2019年高考数学真题考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例
一、填空题
1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos a,c=. 【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,
所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,
所以cos a,c=·||·||==.
答案:
【误区警示】本题容易忽视a,b为单位向量,致使解题困难.
2.(2019·全国卷Ⅲ文科·T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos a,b=.
【解题指南】直接代入向量的夹角公式计算.
【解析】cos a,b=-
==-.
答案:-
3.(2019·北京高考文科·T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.
【命题意图】本题考查向量的垂直与数量积,重在考查运算求解能力.
【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
4.(2019·天津高考理科·T14同2019·天津高考文科·T14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠
A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=.
【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查数形结合思想,考查考生应用向量手段解决问题的能力和运算求解能力等.
【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解即可.
【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,
因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,
因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.
因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.
因为==-=-,
所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.
答案:-1
【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:
建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D,.
因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,
因为AE=BE,所以∠BAE=30°,
所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),
直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.
(-),
得x=,y=-1,所以E(,-1).
由
-
所以·=,·(,-1)=-1.
答案:-1
5.(2019·浙江高考·T17)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2
+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是,最大值是.
【命题意图】本题主要考查平面向量的应用,题目难度较大.从引入“基向量”入手,简化模的表现形式,利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【解析】λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6
=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)
要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的值最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,
λ5=1,λ6=1,
此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0,
|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|2
=|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)|2
=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2
=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2
=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2
=8+4(|-|||)+2+2
=12+4(-)()|-|
=12+4()|-|=20,
等号成立当且仅当λ1,-λ3,λ5-λ6均非负或者均非正,并且λ2,-λ4,λ5+λ6均非负或者均非正.
比如λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,
则|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max==2.
答案:02
6.(2019·江苏高考·T12)
如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是.
【命题意图】主要考查平面向量的基本定理和数量积,选取,为基本量.
【解析】
如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
6·=3·(-)=(+)·(-)
=(+)·=
==·-+=·,
得=,即||=||,故=.
答案:。