《二项分布与超几何分布》 讲义

《二项分布与超几何分布》讲义在概率论与数理统计中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。

理解和掌握这两种分布对于解决实际问题以及深入研究概率理论都具有重要意义。

一、二项分布
1、定义
二项分布是 n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。

假设每次试验的成功概率为 p ，则在 n 次试验中，成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。

2、概率质量函数
二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

3、期望和方差
二项分布的期望为 E(X) ＝ np ，方差为 Var(X) ＝ np(1 p) 。

4、应用场景
二项分布常用于以下场景：
多次独立重复的试验，例如抛硬币多次，计算正面出现的次数。

产品的质量检验，判断一批产品中不合格品的数量。

二、超几何分布
1、定义
超几何分布描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 的概率分布。

2、概率质量函数
超几何分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) 。

3、期望和方差
超几何分布的期望为 E(X) ＝ n M ／ N ，方差为 Var(X) ＝ n M ／N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。

4、应用场景
超几何分布常用于以下情况：
不放回抽样问题，例如从一批产品中随机抽取若干个，计算其中合格品的数量。

对有限总体的抽样分析。

三、二项分布与超几何分布的区别
1、试验类型
二项分布是独立重复试验，每次试验的结果只有两种（成功或失败），且每次试验的成功概率相同。

超几何分布是非独立试验，每次抽样的结果会影响下一次抽样的概率。

2、总体大小
二项分布的总体大小通常是无限的或者很大，而超几何分布的总体大小是有限的。

3、抽样方式
二项分布是有放回抽样，超几何分布是不放回抽样。

4、概率计算
二项分布的概率计算基于二项式定理，超几何分布的概率计算基于组合数。

四、二项分布与超几何分布的联系
尽管二项分布和超几何分布存在诸多区别，但在一定条件下，它们可以相互近似。

当总体数量 N 很大，而抽样数量 n 相对较小时，超几何分布可以近似看作二项分布。

此时，超几何分布中每次抽样对总体的影响很小，近似于独立重复试验。

五、实例分析
为了更好地理解二项分布和超几何分布，我们通过以下实例进行分析。

例 1：假设某工厂生产的产品合格率为 80%，随机抽取 10 个产品，求合格品数量的分布。

这是一个二项分布问题，n ＝ 10 ，p ＝ 08 。

例 2：一批产品共有 100 个，其中合格品 80 个，不合格品 20 个。

从中随机抽取 10 个，求合格品数量的分布。

这是一个超几何分布问题，N ＝ 100 ，M ＝ 80 ，n ＝ 10 。

通过计算概率并绘制概率分布图，可以更直观地感受两种分布的特点和差异。

六、总结
二项分布和超几何分布是概率论中重要的离散型概率分布，它们在不同的场景中有着广泛的应用。

通过深入理解它们的定义、性质、区别和联系，并结合实际问题进行分析和计算，能够更好地运用概率知识解决实际问题，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。

希望通过本讲义的学习，您对二项分布和超几何分布有了更清晰的认识和理解。