2013高考数学(文)真题专业解析(福建卷)汇总

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）
（福建卷）解析
第I 卷（选择题共60分）
一.选择题
1 •复数z 〔 _2i （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B.第二象限
C .第三象限 D.第四象限
答案：C 思路分析:
考点解剖：本题考查的知识点是复数的几何意义
解答过程：由几何意义可知复数， z
=「-2i 对应点（-1, -2）在第三象限
规律总结：二、复数的几何意义
有序实数对(a , b) ----------------------- 对应 点Z(a , b). — ------------------- 1
答案：A 思路分析:
考点解剖：本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定. 解题思路：先判断点 P （21）是否在直线|：x + y +1=0上，再先判断 点P 在直线上 是
否必须是点（2,1）。

解答过程：
【解析】因为（2 1）点代入直线方程，符合方程，即 I = 2且y =「”可推出 点P 在直 线l ：x y ・1=0上”；而点 P 在直线上，不一定就是（21）点，即 点 P 在直线i • x • y • 1 = 0 上”推不出’J =2且y = -1 ”.故Sc =2且y = T "是点P 在直线| : x + y 十1 = 0上”的充分 而不必要条件.
规律总结： 充分条件、必要条件、充要条件的判定：
（1）定义法:
解题思路：复数与复平面上的点一一对应, z - -1 -2i 对应点(-1,-2)
复数z = a + bi
对应
2
•设点 p (x, y)，则 x - 2且 y
「1 ”是点p 在直线i ：x 亠y 亠1二0上的（
A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
解答过程:
① 分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； ② 找推式：判断“ p ? q ”及“ q ? p ”的真假； ③ 下结论：根据推式及定义下结论：“若
p ，则q ”形式的命题为真时，记作 p ? q ，称
p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件如果既有 p ? q ，又有q ? p ，记作p ? q ，则p 是q 的 充要 条件，q 也是p
的充要条件.
（2） 等价转化法：
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否 命题来判断. （3） 集合法：
从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
3.若集合A 二{1,2,3}, B ={1,3,4}，则A B 的子集个数为（
）
答案：C 思路分析:
考点解剖本题考查的是集合的交集和子集.
解题思路：先求出A B ={1,3}，再有列举法找出A B 的子集个数，或直接用公式2n 解答过程:
【解析】因为 A B ={13}，有2个元素，所以子集个数为 22 =4 个. 若集合A 有n 个元素，则其子集个数为
2n ，真子集个数为2n - 1.
取双曲线的一个顶点为
（1 0），取一条渐近线为 y
= x
，利用点（1 0）到直线
A . 2
B . 3
C. 4
D . 16
规律总结:
4.双曲线
/*2=1的顶点到其渐近线的距离等于（
A . 1
C. 1
答案：B 思路分析:
考点解剖: 本题考查的是双曲线的性质.
解题思路:
【解析】因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等, 故可取双曲线的一个顶点y = X的距离计算。

为(1 0)，取一条渐近线为y = X，所以点(1 0)到直线y = X的距离为J2 -
2
规律总结：研究双曲线，要充分利用双曲线对称性。

本题借助了对称性，选取了一个顶
点(1 0) 一条渐近线为
5.函数f(x)=ln(x21)的图象大致是( )
答案：A
思路分析：
考点解剖：本题考查的是识别的图象.
解题思路：由函数解析式可知f(x)二f(-x)，即函数为偶函数，由函数过(0 0)点，排除B,D.
解答过程：
【解析】.由函数解析式可知f(x) = f(_x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0 0) 点，排除B,D.
规律总结：
识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周
期性等特点，应引起足够的重视
“看图说话”常用的方法有
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题.
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题.
6.若变量
x y 满足约束条件•，则丁- 2x• y的最大值和最小值分别为( )
x y - 2 z - 2x y
X -1
7-0
解答过程:
【解析】因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等, 故可取双曲线的一个顶点
A. 4 和3
B. 4 和2
C. 3 和2
D. 2 和0
答案：B
思路分析:
考点解剖：本题考查的简单线性规划.
解题思路：先作出可行域，画出直线2x+ y = 0, z表示直线在x轴上的截距，平移直线
2x+ y= 0,当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，z最大。

当平移到经过该平面区域内的
点(1,0)时，z最小。

解答过程：
【解析】•在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x + y= 0,平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时
z=2x • y取得最大值，最大值是4.当平移到经过该平面区域内的点(1,0)时，相应
求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义
7.若2^u'2y - 1，则x潜y的取值范围是( )
A. [0,2]
B. [-2,0] C [-2,：：)
答案：D
思路分析:
考点解剖：本题考查的是均值不等式.
解题思路：直接利用均值不等式：1 - 2x• 2，2 2x2
规律总结:
【解析】•因为〔_ 2* . 2，2 2X 2，即2X N <2~，所以x亠y ：-2，当且仅当2x=2y，即x = y时取等号.
规律总结：
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是一正一一各项均为
正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.
8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的
S w (10,20)，那么n的值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
思路分析：
考点解剖：本题考查的是程序框图.
解题思路：框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S k=k+1,然后判断k时否大于n,不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S€(10 , 20)后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值.
解答过程：
【解析】循环前：s =1 k =2 ；第1次判断后循环：s =3 k = 3 ；第2次判断后循环：
S=7k=4 ；第3次判断后循环：s=15 k=5 .故n=4 .
规律总结：
i= i +1.
1.解决程序框图问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如
(2) 累加变量：用来计算数据之和，如 S = S + i. (3) 累乘变量：用来计算数据之积，如
p = p x i.
2•处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数
到函数g(x)的图象，若f(x) g(x)的图象都经过点
A . 5二
B . 5二
C .二
D .二
3
6 2 6
答案：B
思路分析：
考点解剖：本题考查的三角函数的图像的平移.
解题思路： 直接利用均值不等式：1 - 2x • 2， 2 2x 2 解答过程:
B
规律总结:
f(x"sin(2x 肓的图象向右平移 O 得到的是g(x) = sin(2x 寸2 )的图
像，而不是g(x) =sin(2x
)，注意，函数图像的变换是针对
x 而言。

3
10.在四边形ABCD 中，A C =(12) B D =(—4 2)，则该四边形的面积为( )
A .期
B 2乜5
C . 5
D . 10 答案：C 思路分析：
考点解剖：本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长。

9.将函数
的图象向右平移
f (x) =sin(2x n)( -一
2
2)
，则「的值可以是(
【解析】
代入
f(x)
,解得 二 sin (2x^)(
)
2 2
所以
3
，把
g(x) =sin(2x 牙 -2 )
P (O ,弓代入得一十★二
,观察选项，故选
AC x BD
2
解答过程：
【解析】•因为AC BD =i
（_4） • 2 2=0，所以AC _ BC ，所以四边形的面积为
|AC | | BD | 12 22 （ -4）2 22 ，故选 C ---------------- = ------------------------------- =5
2 2
规律总结：
a_b = a ・b=0
11.已知x 与y 之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为
？ = bX +召.若某同学根据上表中前两组数
据（10）和（2 2）求得的直线方程为 y=bx +a ・，则以下结论正确的是（
）
A . b? b, a? a
B b? b’a^ a
C b? ：： b, ? a
D I? ：： b , ? ：： a 答案：C 思路分析：
考点解剖：本题考查的是线性回归方程。

解题思路：画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图） ，由两条直线的相对位置关
系可判断
解答过程：
【解析】画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图）
可判断？
.故选C
解题思路：因为
AC BD =1
所以四边形的面积
，由两条直线的相对位置关系
b v b , ? a a
规律总结：
t?和b/分别表示回归直线和过(1,0)和(2,2)的直线的斜率。

12.设函数f(x)的定义域为R , x(x=0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A. B. 是的极小值点
R, f (x^ f (X o) -X o f(—x)
C. v是f(x)的极小值点
D. v是f( x)的极小值点
x o -T(x)x -T(-X丿
答案：D
思路分析：
考点解剖：本题考查的是函数的极值的概念。

考查函数图象的对称性。

解题思路：项，x o ( X o丰0)是f ( X)的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f (-x )是把f (x)的图象关于y轴对称，因此，-x 0是f (-X )的极大值点；
C项，-f (X)是把f ( X)的图象关于X轴对称，因此，X0是-f (x)的极小值点；
D项，因为_f(_x)和f(x)关于原点对称，故_x是_ f(_x)的极小值点
解答过程：
【解析】函数的极值不是最值，A错误；因为一f(_x)和f(x)关于原点对称，故_ X。

是_ f(_x)的极小值点，D正确.
规律总结：
函数极值的定义：
已知函数y= f(x)及其定义域内一点x°,对于存在一个包含勺的开区间内的所有点x, 如果都有f(x)<f(x
)，
则称函数f(x)在点x
0处取极大值，记作y极大值=f(x
)
填空题
答案：_2
思路分析:
答案：1
思路分析:
考点解剖：本题考查的是几何概型求概率.
解题思路：因为基本事件只受一个连续的变量控制， 所以这类几何概型是线型的。

转化 为长度之比。

解答过程:
【解析】本题考查的是几何概型求概率. 3a-1 ：：
0，即 1 a ::: 3
，所以 1 pt 1 规律总结：在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制时, 这类几何概型是线 型的；当基本事件受两个连续的变量控制时， 这类几何概型是面型的, 般是把两个变量分 别作为一个点的横坐标和纵坐标，
这样基本事件就构成了平面上的一个区域， 即可借助平面 区域解决. 求与长度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度。

然后求
解。

15 .椭圆 x 2 y 2 】：丐冷-1(a b 0)
a b
的左、右焦点分别为 卩F ，焦距为2c .若直线
13 •已知函数
3
2x , x ：：
0 f (x) = * ji
-tan x,0 二 x :::—
2
，则 二
f(f
右
考点解剖:
本题考查的是分段函数求值.
解题思路: 根据自变量的取值，判断利用分段函数的哪一段。

解答过程:
【解析】
二 f(_1) =2(-1)3 二-2
规律总结: 解决分段函数求值问题, 关键是判断利用分段函数的哪一段。

14 .利用计算机产生 °〜1之间的均匀随机数
a ，则事件3a -1 ：：： 0”发生的概率
y 「3(x ・c)与椭圆-的一个交点
M
满足
.MF J F 2 =2. MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于
答案：X.3-1 思路分析:
考点解剖：本题考查的是椭圆曲线的离心率.
解题思路：由直线 y=、3(x+c)可知斜率为 3，可得直线的倾斜角 a =60° .又直线与 椭圆r 的一个交点 M 满足/ MF I F 2=2/ MF 2F 1，可得/ MF 2F I =30，进而/ F J MF 2=90 .设 |MF 2|=m , |MF i |=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得
uAtr/二 (2c)^
n+n=2a ，解出a , c 即可
解答过程:
显；如图所示.
曲克线尸屈仗+匚)可知倾斜箱口与斜率逅：宵关系* A (1=60".
艮椎凰卩的一个交点满足ZMF-1F2=2Z MF 2F 'V -ZMFsFpSO'…・・ZF]MF 严盹
m?+n 2=(2c)£
JH 4TL =2I r
解得2二屈亠！・
a
规律总结：
求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，
再利用其中的一些关系构造出
222
关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围.离心率e 与a 、b 的关系：e 2= *=旦；厂
=1 -字?； - 1-e 2.
••战椭圆的离
心率尸J 狡答案为
bp"
巧亠1 *
16.设ST 是R 的两个非空子集，如果存在一个从
S 到T 的函数y_f （x ）满足；
（D T 二{f （x ）|x S} ；（ii ）对任意 %,X 2 S ，当 x , ：：x 2 时，恒有 f （G ：：： f （x 2）.
那么称这两个集合 保序同构”.现给出以下3对集合： ① A = N,B = N *；
② A ={x| -1 _x _3}, B ={x| -8 _x _10}； ③
A ={ x | 0 :: x ::: 1},
B = R .
其中，保序同构”的集合对的序号是 号） 答案：①②③ 思路分析：
考点解剖：本题考查了命题的真假判断与应用。

解题思路：由题意可知 S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 y=f （x ） 为单调增函数，对题目给出的三个命题中的集合逐一分析看是否能找到这样的函数 y=f （ x ）
即可
解答过程
【解析】由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y =f （x ）为 单调递增函数.对于
集合对
①，可取函数f
（x ）=2x （xE N ），是保序同构”；对于集合对
②，可取函数 9
7
，是保序同构”；对于集合对③，可取函数
y =：x_7（—1 兰x 兰3）
2 2
竈 ，是保序同构”.故答案为①②③.
y 二 tan （二x -一）（0 ：： x :: 1）
2
规律总结：解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思。

三.解答题
（1）若1 a a 成等比数列，求
l,a 1 , a 3
思路分析:
（写出所有保序同构”的集合对的序
17.（本小题满分12分）已知等差数列 {a n }的公差
d =1，
前n 项和为
S n'
(2)若
S 5
，求
a 1的取值范围.
考点解剖：本小题主要考查等比等差数列、 等比数列和不等式等基础知识， 考查运算求 解能力，
考查函数与方程思想、化归与转化思想.
解题思路：(1)利用1,d,a 3成等比数列，建立等式昇"(「2)，d
5a! 10 c 12 8a 1可求得q 的取值范围
解答过程:
所以 a 12 =1 (a 1
2)，
⑵因为数列｛a n ｝的公差d=1，且S3 a 1a 9，
所以 5C 1
10 q 2 8q ；
即 q 2 3a _10 ：： 0，解得-5 a^：： 2
规律总结：
n(a 1+ a*)
n(n — 1)
等差数列的通项公式 a n = a 1+ (n — 1)d 及前n 项和公式S n =
2 = nd + 2 — d ,
共涉及五个量a 1, a n , d , n , S n ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问 题.
数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1和d 是等差数列的 两个基本量，用它
们表示已知和未知是常用方法
18
-(本小题满分
12
分)如图，
在四棱锥p —ABCD 中，PD _面ABCD ，AB//DC ，
AB — AD ， BC =5， DC =3， AD = 4，. PAD = 60 -
(1) 当正视图方向与向量 AD 的方向相同时，画出四棱锥P _ ABCD 的正视图•(要求 标出尺寸，并画出演算过
程)；
(2) 若M 为PA 的中点，求证：DM //面 PBC ； (3) 求三棱锥D _PBC 的体积.
(2)利用等差数列前 n 项和公式求得
S 5 = 5厲 10， a ]_a Q
= a 12 - 8q ，建立不等式
解：(1 )因为数列｛a ｝的公差d =1， 且1a a 成等比数列,
l ,a i , a 3
即宀1-2=0，解得—1或a
=2
思路分析:
考点解剖：本小题主要考查简单空间图形的三视图，
直线和平面平行的判定定理，
用等
体积法求三棱锥的体积，等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力•运算求解能力， 考查数形结合能力、化归与转化思想.
解题思路：(I )在梯形ABCD 中，作CEL AB, E 为垂足，则四边形 ADCE 为矩形，可得 AE=CD=3由勾股定理求得 BE=3可得AB=6 由直角三角形中的边角关系求得
PD=ADtan60 °的值，从而得到四棱锥 P-ABCD 的正视图.
(II )取PB 得中点为N,证明MNC 为平行四边形， 故DM/ CN 再由直线和平面平行的判定 定理证得故DM/平面PBC
算求得结果
解答过程: 解法一：
(I)在梯形 ABCD 中，过点C 作CE _ AB ，垂足为E ，
由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AE - CD - 3 在Rt BEC 中，由BC =5，CE =4,依勾股定理得:
BE =3，从而 AB =6
又由PD _平面 ABCD 得，PD _ AD
从而在 Rt PDA 中，由 AD =4，- PAD =60，得 PD =4/3 正视图如右图所示:
(III )根据三棱锥
D-PBC 的体积
V
D _PBC
~ V P _DBC
3S DBC
PD -
3
（S 梯形 ABC&S △ ABD ）?PD ,运
(n)
取PB中点N，连结MN，CN
在PAB中，M是PA中点，
二MN U AB， 1 ，又CD U AB，CD=3
MN =—AB =3
2
二MN UCD，MN 二CD
•••四边形MNCD为平行四边形，二DM |_|CN
又DM 二平面PBC，CN 平面PBC
• DM 口平面PBC
=1(S 梯形ABCD -S A ABD ) ?PD (川)
1
V D _PBC = V P _DBC = —S，DBC 卩D—
3 ' 3
又S-PBC -6，PD =4 3，所以V D卫BC =8 3
规律总结：
1、证明直线与平面平行，一般有以下几种方法
(1)若用定义直接判定，一般用反证法；
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线
与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一
个平面内的任何直线都平行于另一个平面
2、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面
的距离”.
3、（n ）还可这样解答：
取AB的中点E，连结ME，DE
在梯形ABCD 中，BELICD，且BE 二CD
•••四边形BCDE为平行四边形
二DE |_BC，又DE 二平面PBC，BC 平面PBC
•DE［J 平面PBC，又在PAB 中，ME［JPB
ME 二平面PBC，PB 二平面PBC
•ME L平面PBC .又DE 门ME = E，
二平面DMEU平面PBC，又DM 平面DME
•DM LJ 平面PBC
19.（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关. 现采用分层抽样的方法，从中
抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上
（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：［50,60），［60,70），［70,80），［80,90），［90,100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的频率.
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为生产能手”请你根据已知条件完成22的
列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关”?
25周岁以上綁
附表:
思路分析:
考点解剖：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分.
解题思路：（I ）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所
对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数
分别为3, 2,由古典概型的概率公式可得答案；（II ）由频率分布直方图可得“ 25周岁以上
组”中的生产能手的人数，以及“ 25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2X 2列联表，可得k2~ 1.79，由1.79 V 2.706，可得结论.
解答过程：
解：（I）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名
所以，样本中日平均生产件数不足
60件的工人中，
25
周岁以上组工人有
60
疋0.05 = 3
（人）,
记为A，A ' A；25周岁以下组工人有40 0.05 = 2 （人），记为B1，B2
从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有
10种，他们是：（A A）, （A A）,
尸2孑紆0. 050
0,0100 001
r k 2.706 3.841氐63510, A2S
(A,A)' (A i,B)' (A,BO' (A2,B2p (A B,B)'(人且)，(B I,B2) 其中，至少有名‘25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：（A,B），（A,B2），
(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)，(8月2).故所求的概率：
7
P =——
10
(n)由频率分布直方图可知， 在抽取的1
00名工人中，25
周岁以上组”中的生产能手
60 0.25 =15 (人)，’25周岁以下组"中的生产能手40 0.375 =15 (
人)，据此可得2 2列
联表如下:
因为1.79 <2.706，所以没有90%的把握认为 生产能手与工人所在的年龄组有关 ”
规律总结：
1.独立性检验的一般步骤:
(1)根据样本数据制成 2X2列联表; ⑵ 根据x 2公式计算x 2的值； (3)
比较x 2与临界值的大小关系，作统计判断.
2.在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关 系，得到的结论也可能犯错误.
20.(本小题满分12分)如图，在抛物线 E ： y 2 = 4x 的焦点为F ，准线|与x 轴的交
两点M , N .
所以得：
K 2 =
(a+b)(c + d)(a +c)(b +d)
n(ad 「be)2 100x(15x25—15x45)2 25 〔79
14 .
60 40 30 70
点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心
OC
为半径作圆，设圆 C 与准线|的交于不同的
(1)若点C 的纵坐标为2，求
MN
⑵若AF 2
=AM
AN
，求圆C 的半径.
2
思路分析:
考点解剖：本小题主要考查抛物线的方程、
圆的方程与性质、 直线与圆的位置关系等基
础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与 转化思想.
解题思路：(I )由抛物线的方程表示出焦点 F 的坐标及准线方程，求出C 到准线的距离, 再利用圆中弦长公式即可求出 |MN|的长；
(II )设
y 2
, y o ),表示出圆C 的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设 M
5知。

)
2
(-1 , y i ), N (-1 , y 2),利用韦达定理表示出 y i y 2,利用 |AF| =|AM|?|AN|，得 |y 叨|=4，解
得C 的纵坐标，从而得到圆心 C 坐标，由两点间的距离公式求出
|0C|的长，即为圆的半径.
解答过程
解：(I)抛物线 寸=4x 的准线I 的方程为x =7 , 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1 2) 所以点C 到准线丨的距离d =2，又|C0|-5 -
|MN |=2j|CO|2 -d 2 =2j^4 =2.
(n)设 y
2
，则圆C 的方程为
y 2 y 4
,
C (乎,y °)
C
(x —¥)2+(y —y °)2=^ + y 2
4
4 16
即 y 2
2
y
0 ,
x x
2
y 2 -2y °y =0
由X = -1，得
2
2
y o
y -2y o y 1 - =0 设 M(-1,y 1)，
N(-i,y 2)，则:
r
2
:=4y ：_4（1 号）=2y 0 -4 0
2
y
1 2
由 |AF |2 =| AM | | AN |，得 | y 』2 |=4
所以y 2 ，解得
匹仁4
2 y^_ 6，此时-0
从而
|C
°「V |CO|=
33 '即圆C 的半径为卫
2 2
规律总结：
此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理. 意确定出圆心与半径是解本题的关键
21 (本小题满分12分)如图，在等腰直角二角形.OPQ 中，/ OPQ =90“，OP = 2'2 ， 点M 在线段PQ 上.
且.MON =30
：，问：当.POM 取何值时，. OMN 的
面积最小？并求出面积的最小值.
思路分析：
考点解剖：本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用， 两角和与差的三角函数的
应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用.
解题思路：
(I)在厶 OMP 中，利用/ OPM=45 , OM =、、5，OP =2-2，通过余弦
所以圆心
C 的坐标为 3 或3
(厂飞)
⑴若OM =、、3，求PM
的长;
y 』2
其中根据题
(2)若点N 在线段MQ 上，
1
定理，求PM 的长;
（n ）利用正弦定理求出 ON OM 表示出△ OMN 勺面积，禾U 用两角和与差的三角函数化
简函数化为一个角的一个三角函数的形式，
通过角a 的范围，得到相位的范围，然后利用正
弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值.
解答过程
解：（I ）在.QMP 中，.OPM =45，0M =钙，OP =2、,2， 由余弦定理得， OM 2 =OP 2 MP 2 _2 OP MP cos45， 得 MP 2 -4MP 3=0， 解得MP =1或MP =3 .
（n ）设 NPOM =二，0 _ ： _60 ，
在.：OMP 中，由正弦定理，得 OM OP
sin OPM "sin OMP
故
S.O MN
1 OM ON si n MON
2
1
OP 2 sin 2 45
—X ----------------------------------
4 sin 45
： sin 75 -:
___________ 1 ___________ sin 45
： sin 45H 30
1
W
1
1
sin(45。

+口)|—sin (45”+a )+—cos (45”+a )
」
2
2
一
ysin 2 45
： fsin 45
: cos 45 :
所以
OM
OPsi n45， sin 45
同理
OPsi n45 sin 75
:
.3
i
1 - cos 90
2* | 亠 sin 90
2J .
-3
1
sin 2 cos 2 二 4 4
大值为［，此时.、，OMN 的面积取到最小值•即
2
. POM =30时，.OMN 的面积的最小
值为8—4.3 -
规律总结：
利用 a sin x + b cos x = a 2 + b 2sin( x + $ )把形如 y = a sin x + b cos x + k 的函数化为 一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等.
22 (本小题满分14分)已知函数
a ( a . R ，
e 为自然对数的底数)•
f(x) = x —1 +匸
e
(1) 若曲线y=f(x )在点(1 f (1))处的切线平行于 X 轴，求a 的值； (2) 求函数f (x )的极值；
(3) 当a =1的值时，若直线| • y 二kx 与曲线y = f (X )没有公共点，求k 的最大值・ 思路分析： 考点解剖：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、
函数的单调性、曲线上某点切线
方程、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，突出分类讨论思想与等价转化 思想的综合运用。

解题思路：(I)依题意，f '( 1) =0，从而可求得a 的值；
(n)
_，分①a <0时②a >0讨论，可知f (x )在€( - ^, lna )上单调递 f x 十电
e
减，在(lna , +8)上单调递增，从而可求其极值;
sin 2工-30
因为 0
_60，30 岂 2二-30 <150，所以当〉=30 时，
sin 2二"30
的最
在R 上没有实数解. g x =0 R
假设k 1，此时g0 =1
0，
(川)令
1，则直线I : y=kx-1与曲线
g (x )=f (x ) —(kx —1)=(1_k )x +-x
e
(x )没有
公共点？方程
g (x ) =0在R 上没有实数解.分 k > 1与k w 1讨论即可得答案
解答过程
解：(I)
由
a ，得
f x =X-1 r f X =1-
e
又曲线
y= f (x )在点
1, f 1处的切线平行于
x 轴，
得f 1 =o ，即—ad 解得a 9
e
(D )
f x.-A ，
e
①当
a^0时，
为
f '(X )A O ， f (x )为(-°°,邑
上的增函数，所以函数
f
X 无极值.
②当 a 0 时，令 f • x ;=0，得 e x = a ， x = In a •
x 」：,l n a ' f x ：0' x In a, ：： ' f x 0'
所以f %在」/a 上单调递减，在阮「上单调递增,
故f x 在-Ina 处取得极小值，且极小值为f ma = Ina ，无极大值. 综上，当a .
；■ o 时，函数
无极小值;
T x
f x 在X
=ln a
(川)当a 胡时，
1
f x =x-1 -x e
f x-kx-1 =1 -kx 丄'
e
则直线l :
y*XT 与曲线
y=f X 没有公共点，
等价于方程
g
1
=一1 0
k-1 1土0
e k^
X
又函数
的图象连续不断，由零点存在定理，可知
c 在R 上至少有一解,
g(x )
g(x )=o R
与方程
c 在R 上没有实数解”矛盾，故 1 .
g(x)=O 尽
R 兰1
所以k 的最大值为1. 规律总结：
4方程f(x)= 0有实数根？函数y = f(x)的图像与x 轴有交点？函数y = f(x)有零点，因此 八kx-1与曲线y _f X 无公共点？
£
I 彳 —
1 =0无 y
y_f l x )
g(x )= f (x ) —(kx_1 )=(1 _k )x + =
e
实根。

2.
求函数极值的方法：
(1) 求导数f ' (x )；
(2) 求方程f ' (x ) = 0的所有实数根；
(3) 对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f ' (x )的符号如何变化， 如果f '(X )的符号由正变负，贝U
f (X °)是极大值；如果f '(X )的符号由负变正，贝U f (X °)
是极小值.如果在f ' (x ) = 0的根x = x °的左右侧符号不变，则 f (x °)不是极值.
3.
(川)还可以这样解：
当a =1时，
1 .
f (x )=x -1+* e
直线| : y=kx _1与曲线y = f(X )没有公共点， 等价于关于x 的方程
1在
R 上没有实数解，即关于 X 的方程:
kx_1 =x_1+二
e
(* )
在R 上没有实数解.
①当k =1时，方程(* )可化为1 ，在R 上没有实数解.
—=0 X e 又k =1时,
1
，知方程
g x
它0
在 R g x =0 R
上没有实数解.
所以当 1 1时，方程（* ）无实数解,
---- 右 I -UQO _ —
k-1
.
，
e
解得仪的取值范围是彳 彳.
k
1 -e,1
综上，得k 的最大值为1 .
②当k =1时，方程（ *）化为 1 x
xe
k -1
令 g x 二xe x ，则有 g'x =「xe x
- 令 g x =0，得 x = -1，
x -1)
-1 （-1,畑）
g'（x ） — 0 + g(x )
□
1 e
x - -1 时，
g (X 滋=
1，同时当x 趋于“，gx 趋于
e
从而g %的取值范围为
当
当x 变化时，g
・x 的变化情况如下表:
1
二,。