 0使h （x 0）≥0成立．…………………………………………11分
综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1
a +≥-或a ≤2-． ……………………12分。