基础课教学与创新精神-齐民友

iθ
= cosθ + i sin θ . 十分方便教学,特别是后续课程和其
他学科的课程的教学.举一个例子
∫e
∞
ax
cos bxdx = Re e( a +ib ) x dx
∫
.
2. 对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理 现在以一致收 敛的函数项级数的逐项积分为例.先看一个习题 (出自原书 I, 247 页第 42 题) “举例说明，存在满足 续函数序列.”
p 1/ m ⎤ (a p / m ) mn = ⎡ a ( ) ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ mn
⎧ p 1/ m ⎤ m ⎫ p n = ⎨⎡ a = a ( ) ( ) ⎬ ⎢ ⎥ ⎭ ⎦ ⎩⎣
基础课教学与创新精神
齐民友
武汉大学 数学与统计学院
湖北
武汉 430072
chiminyou@
科学活动最本质的特点就是创新或创造.
教学活动必须是最具有创造性的活动.
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因此,应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性.创造性不是“教”出 来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的.
算术根的存在和唯一性没有用代数的基本定理来证明，因为它只能保证方程
Z n = a (a > 0) 有复根存在，而无法保证有唯一正实根存在.所以我是用连续函数的中间值
定理来证明的．这与反函数定理是完全等价的．进一步 r = p / m 的情况有两个方法来定义： 或者定义为 a1/ m 的 p 次幂；或者定义为 a p 的 m 次方根，即 定义２． a p / m
n
的.为此，他需要先证明严格单调连续函数必
有反函数存在，并且在讲 y = f ( x) = x 时就已经明确地证明了它在 [0 , ∞ ) 上严格单调连续. 这些都比我国通用的多数数学分析教材讲得更好.我在另一篇文章里则用了以下定义： 定义１． a
1/ n
． (a > 0) 即方程 Z n = a (a > 0) 的算术根（即正实数根）
附
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录
小平邦彦一书的两点说明 1. 关于幂运算
幂运算 a λ 是指数函数和幂函数概念的基础:若视 a 为变量,就得到幂函数;若视 λ 为 变量,则得到指数函数.为什么要求 a > 0 ，我已经在另文中作了严格的论证,这里不再说 明. 幂运算有 3 条基本定律(我称为指数定律): 1. 2. 3.
p p p
( )
p 1/ m
亦即
(a ) = (a )
1/ m
p
p 1/ m
= a p/m .
（２）
这个证明的要害是：把 a 的有理分数幂变成 a1/ m 的正整数幂．反正 a1/ m 作为方程
Z m = a 的算术根是正实数，它的正整数幂就是简单的连乘积，所以可以应用前面讲的指数
定律．以后许多证明都是这样来的．这就是为什么前面说先开方后乘方有时更好．
下面从这本书里举几个例子，来说明我们关于教学中的创新的观点. 1. 尽早地比较系统地引入复数 复数与实数的“微积分”真正地表现出本质的区别， 应该从哥西—黎曼方程以及哥西定理开始.本书从变量与函数的概念开始就打破 了二者的界限,这样做有许多优点: 更深刻地表现了数学的统一性. 更符合历史发展的实际情况. 及早介绍欧拉公式 e
某个区间上的连续函数的一致收敛序列容许在积分号下求极限， 应该限制于此 区间为紧（通常教材上总说“有界闭区间）.
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紧性的作用.现在通用的教材的一个通病在于没有看到紧性的极端重要性.. C ( I ) 当 I 非紧时不一定是巴拿赫空间.它的对偶空间更是一个麻烦问题. 这个问题与构造广义函数（如 δ 函数）的关系. 自变量 x 变为 “逆变”. 还有没有其他的联系？ 如果说以上只是我们对于这个题目的“教学建议” ，下面则是原书作者 关于积 分号下取极限的问题进一步展开.原书 I,197 页给出了以下定理: “ 定 理 5.10 (Arzel à 定 理 ) 设 在 闭 区 间
创造性宁可说是一种心理素质，一种为人处事的态度或者习惯;它是一种最为宝贵的 素质：
创造始于不满足，始于否定.
创造始于自信.
创造始于脚下的每一步.
创造成于从心所欲不逾矩.
以小平邦彦的书为例：
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小平邦彦是谁？1915-1997，是日本 20 世纪最伟大的数学家之一.是少有的同时获得 Fields 奖（1954）和 Wolf 奖（1984-1985）的数学家之一. 此书是他写的教材.日文本初版于 1991 年(岩波书店出版)，当时他已经 76 岁高龄，于 1975 年在东京大学退休后，在学习院大学任教.此书应是他的晚年著作.他在晚年还主编了一 套日本高中教材，被美国数学会译为英文，获得广泛好评. 这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神! 对于我们如何创造性地做好基础课教学是很好的范例.
∫ f ( x)dx = 1 , 并且在区间 [0 , + ∞) 上一致收敛于 0 的连
n 0
1 ⎛ x⎞ 答案其实不难，例如取 f n ( x) = f ⎜ ⎟ , n ⎝n⎠
（ f ( x) = e 或 f ( x) = 要点何在？
−x
∫ f ( x)dx = 1 即可
0
∞
1
(1 + x )
2
均可）.
{ f n ( x)} 收敛，并且其极限 f ( x) = lim f n ( x) 在 [a , b] 上连续，那么
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ,
n a a
b
b
f ( x) = lim f n ( x) .
这个结果(以及上面的习题)都不是特别偏僻的,例如可以参看菲赫金哥尔茨《微积 分学教程》 （第二卷）.但是此书不是把这些进一步的展开作为可有可无的附加,而是作 为完整的论述的有机组成部分来看待.要点何在？ 本定理是勒贝格控制收敛定理的特例.您的学生学勒贝格积分理论感到抽象 吗？他们敢不敢应用这个理论的具体结果于自己的工作中？进而，对于数学中 更深刻的结果，他们是否愿意学？学了以后有没有具体的好处？ 本书把这个定理用于含参数的积分在积分号下求导数（见原书Ⅱ，267 页定理 6.19） .关于交换极限次序的问题,就我所见,本书是最清楚明确而且不繁琐的一本. 本书非常注意前瞻性.如上所述,已经尽可能早地引入复数,应用线性代数的概念 (如向量,矩阵等等)解决微积分的问题,现在还与所谓“精密分析”连接起来. 3. 不但瞻前,而且顾后.我国的情况是:进了大学就忘了中学;大学数学系毕业以后去教 中学时,又觉得大学学的东西完全没有用(实际上是不会用);大学数学系很少想到 担任中学教师是很大一部分学生的出路,培养合格的中学教师是大学不应推辞的
1 1 x （或 nx ）与函数值变为 f （或 nf ）在几何形象上互为 n n
[a , b ]
上 ， 函 数
f n ( x) ,
n = 1 , 2 , 3 , 连续，并且一致有界，即存在不依赖于 n 的常量 M , 使得
在 [a , b ] 上恒有 f n ( x) ≤ M 成立.如果函数序列
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另一个更重要的问题是：有理分数 r 可以写成不同形状的分数，如
1/ 3 = 2 / 6 = = 5 /15 等等，于是就有不同的 m 和 p ．所以至关重要的是要证明
定理２．如果 p / m = q / n , ( m , n 为正整数， p , q ≥ 0 . ) 则对于 a > 0 有
mp m
m
p
(
1/ m
) =( a)
p m
p
？实际上不但可以，而且有时还更好．原
= a , 双方求 p 次幂有 Z mp = a p ． 但是 mp
就是一个连乘积，所以
Z mp = Z pm = ( Z p ) = a p .

因此， Z 是方程 X m = a p 的算术根（注意 Z 是正实数）而按照定义１， Z = a
可以合理地写为 a a ⋅a = a
m n m+n p/m
.
当 m , n 是一般的有理数时如何证明？
以上可见本书 I, 72-88 页. 从这几个例子看:小平邦彦的书有哪些优点和创新？ 1.抓住了数学内容的不断发展的实质，而不是把它看成固定不变的,不可逾越的, 也不停留在形式推导的表面上； 努力建立数学各个部分的发展和相互联系， 而不是把作为一个整体的数学过度地划分为互不相关的“分支”. 2.提供了许多问题的新的处理方法，使我们不会误认为“数学（具体地说：微积 分） ”只能有我们熟悉的那一种理解，那一种讲法. 3.体现了高度的个性，正如小平邦彦可以“反常人之道而行” ，我们也可以“反 小平邦彦之道而行”.没有多样性，就没有创造性.鼓励教师和学生走自己的 路. 总之：一方面要去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里.达到对数学的 规矩（即内在的规律）的认识，做到中规中矩.另一方面，可以根据自己（教师 或学生）的具体情况以及学术上的爱好、习惯、长处与短处等等来教好（或学 好）一门课程，从中得到对于数学科学的真意的理解.综合这两个方面，就是前 面说的“从心所欲不逾矩”. 从这个意义上说，教与学都是一种“再创造”——从创造中学创造.这当然 是一个艰苦而又漫长的过程.
a m+n = a m ⋅ a n ;
(a m ) n = a mn ; (ab) m = a m ⋅ b m .
当 m , n 为正整数时,幂就是连乘积;这时,上述 3 条定律是自明的,我们不再证明.现在 要讨论的是 m , n 为有理分数的情况,即指数为
p q , ，而 m , n , p , q 均为正整数的情况 m n
a p/m = aq/n .
（３）
我们才看见了 a p / m 中 p / m 确实是一个有理分数． （但是我们下面 有了这个定理以后， 还会给出一个符合现代数学要求的形式化的证明， 虽然这对于大多数中学老师——更不说是 全部中学生——是完全不必要的） ．证明的方法和定理１的证明方法是一样的． 证明．对 a p / m 乘以 mn 次方．由于 p / m = q / n 即 pn = qm , 所以由（２）式有
( p , q 为 0 也可以,但为简单计,我们不仔细说明).以下,所谓分数均指有理分数,所以如像
3 之类的数暂不讨论,留待下面 m , n 为一般实数时再说. 2
首先是当 r =
p 为有理分数时（特别是 r = 1/ n 时）幂运算 a r 的定义问题.小平邦彦书 m
n
1/ n
上是用 y = f ( x) = x 的反函数来定义 y = x
( a > 0) 即方程
Zm = ap
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（１）
的算术根． 这里 a p / m 只是一个暂时的记号． 现在的中学教材时常就说：分数幂 a p / m 的定义就是
m
a p ．必须明确指出，这个说法是错误的，因为它隐含地规定了乘方的次数 p 与开方的次
数 m 的关系（也就是方程（１）左右双方的两个乘方次数的关系）是分数分子与分母的关 系，而这一点正是需要着力论证的事情．正因为如此，我们在定义２后面特意提醒： “这里 a p / m 只是一个暂时的记号” ． 中学教材还有一点遗漏：在 a 中是先开方后乘方还是先乘方后开方？看来似乎是先 对 a 乘 p 次方，再对 a p 开次 m 方．定义２则很明白是这样作的．因此自然有一个问题：可 否先开方后乘方，即定义 a p / m 为 a 因下面再说． 在下面的讨论中，我们暂时限制幂 r 为正，所以 p , q , m , n > 0 . 负指数的问题因为比 较明确，不会有什么误解，所以这里不说了. 我们先来证明先开方后乘方也是可以的． 定理１．定义２中的 a p / m 就是定义１中的 a1/ m 的 p 次方． 证明．记定义１中的 a1/ m 为 Z ，它的存在和唯一性上面已经说了．它是一个正实数， 因此可以对它求任意正整数次幂． 由定义１，Z 是正整数，从而 Z
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“定义” a
p/m
= m a p 对不对？
答案应该是：不对.因为这个式子的左方把幂的指数写成了分数,就是隐含地 承认了:右方根号的两个指数的关系恰好是分子与分母的关系.这恰好就是需要证 明的. 本书的定义方法(我作了一些改动)是:“定义”这种有理数指数幂为方程
Z m = a p 的唯一正实数根.再证明 m 和 p 恰好是分母和分子的关系.所以这个根