高三数学精品课件：指数与指数函数

)(
－
(x－ )＝__－__2_3___.
因为 x>0，所以原式＝
) (
)2 － ( )2 －
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考点一 指数幂的运算 (基础考点——自主探究)
自主演练
3．若
，则
2 的值为____5____．
由
，得 x＋
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1由．题已知意 a知b＝a－b<50，，则aa －－baba＋＋bb －－abab的＝值a是( B－aa)b2 ＋ b
AC． ．－－ 2 ab25b2＝5 a
a52＋b DB．b．52＝±02a |5a5| ＋b |b5| ＝0.故选 B.
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0<a<1
a>1
当 x＝0 时，y＝1，即过定点(0,1)
当 x>0 时，0<y<1； 当 x>0 时，y>1； 性质
当 x<0 时，y>1 当 x<0 时，0<y<1
在 R 上是减函数
在 R 上是增函数
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A即．2a1a－4＝1，解得 a＝B4．. 2
C．4
D．8
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5．若 a>0 且 a≠1，则函数 f(x)＝ a2x － 4 ＋ 3 的 图 象 恒 过 定 点
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考点二 指数函数的图象及应用 (核心考点——合作探究)
法二：(特值法)二次函数 f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是 a，b， 且 a>b，故由已知函数图象可知，0<a<1，b<－1.而函数 y＝ax 是一个单调递减函数，所以函数 g(x)＝ax＋b 也是一个单调递 减函数，且 g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，即函数 g(x)的图象与 y 轴的 交点在 y 轴的负半轴上，可知选项 A 满足条件． 答案：A
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1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示， 并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又 含有负指数． 2．指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关， 要特别注意区分 a>1 或 0<a<1.
考点一 指数幂的运算 (基础考点——自主探究)
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1. a3 (a>0)的值是( D ) a·5 a4
A．1
B．a
C．
D．
故选 D.
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考点一 指数幂的运算 (基础考点——自主探究)
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2．若 x>0，则(
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考点二 指数函数的图象及应用 (核心考点——合作探究)
法一：由于函数图象关于 y 轴对称，所以函数为偶函数，所 (以2)已2|知x＋a函|＝数2|－yx＋＝a|.2根|x＋据a|的指图数象函关数于的单y 轴调对性称可，知则，实|x＋数a|a＝的|－值x＋是 _a_|，_0_只__有__当． a＝0 时，等式恒成立．故 a＝0. 思法路二分：析根：据思函路数图1：象利的用变f化(－规x律)＝可f(知x)进，函行数推断y＝．2|x＋a|由函数 y 思＝路2x 进2：行利变用换图得象到变，换先规将律函即数由y＝y2＝x 关2x 于如何y 轴变进换行到翻y＝折2，|x得＋a|到的 图函象数判y断＝．2|x|，此时函数关于 y 轴对称，再将图象向左平移 a 个单位得到 y＝2|x＋a|，此时函数关于 x＝－a 对称，根据题目 条件可知对称轴为 y 轴，故 x＝－a＝0，即 a＝0.
能力.
4．知道指数函数是一
类重要的函数模型．根式的概念
根式的概念
符号表示 备 注
如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
n>1 且 n∈N＋
当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一
零的 n 次
个正数，负数的 n 次方根是一个负数
na
方根是零
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两
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3．已知函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数， 则下列结论正确的是( D )
由图象，知 f(x)＝ax－b 在 R 上单调递减，则 0<a<1.令 x＝0， 则 f(0)＝a－b<1＝a0，所以－b>0，即 b<0.故选 D. A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
(2)(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．
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【知识拓展】 在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且 结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有 负指数．易忽视字母的符号．
6 ． 函 数 y ＝ 1－3x 的 定 义 域 为
__(－__∞___，__0_] _，值域为_[_0_,_1_) _．
∵1－3x≥0，∴3x≤1＝ 30， 解得 x≤0，∴函数 y＝
1－3x 的 定 义 域 为 ( － ∞，0]． 又 3x>0，且 1－3x≥0， ∴0≤1－3x<1，∴函数 y ＝ 1－3x 的 值 域 为 [0,1)．
第二章 函数、导数及其应用 第五节 指数与指数函数
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考纲考情
素养形成
1.了解指数函数模型 核心
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4y由．轴两已对函知称数函，的数则图y实＝象数(关2aa于1－的4y值)x轴的是对图( 称象C，与)可指知数2函a1－数4y与＝aax互的为图倒象数关，于
负数没有
个，这两个数互为 相反数
±n a(a>0) 偶次方根
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2.两个重要公式
a ，n为奇数，
(1)n
an＝|a|＝
a a≥0， －a a<0，
n为偶数；
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【知识拓展】 1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a. 2．底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”： 当 a>1 时，指数函数的图象“上升”；当 0<a<1 时，指数函数 的图象“下降”．
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3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． 4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与 x 轴有交点，向上 (或向下)平移 a 个单位后，图象都在直线 y＝a(或 y＝－a)的上 方．
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的实际背景． 素养
2．理解有理数指数幂
数学 抽象
逻辑 推理
数学 数学 直观 数据 建模 运算 想象 分析
的定义，了解实数指 素养
数幂的意义，掌握幂 形成
☆
☆
的运算．
3．理解指数函数的概
念及其单调性，掌握 指数函数图象通过的 特殊点．
主要通过比较指数式大小、指数函数的图 考查
象与性质的应用考查逻辑推理、数学运算 角度
(3)
( ×)
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2．若函数 y＝(a－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a 的取值范围是___(1_,_2_) __．
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3．指数函数的图象与性质
0<a<1
a>1
图象
性质
定义域：R 值域：(0，＋∞)
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x－1＋2＝9，
所以 x＋x－1＝7，所以 x2
＋x－2＋2＝49，
所以 x2＋x－2＝47.
因
为
＝27－9＝18，所以原式 ＝4178＋＋32＝25.
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考点一 指数幂的运算 (基础考点——自主探究)
化简指数幂常用的技巧汇总 1．(ba)－p＝(ab)p(ab≠0)．
2．a＝( )m，
(式子有意义)．
3．1 的代换，如 1＝a－1a,
等．
4．乘法公式的常见变形，如
a－b，
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考点二 指数函数的图象及应用 (核心考点——合作探究)
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小题纠偏
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1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
n (1)
an＝(n
a)n＝a.(
×
)
(2)分数指数幂 amn 可以理解为mn 个 a 相乘．( × )
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考点二 指数函数的图象及应用 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(平移变换)二次函数 f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零 点是 a，b，且 a>b，故由已知函数图象可知，0<a<1，b<－1. 所以函数 g(x)＝ax＋b 的图象是由函数 y＝ax 的图象向下平移|b| 个单位得到的，而函数 y＝ax 是一个单调递减函数，故选项 A 满足条件．
(1)(一题多法)已知函数 f(x)＝(x－a)(x－b)(其中 a>b) 的图象如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是( )
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考点二 指数函数的图象及应用 (核心考点——合作探究)
思路分析：思路 1：可利用平移变换规律进行判断． 思路 2：可利用特值法验证排除．
__(_2_,4_)___．
令 2x－4＝0，得 x＝2， ∴f(2)＝a0＋3＝4， ∴函数 f(x)＝a2x－4＋3 的图象恒过定点 (2,4)．
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2．已知 a＝0.860.75，b＝0.860.85，c
＝1.30.86，则 a，b，c 的大小关系是
(D) A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
∵函数 y＝0.86x 在 R 上是减函数，∴ 0<0.860.85<0.860.75<1. 又 1.30.86>1，∴c>a>b.