四川省成都市2021届九年级上学期期末数学试题(解析版)

四川省成都市金堂县2021-2021学年度上学期九年级期末
数学试题
一、选择题：
1.在实数0、3
-、tan45︒、1-中，最大的是（）
A. 0
B. 3
- C. 0
tan45 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值，根据正切的定义计算tan45︒=1，然后进行比较.
【详解】tan45︒=1，
则：－3＜－1＜0＜tan45︒
答案选：C
【点睛】本题主要考查直角三角形中特殊角的三角函数值的大小以及实数的大小比较.
2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）
A. 棱柱
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 球
【答案】B
【解析】
试题分析：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选B．
考点：三视图来判断几何体
【此处有视频，请去附件查看】
3.据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过人，把用科学计数法表示为（ ）
A. 66510⨯
B. 565010⨯
C. 90.6510⨯
D. 76.510⨯ 【答案】D
【解析】
【分析】
把一个数表示成a 与10的n 次幂相乘的形式（1≤a <10，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法.
【详解】根据科学计数法的规定1≤a <10，
则=×710.
答案选D
【点睛】本题主要考查科学计数法，解决问题的关键在于明确a 的取值范围：1≤a <10.
4.下列计算正确的是（ ）
A. 321x x -=
B. 257x x x +=
C. 246x x x •=
D. 44()xy xy = 【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方进行判断即可.
【详解】A:根据合并同类项法则应为3x -2x=x;
B 选项不是同类项，不能合并；
D:根据积的乘方法则应为()4xy =44x y ;
答案为C.
【点睛】本题主要考查了，同底数幂的乘法法则、合并同类项、积的乘方法则，熟练掌握运算法则才可以避免出错，这类题目也是中考的常考题目之一.
5.如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若CD=AC ，∠A=58°，则∠ABC 的度数为（ ）
A. 29°
B. 30°
C. 31°
D. 32°
【答案】A
【解析】
【分析】
依次连接CM、MB、BN、NC,则四边形CMBN为菱形，由此得出：∠BND=∠CND，根据全等三角形的判定定理，证明BND≌△CND，则BD=CD，故：△BDC是等腰三角形.CD=AC且∠A=58°，则∠CDA=58°，根据外角性质得出结果.
【详解】
依次连接CM、MB、BN、NC,则四边形CMBN为菱形,
则∠BND=∠CND.
在△BND和△CND中，
BN NC
BND CND
ND ND
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
△BND≌△CND，
则BD=CD，
∴△BDC是等腰三角形，
∠ABC=∠DCB，
在△ACD中，CD=AC且∠A=58°，则∠CDA=58°，
由三角形外角性质：∠CDA=∠ABC+∠DCB=2∠ABC，即58°=2∠ABC，
则∠ABC=29°
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、等腰三角形角的特征、三角形外角的性质，作出辅助线证明BD=DC 是解决本题的关键.
6.实数a b c d ,,,在数轴上的对应点的位置如图所示，则错误．．
的结论是（ ）
A. 4a
B. b c b c +=--
C. c b d c -<-
D. 0ac >
【答案】D
【解析】
【分析】
在数轴这条直线上的两个数，右边上点表示的数总大于左边上点表示的数，适用于A.
非负数（正数和0）的绝对值是它本身，非正数（负数）的绝对值是它的相反数,适用于B.
右边的数减去左边的数为数轴上两点间的距离,适用于C.
在数轴上通常正数在原点的右边，负数在原点的左边，适用于D.
【详解】数轴上右边上点表示的数总大于左边上点表示的数，故a ＜﹣4，A 正确.
﹣2＜b ＜﹣1、0＜c ＜1，则b+c ＜0，b c +=﹣（b+c ）=﹣b-c,B 正确.
c-b 表示c 、b 两点间的距离，d-c 表示d 、c 两点间的距离，由图像可知c b d c -<-，故C 正确. a ＜0，c ＞0，则ac ＜0.故D 错误.
【点睛】本题主要考查数轴的性质、数轴两点间的距离、绝对值，题目难度不大.
7.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间．．
的中位数是（ ）小时．
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
中位数：如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数；也就是选取中间的数，中位数是一种衡量集中趋势的方法.
【详解】学生一周锻炼时间为6个9小时，9个10小时，10个11小时，8个12小时，7个13小时.一共有
6+9+10+8+7=40个数据，则中位数为
2021
2
+
第个数据第个数据
=
1111
2
+
=11.
【点睛】本题主要考查中位数的意义，并且能根据中位数的意义找到中位数.
8.关于x的一元二次方程mx2+3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）
A. m<9
4
B. m<
9
4
且m≠0 C. m≤
4
9
D. m≤
4
9
且m≠0
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式（△=2b-4ac）可以判断方程的根的情况，
一元二次方程a2x+b x+c=0（a≠0）的根与根的判别式有如下关系：△=2b-4ac
①△＞0，方程有两个不相等的实数根；
②△=0时，方程有两个相等的实数根；
③△＜0时，方程无实数根；
根据根与根的判别式的关系即可判断.
【详解】mx 2+3x+1=0为一元二次方程,则m≠0,
一元二次方程m 2x +3x +1=0有两个不相等的实数根,
则△=2b -4ac=9-4m ＞0, 4m ＜9,故 m ＜9
4; 综上所述: m ＜9 4且m ≠0.
【点睛】本题主要考查利用一元二次方程根的判别式（ △=2b -4ac ）判断方程的根的情况,本题需要特别注意二次项系数m ≠0.
9.将抛物线y=﹣3x 2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. 23(1)1y x =-+-
B. 23(1)3y x =-++
C. 23(1)1y x =--+
D. 23(1)3y x =--+
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出抛物线y=﹣3x 2+1的顶点坐标(0,1)，根据题目信息得出平移后抛物线的顶点坐标为（1，3），根据顶点式即可得出平移后抛物线的解析式.
【详解】抛物线y=﹣3x 2+1的顶点坐标为（0，1），将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则
平移后抛物线的顶点为（1，3），则y=-321x -（）+3. 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移.
一般有两种方法得出平移后抛物线的解析式:
① 针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减”.
② 需要注意的是如果知道了顶点，则顶点坐标在移动时是“左减右加”.
10.正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕C 点逆时针方向旋转090后，A 点的坐标为( ).
A. (2,-1)
B. (2,0)
C. (1，-1）
D. (-1,0)
【答案】A
【解析】
【分析】 正方形ABCD 绕C 点逆时针方向旋转90°,则点C 的对应点C 1的坐标为（3，2），因为四边形ABCD 为正方形，则线段CB 绕点C 逆时针旋转90°至C 1B 1和原四边形的边CD 重合，即B 1的坐标为（1，1），CD 旋转至下图C 1D 1，旋转前后图形形状不变，即可做出正方形A 1B 1C 1D 1，则旋转后A 的坐标为（2，－1）. 【详解】
【点睛】本题主要考查图形的旋转，图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.认真观察图形的特点是解决本题的关键.
二、填空题
11.因式分解34x x -= ．
【答案】()()x x 2x 2-+-
【解析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，
先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()
()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-。

12.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=25°，∠2=55°，则∠3的度数等于____________.
【答案】30°
【解析】
【分析】
两直线平行，同位角相等，则∠4＝∠2=55°
. 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠4=∠1+∠3.故∠3=∠4-∠1=55°
-25°=30°. 【详解】
两直线平行，同位角相等，则∠4＝∠2=55°
, 根据三角形外角的性质可得：∠4=∠1+∠3，
故∠3=∠4-∠1，
=55°-25°，
=30°.
【点睛】本题主要考查平行线中同位角相等及三角形外角的性质，明确∠4=∠1+∠3是解决本题的关键.
13.函数21m y x
+=（m 为常数）的图像上三点（—1，1y ）、（14-，2y ）、（12，3y ），则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是__________________.
【答案】312y >y >y ；
【解析】
【分析】
由题目可知k =2m +1＞0（m 为常数）.在反比例函数中，当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小.根据反比例函数的单调性即可记性判断.
【详解】在反比例函数中，k 2m =+1＞0，
则在每一象限内，y 随x 的增大而减小， 已知函数21m y x +=（m 为常数）的图像上的三点中： （—1，1y ）、（14-
，2y ）、（12，3y ）， 0＞—1＞14
-（图像位于第三象限）， 12
＞0（图像位于第一象限）， 根据反比例函数的单调性知：0＞1y ＞2y ，3y ＞0，
综合比较得知：3y ＞1y ＞2y .
【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性.
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大.
14.正方形ABCD 的边长为3，如图将正方形ABCD 点沿对角线BD 折叠使点C 与点A 重合，在BD 上取一点E ，过E 作EF ⊥AD 于F.继续将△EFD 沿EF 折叠使D 与AF 上点M 重合,M 恰好为AF 的中点，设BE 的中点为P ，连接PF ，则PF 的长为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】
将△EFD 沿EF 折叠使D 与AF 上点M 重合,则FD=恰好为AF 的中点，故AM=MF=FD=1,
由于EF ⊥AD ，则FE ∥AB ，则∠FED=∠BAD=45°，故可知△EFD 为直角等腰直角三角形，则EF=FD=1，连接PM ，由FE ∥AB ，则知四边形BAFE 为梯形.在梯形BAFE 中，P 、M 分别为BE 、AF 的中点，根据中位线定理可知PM ⊥AF ，在Rt △PMF 中根据勾股定理即课求得PF 的大小.
【详解】
将△EFD 沿EF 折叠使D 与AF 上点M 重合,
则FD=MF.
M 恰好为AF 的中点，正方形边长为3，
则AM=MF=FD=1.
EF ⊥AD ，BA ⊥AD,
则FE ∥AB.
∠FED=∠BDA=45°
=∠FDE ， 故△EFD 为直角等腰直角三角形，
则EF=FD=1，
连接PM ，在梯形BAFE 中，P 、M 分别为BE 、AF 的中点，
根据中位线定理可知PM ∥BA ，故PM ⊥AF ，且PM=
2EF BA +=4 2
=2. 在Rt △PMF 中，PM=2，MF=1, 2PF =2PM +2MF ，
故41+5【点睛】本题是考查中位线定理、勾股定理的综合性题目，找出各线段的关系、画辅助线是解决本题的关键.
三、解答题
15.（1）
－2cos300
)0－
-2
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
（2）解不等式组：
2(1)61
123
32
x x
x x
+<+⎧
⎪
--⎨
≤
⎪⎩
【答案】
(1) 3;(2)
7
4
x≥
【解析】【分析】
（1
cos
1）=1，2
1
2
-
-
（）=2
1
1
2
-
（）=4，将各值代入即可.
(2)由2（x+1）＜6x+1解得x＞1
4
，由
1
3
x-
≤
23
2
x-
的x≥
7
4
，所以不等式组的解为x≥
7
4
.
【详解】（1）计算：
解：原式＝
+1-4
-3
(2)解：由不等式（1）得：x＞1 4
由不等式（2）得：x≥7 4
∴不等式组的解为x≥7 4
【点睛】本题主要考查算术平方根、特殊角的三角函数值，0次方、解不等式组.
16.化简：
2
2
211
(1)
11
a a a
a
a a
-+-
÷-+
-+
【答案】
1 a -
【解析】
【分析】
2
a-a+1=(a-1)2,2a-1=(a+1)(a-1) ,代入化简即可.
【详解】解：原式＝
2(1)(1)(1)(1)
(1)(1)1
a a a a a a a ----+÷+-+ ＝()
2
111a a a -+-（）（）•11a a a +--（）（）（）
= －
1a
【点睛】本题主要考查分式的化简，能够得出11a a -+-a +1=11a a -+-（a -1）=1111
a a a a ---++（）（）
是解决本题的关键.
17.如图，小红在A 处用测量仪测得某矩形广告牌顶端C 仰角为30°，然后前进10m 到达B 点，此时测得D 处的仰角为60°，已知小红的身高AE=，广告牌CD 的高度为2m,请你根据以上数据计算GH 的长.
【答案】132m ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
延长CD 分别交AB 、EF 于M 、N .这样就形成了Rt △BDM 和Rt △CAM . Rt △BDM 中，假设BM=x ，根据DM
BM
=tan60°，能够得出DM 、CM 、AM 的字母表达式，再根据Rt △CAM 中，∠CAM =30°
，能够得出AM
CM
33，将上面所得AM ，CM 的字母表达式代入即可得x ，从而得到DM 的值，最后得出CN 的值.
【详解】.解：延长CD 分别交AB 、EF 于M 、N .
∴AB=10m 、 AE=MN=、CD=2m 、∠CAM=30° 、∠DBM=60°， 在Rt △BDM 中,∠DBM =60°,设BM=x ， ∴
DM
BM
=tan60°3∴DM 3，CM 3x AM =10+x ， 在Rt △CAM 中, ∠CAM =30° ， 则cot30°
3AM CM
=， 3，
∴3(23)10x x =+， 53x = ∴DM 3-3， ∴CN 3-3+=（1
32
）m. 【点睛】本题主要考查解直角三角形，利用勾股定理解决实际问题，找准各长度的关系是解决本题的关键.
18.今年4月某小学五年级一班同学积极参加了植树活动，临走时同学们都对自己植树区域做了标记。

6月份该班同学绘制出植树区域树苗成活情况的部分统计图。

（1）请你将该条形统计图补充完整。

（2）若植树成活6株的同学中只有一名男生，学校将选择其中的两名同学为大家介绍植树经验，请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
【答案】(1)见解析；（2）1 2
【解析】
【分析】
（1）植树成活2株的人数占32％，即16人占总人数的32％，所以总人数为16÷32％=50人，则植树成活4株的人数为：50-9-16-7-4=14（人）.
(2)植树为6棵的人数一共有4人，假设这4人分别是男，女1，女2，女3，选择其中的两名同学为大家介绍植树经验，则所有可能的结果为12种，其中恰好抽到一名男生和一名女生的所有可能性为6种，则抽到
一名男生和一名女生的所有可能的概率为
6
12
=
1
2
.
【详解】解：（1）16÷32％-9-16-7-4=14（人）. （2）列表：
男 女1 女2 女3
男
（男 ，女1） （男 ， 女2） （男， 女3） 女1 （女1，男）
（女1，女2） （女1，女3） 女2 （女2，男） （女2，女1）
（女2，女3） 女3 （女3，男）
（女3，女1）
（女3，女2）
由列表法可知：共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中出现一名男生一名女生的有6种分别为：（女1， 男），（女2，男），（女3，男）， （男，女1），（男，女2），（男，女3）. ∴P （一男一女）=
612=12
. 【点睛】本题主要考查概率问题，有顺序的列举才能做到不重复、不遗漏.
19.如下图，在平面直角坐标系中，直线1l ：3y x =+n 与y 轴交于点A 与反比例函数m
y (m 0)x
=≠的图象交于B (-2,-2)，直线2l 过B 点与x 轴交于点C ，OA:OC= 4:3. （1）求m 的值以及直线2l 的函数表达式； （2）连接AC ，求△ABC 的面积.
【答案】（1）m=4，26
55
y x =-；（2）13 【解析】 【分析】
(1) 直线1l ：y=3x+n 与反比例函数y=
m
x
的图象交于B (-2,-2),将B (-2,-2)代入解析式得出m 、n 的值,从而得出直线1l 的解析式，由于直线1l 与y 轴交于点A ，得出A 的坐标，OA:OC= 4:3.得出C 点坐标.直线2l 经过B 、C ，由此可以求得直线2l 的解析式. (2)将ABC S
转化为
S △AOB 、 BOC
S 、AOC
S 之和进行计算.
【详解】解：
（1）∵y=m
x
过B （-2，-2）, ∴m=4.
∵y=3x+n 过B （-2，-2）． ∴n=4. ∴134l y x =+：.
∵34y x =+与y 轴交于A 点， ∴A （0，4）．AO=4 , ∵OA:OC=4:3, ∴CO=3 即C （3，0）.
设BC 的解析式为y kx b =+，且过C （3，0），B （-2，-2）,
∴3022k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：25
65k b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, ∴l 2的解析式为 y =
26
55
x - . （2）连接AC ，BO.
∴ABC S
=S △AOB + BOC S +AOC
S
=
•2
B
OA x +
•2B
OC y +
•2
OA OC
=13. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，将所求面积转化为其它图形的面积之和是解决本题的关键.
20.如图，已知□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交DC 于E ，DF ⊥BC 于F ，交AE 于G ，且AD=DF.过点D 作DC 的垂线，分别交AE 、AB 于点M 、N. (1)求证：AM=GE
(2)若DG=a 、CF=b,求AB 的长. (3)若
1
4
AM AE =,且DG=2，直接写出CE 的长.
【答案】（1）见解析；（2）AB =a+b ；（3）32
22
- 【解析】 【分析】
(1)AE 是∠BAD 的角平分线 ,则∠BAE=∠DAE,四边形ABCD 是平行四边形,则AB ∥CD ,∠BAD=∠C,求得∠ADN=∠CDF,由AB ∥CD 知∠BAE=∠DEA,所以∠DAE=∠DEA,所以AD=DE.根据ASA 证明△ADM ≌△EDG,所以AM=EG.
(2) 过点A 作HA ⊥AD 交DN 的延长线于H ,证明△DHA ≌△DCF(ASA) , CF=AH=b DH=DC=AB.通过∠AMH=∠HAM ,知HM=AH=CF=b .通过前面的全等知DM=DG =a ,求得HD 的长度.故知AB 的长度. (3) AB ∥DC 知对应线段成比例,由此可知
AN DE =MN DM =13,易得DN=42
3
, DA=DE 即AD=3AN, 在Rt △AND 中，根据勾股定理可知2AD DE ==, 由△ADN ∽△CDF 可知对应边成比例,可求得DC 的长度,继而求得CE 的长度.
【详解】
(1)证明：∵AE 是∠BAD 的平分线 ∴ ∠BAE=∠DAE ∵DN ⊥DC 、DF ⊥BC ∴ ∠NDA=90°
∠DFC=90° ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD ∠BAD=∠C
∴∠DAE=∠DEA ∠ADN=∠EDG ∴ DA=DE
∴ △ADM ≌△EDG(ASA) ∴AM=EG
(2)如图，过点A 作HA ⊥AD 交DN 的延长线于H.
∴∠HAD=∠DFC=90° ∵∠ADH=∠FDC AD=DF ∴ △DHA ≌△DCF(ASA)
∴CF=AH=b DH=DC=AB
易证 ∠AMH=∠HAM ∴HM=AH=CF=b ∵△ADM ≌△EDG(已证) ∴DM=DG =a
∴AB=DC=DM+MH =a+b (3) CE =DC-DE=32
2
-2. 理由如下:
在□ABCD 中，AB ∥DC
∴
AM ME =AN DE =MN
DM , ∵
AM AE =14 ∴AN DE =MN DM =1
3
, ∵2 2
即42DN = ∵ DA=DE 即AD=3AN,
∴在Rt △ADN 中，222AD AN DN -= 2AD DE == 易证：△ADN ∽△CDF
∴AD DN
DC DF = 即
AD DC =DN
AD
∴32
2
DC =
∴CE =DC-DE=
2- 【点睛】本题是考查全等三角形的判定定理、相似三角形的性质及判定定理、平行线对应线段成比例、勾股定理的综合性题目,本题难度较大,找到题目中对应关系是解决本题目的关键.
四、填空题
21.一元二次方程2310x x -+=的两根为1x 和2x ，则2
1232017x x ++=________．
【答案】2025 【解析】 【分析】
由题意可知2
1x -31x +1=0,则2
1x =31x -1,则2
1x +32x +2021=31x -1+32x +2021=3(1x +2x )-1+2021,根据一元二次方程根与系数的关系,可得结果. 【详解】由题意21x -31x +1=0, 则2
1x =31x -1.
原式=31x -1+32x +2021 =3(1x +2x )-1+2021 =()331⎡⎤
-⨯-
⎢⎥⎣
⎦
-1+2021 =2025
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将2
1x 转化为31x -1是解决本题目的关键.
22.在-3、-2、-1、0、1、2，3，这七个数中，随机选取一个数，记为a ，那么使得关于x 的反比例函数32
a y x
+=的图像位于第一、三象限，且使得关于x 的方程11
211ax x x
+-=--有整数解的概率为_____. 【答案】3
7
【解析】 【分析】
若要使得函数y =32a x +的图像位于第一、三象限,则k=3a +2＞0故a ＞－23
,若要使关于x 的方程11
ax x +--2=11x -有整数解,x=－ 42a -, 找出－ 42a -为整数的a 的取值.然后找到符合条件的a 的值占所给出数的几分之几即可.
【详解】若要使得函数y =
32a x +的图像位于第一、三象限, 则k=3a +2＞0,
故a ＞－23
. 若要使关于x 的方程
11ax x +--2=11x -由整数解, x=－ 42
a -,且x-1≠0 则－ 42
a -为整数且x ≠1, 故a -2可能为﹣4、﹣2、﹣1、1、2、4，
当a -2=﹣4时a =﹣2，x =1（舍去）.
当a -2=﹣2，a =0，x =2.
当a -2=﹣1时，a =1，x =4.
当a -2=1时，a =3，x =﹣4，
当a -2=2时，a =4，x =﹣2.
当a -2=4时，a =6，x =﹣1.
a ＞－23
且a =0、1、3、4、6， 在-3、-2、-1、0、1、2，3这七个数中随即取一个数记为a ，则上述a 中符合条件的为0、1、3，所以概率为37
. 【点睛】本题主要考查一次函数、分式方程.要想使分式方程有意义，则分式方程的分母不能为0，即x-1≠0，容易忽略.
23.反比例函数(2a y a x
=
>,a 为常数）和2y x =在第一象限内的图象如下左图所示，点M 在a y x =的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交2y x =的图象于点A ，MD ⊥y 轴于点D ，交2y x =的图象于点B ，若DB m BM n =，则:AOB AMB S S ∆∆= _____________.
【答案】2m n
n
+
【解析】【分析】
根据反比例函数图像与系数k的关系,知S△ODB=1，S△OAC=1，设M（x1，y1）A（x2, y2）,由题意知：DB m BM n
=，
则设DB=mk，BM=nk,,故mk• y1=2，（m+n）k• y2=2，容易得出y1，y2.则能得出S△ABM的面积表示方法. S△AOB=四边形ODMC的面积- S△ODB- S△OAC-S△ABM从而得出S△AOB的表示方法，两者进行比较即可得出最后结果. 【详解】根据反比例函数图像与系数k的关系，
知S△ODB=1，S△OAC=1
设M（x1，y1）A（x2, y2）,
由题意知：DB m BM n
=
则设DB=mk，BM=nk, mk• y1=2，（m+n）k• y2=2.
y1=
2
mk，
y2=()
2
m n k
+,
AM= y1- y2=
2n
km m n
+（）
，
S△ABM=
2
n
m m n
+（）
，
S△AOB=四边形ODMC的面积- S△ODB- S△OAC-S△ABM，
=2m n
m
+
（）
-1-1-
2
n
m m n
+
（）
=2m n
m
+
（）
-
2
n
mm n
+
-2
=2n m n m m n ++（）（）
:AOB AMB S S ∆∆=22n m n n m m n m m n +÷++（）（）（）
， =
2n m n m m n ++（）（）•2m m n n
+（）， =2m n n +. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及反比例函数图像与系数k 的关系，将S △AOB 转化为四边形ODMC 的面积 S △ODB - S △OAC -S △ABM 是本题的关键.本题难度不大，但是比较繁琐，所以计算时一定要认真.
24.如图，在边长为10cm 的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接CE ，过点D 作DF CE ⊥于点F ，连接AF,过点E 作EH AF ⊥于点H 且交CD 的延长线于点M ，交AD 于点G ，连接FG ，则AGF S ∆=_____cm 2.
【答案】803
【解析】
【分析】
在Rt △BEC 中，得出CE 的长度，继而证明△EBC ∽△CFD ，根据相似三角形对应边成比例得出CF ，CE 的长度,故EF 的长度.作PF ⊥BE,易证△EPF ∽△EBC ，相似三角形对应边成比例，得AP=AE+EP=5+3=8 PF=6,AF=10，再证△AEH ∽APF ，得AH=4,EH=3. 最后证明△AEH ∽AHG ，2AH =EH•HG ，得出HG 的长度，即可得到S △AGF.
【详解】
AB=BC=CD=10,
E 是中点，BE=5,
在Rt △BEC 中，10025+5
∠ECB=∠CDF ，∠B=∠DFC ，
∴△EBC ∽△CFD. ∴EB CF =BC DF =CE DC
， ∴555作PF ⊥BE,∠B=90°
∵PF ∥BC,
∴△EPF ∽△EBC, ∴PF BC =EF EC =EP EB
, ∴
10PF 3555=5EP , ∴PF=6,EP=3.
∴AP=AE+EP=5+3=8 PF=6,
∴AF=10,
∵EH AF ⊥,
∠EAH=∠FAP,∠APF=∠AHE ，
∴△AEH ∽△AFP, ∴AE AF =AH AP =EH PH
， 510=8AH =6
EH ,
AH=4,EH=3.
在△AEH和△AHG中，
∠EAH=∠AGH，∠AHE=∠GHA，∴△AEH∽△GAH.
∴2
AH=EH•HG，
∴HG=16
3
，
∴S△AGF=1
2 AF•HG
=1
10
2
⨯×
16
3
=80 3
.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定定理，抓住题目中提供的两组垂直关系多次运用相似是解决本题的关键.
25.如图，在线段AB上任取一点M（
1
2
BM AB
<）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC.连接AC，
作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，MN AM BN
>≥，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.
【答案】32 2
【解析】
【分析】
如图中，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了．
【详解】
如图，连接CM 、CN ，将△ACM 绕点C 逆时针旋转90°得△CBF ，将△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得△CFE ．
∵△ABC ，△DMN 都是等腰直角三角形，
∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°
∴DM ∥AC ，DN ∥BC ，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴EF ∥BC ，
∴EF ∥BC ∥ND ，
∵DM=DN=EF ，
∴四边形EFND 是平行四边形，
∴ED=NF ，
由∠NBF=∠FBC+∠CBA=90°
则2NF =2BN +2BF ，
点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，（MN AM BN >≥）
则2MN =2AM +2BN ，
又AM=BF ，
可知MN=NF ，
∴MN=ED ，
在RT △CDE 中，∵CD=CE ，∠DCE=90°， 2， 2CD ，
MN=3，
则2322
. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问
题的关键．
五、解答题
26.金堂三溪镇被中国柑桔研究所誉为“中国脐橙第一乡”，2021年12月某公司到三溪镇以元/千克购得脐橙12000千克，这些脐橙的销售期最多还有60天，60天后库存的脐橙不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为元/千克，经测算，脐橙的销售价格定为8元/千克时，每天可售出100千克;销售单价每降低元，每天可多售出50千克.
(1).如果按8元/千克的价格销售,能否在60天内售完这些脐橙按此价格销售,获得的利润是多少
(2).如果按6元/千克的价格销售,这些脐橙获得的利润是多少当这些脐橙销售价格定为x(35x ≤≤)元/千克时，可以使公司每天获得利润最大，每天的最大利润为多少
【答案】（1）不能在60天内售完.17400元；
（2）42000元，这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元.
【解析】
【分析】
（1）脐橙销售价格定为8元/千克时，每天可售出100千克，则60天能够销售：60×100=6000千克,不能销售完。

利润=前6000千克利润-剩余6000千克所损失的费用.
(2) 销售单价每降低元，每天可多售出50千克, 若按按6元/千克的价格销售，则每天销售100+860.5
-×50=300千克，则40天即可售完，所以利润为12000×（）=42000元. 当这些脐橙销售价格定为x(35x ≤≤)元/千克时则()()501008 2.50.5w x x ⎡
⎤=+
-⨯-⎢⎥⎣⎦（设每天利润为w ），通过二次函数的性质即可得出w 的最大值.
【详解】解：（1）6010012000⨯<
∴不能在60天内售完.
6000(8 2.5)(120006000)(2.50.1)330001560017400⨯---⨯+=-=（元）
（2）5012000(1002)400.5
÷+
⨯=（天） 40<60
∴12000(6 2.5)42000⨯-=（元）
设这些脐橙销售价格定为x （35x ≤≤）元/千克时，可以使公司每天获得最大利润w 元.
()()501008 2.50.5w x x ⎡⎤=+-⨯-⎢⎥⎣⎦
210011502250w x x =-+-
当x<时，w 随x 的增大而增大，
∵35x ≤≤
∴当x=5时，w 大=1000（元）
答：这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质,计算出每天销售的数量是解决本题的关键.
27.已知BD 为正方形ABCD 的对角线，P 、Q 两点分别在AB 、BD 上，且满足∠PCQ=∠ABD.
(1)求：AP DQ
的值； (2)由于四边形不具稳定性，把正方形ABCD 沿D 向右拉动,使∠BAD=120〫时,此时线段CD 、DQ 、BP 有何数量关系，请说明理由.
(3)如图3,在(2)条件下,延长CQ 交AD 边于点E 交BA 的延长线于点M,作∠DCE 的平分线交AD 边于点F,若CQ ：PM=5：7,EF= a ，求线段CD 的长.
【答案】（1）
2AP QD =（23DQ+BP=2CD ，理由见解析；（3）DC=247
a . 【解析】
【分析】 （1）连接AC ，由题意知：∠PCQ=∠ABD=45°，由于∠ACD=45°，故∠PCA=∠QCD ，又∠CDQ=∠PAC ，故△APC ∽△DQC.相似三角形对应边成比例，即能得出本题结果.
(2) 作∠QCK=∠PCQ ，过B 作BL ∥CK ，连接AC, 得∠CQD=∠∥CK ，则∠BLD ∠CQD ，∠BDL=∠CDB ，
则△BLD∽△CQD，知DL
DQ
=
BD
CD
=3，则DL=3DQ,CD+DK=3DQ，又通过证明△ACP≌DCK，故
DK=AP，所以CD+DK=CD+AP=2CD-BP=3DQ.
(3)根据题意易得:∠BDC=∠PCQ=30°，∠PMC=∠QCD,则△DQC∽△MPC,所以CQ
PC
=
CD
MC
=5:7，设BC=5k，
MC=7k，过C作CG⊥AB与G，则CGB=90°.AD∥BC易得∠ABC=60°，所以BG=5
2
k，CG=
53
2
k，在Rt△MGC
中，根据勾股定理知MG=11
2
k,则BM=8k，AB=BC=5k，AM=3k，因为AM∥CD易知△AME∽△DCE，则
知AE=15
8
k，延长CF、BM交于H，易得∠MCH=MHC，则，MH=MC=7k，AH=10k. △DFC∽△AFH,知
DF AF =
DC
AH
=1:2,易知AF=
10
3
k，又EF=a，则k=
24
35
a，所以DC=
24
7
a。

【详解】(1)如图1，连接AC，四边形ABCD是正方形.
∴∠PCQ=∠CDQ=45°,∠PAC=∠QDC=∠ACD=45°
∴∠ACP+∠ACQ=∠ACQ+∠QCD=45°.
∴∠ACP=∠QCD，
∴△APC∽△DQC.
∴
2
2
1
AP AC
QD CD
===
（23
理由如下：如图2，作∠QCK=∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC．
由题得四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°， ∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠QCK=∠ADB ，
∴∠CQD=∠CKD
∵CK ∥BL ，
∴∠CKD=∠BLD ，
∴△DLB ∽△DQC. ∴3DL BD DQ CD
== ∴3，
∴3，
∵∠BAD=120〫，∠PCK=60〫 AC 平分∠PAK ， ∴∠APC=∠CKD ∠PAC=∠KDC DC=AC ∴△ACP ≌△DCK ，
∴DK=AP ，
∴3， 3；
(3)在菱形ABCD 中,∠ABD=∠BDC=30°， ∴∠PCQ=∠CDQ=∠PCQ=∠ABD=30°，. ∵BM ∥CD ，
∴∠PMC=∠DCQ ，
∴△DQC ∽△MPC
∴CQ:PM=DC:MC=5:7，
∴BC:MC=5:7.
设BC=5k,则MC=7k,如图3,过C 作CG ⊥AB 于G ,则∠CGB=90°
∵AD ∥BC ，
∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD=120°
. ∴∠ABC=60°
.
∴BG=
52.
在Rt △MGC 中112k ， ∴BM=8k.
∵AB=BC=5k ，
∴AM=BM−AB=3k.
∵AM ∥CD ，
∴∠AMC=∠DCM ，
∵∠AEM=∠DEC ，
∴△AME ∽△DCE ，
∴AM:DC=AE:DE.
∴AE=158
k. 延长CF 、BM 交于H ，
则∠DCF=∠MHC
∵FC平分∠ECD，∴∠ECF=∠DCF，∴∠MCH=∠MHC，∴MH=MC=7k，∴AH=AM+MH=10k. ∵∠HFA=∠CFD，
∴△DFC∽△AFH，∴DF:AF=DC:AH=1:2
∴AF=10
3
k, EF=AF−AE=
35
24
k，
∵EF=35
24
k=a，
∴k=24 35
a
∴DC=24
7
a.
【点睛】本题是考查全等三角形的性质与判定定理，相似三角形的性质与判定定理、勾股定理、菱形的性质的综合性题目，本题难度较大，根据题目信息，作出辅助线是解决本题的关键.
28.如图，在平面直角坐标系中抛物线1c的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点B的横坐
标为-2，点C的纵坐标为﹣6，连接AC，且
1 tan
2
ACO
∠=.
（1）求抛物线1c 的解析式；
（2）如图2，抛物线2c 与抛物线1c 的图象关于点A 对称，交x 轴于点D.直线l ：x=m （m ＞3）与x 轴交于点E 与抛物线2c 交于点F ，是否存在以F 、E 、A 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由.
（3）一动点P 在直线x= 6上，平面直角坐标系中是否存在点Q ，使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
6y x x =--; (2) 610m m ==，或，151722
m m =
=，或 ; (3) Q 1(9,3)，Q 2(9,-3) ， Q 3(3,-12) ， 43(3,)4Q --. 【解析】
【分析】
(1)由题意可知A 、B 、C 点坐标，设1c 的解析式为y=ax 2+bx+c 且经过A 、B 、C 三点，即可求的1c 的解析式.
(2) 由题得B （-2，0），B 、D 关于A 对称，即可求得B 点坐标，根据根与系数的关系知：b=﹣11a ，抛物线2c 与抛物线1c 的图象关于点A 对称，且知A 、B 坐标，那么可求抛物线2c 的解析式. E(m,0)，F 在21124y x x =-+-上，则2(,1124)F m m m -+-.要使F 、E 、A 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则分两种情况，Rt AOC ∆∽Rt AEF ∆、Rt AOC ∆∽Rt FEA ∆分情况讨论即可.
(3)要想使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，则各边长度相等，分情况进行讨论：当CA=CP 时、当CA=AP 时、当PA=PC 时，从而得出Q 点坐标
【详解】解：
（1）由题得：C （0，-6），B （-2，0）
∴OC=6 ∵1tan 2
OA ACO OC ∠=
= ∴OC=3
∴A （3，0）
∵设1c 的解析式为y=ax 2+bx+c 且经过A,B,C 三点. ∴6420960c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解之得：116a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
抛物线1c 的解析式为：2
6y x x =-- （2）由题得B （-2，0）,B 、D 关于A 对称.
易得： D(8,0)
抛物线2c :21124y x x =-+-；
∵E(m,0)，F 在21124y x x =-+-上.
∴2(,1124)F m m m -+-
法一：
当Rt AOC ∆∽Rt AEF ∆
∴ACO AFE ∠=∠ ∴1tan 2
AE AFE EF ∠== 即：23121124
m m m -=-+-
解得： 1m =3，2m =6，3m =10；
∵m>3
∴610m m ==，或
②当Rt AOC ∆∽Rt FEA ∆
∴ACO FAE ∠=∠ ∴1tan 2EF FAE AE ∠== 即21124132
m m m -+-=- 解得：4m =3，5m =
172，6m =152， ∵m>3
∴151722
m m ==，或 综上：610m m ==，或，151722m m =
=，或 法二：
(1) 当38m <<时 .
①当AOC ∆∽AEF ∆
∴ACO AFE ∠=∠
∴1tan 2
AE AFE EF ∠=
= 即23111242m m m -=-+- ∴13m =（舍去） 26m =
②当AOC ∆∽FEA ∆
∴ACO FAE ∠=∠ ∴1tan 2EF FAE AE ∠== 即21124132
m m m -+-=- ∴3152
m = 43m =（舍去） (2)当8m >时.
①当AOC ∆∽AEF ∆
∴ACO AFE ∠=∠
∴1tan 2
AE AFE EF ∠== 即231(1124)2
m m m -=--+- ∴510m = 63m =（舍去）
②当AOC ∆∽FEA ∆
∴ACO FAE ∠=∠
∴1tan 2
EF FAE AE ∠== 即2(1124)132
m m m --+-=- ∴7172
m = 83m =（舍去）
综上：610m m ==，或，151722m m =
=，或 (3)设P （6，d ）.
①当CA=CP 时，
∴22226(6)63d ++=+
129,3d d =-=-
∴P 1(6,-3) P 2(6,-9)
∴Q 1(9,3) Q 2(9,-3)
②当CA=AP 时，
2222(63)63d -+=+346,6d d =-=
∴P3(66) P4(6,-6)
P3在直线AC上，不能与线段AC构成菱形. ∴Q3(3,-12)
③当PA=PC时，
=
521 4
d=-
∴
5
21 (6,)
4
P-
∴
4
3 (3,)
4
Q--
综上所述：Q1(9,3)，Q2(9,-3) ，Q3(3,-12) ，
4
3 (3,)
4
Q--.
【点睛】本次是考查二次函数的综合应用题，解题的关键是：待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题目意思，能根据实际分情况讨论问题.。