概率论与数理统计课件-条件概率

則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
（公式法） 設 A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，則
P(B | A) P( AB) P( A)
P72 P120
7 62 10 9 3
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例2. 設10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取兩件，已知 其中有1件正品，求另1件也是正品的概率． 解： （公式法）
2)若n個事件A1，A2，…，An相互獨立，則將其中部分事件 換為對立事件所得的事件組也相互獨立．
3)若A1，A2，…，An是相互獨立的，則
P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An)
P(A1 A2 An ) 1 P(A1 A2...An) 1 P(A1 )P(A2) P(An)
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A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }，則
P A
b ab
,
PB
b ab
,
PB / A b
ab
从而有，P(B / A) P(B)
這表明，事件 A 是否發生對事件 B 是否發生在概率上 是沒有影響的，即事件 A 與 B 呈現出某種獨立性．
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三、 事件的獨立性
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例9.一工人照看三臺機床，在一小時內甲、乙、丙三臺機床需 要照看的概率分別為0.9、0.8和0.85，各臺機床是否需要照看是 獨立的． 求在一小時內 (1)沒有一臺機床需要照看的概率；
(2)至少有一臺機床不需要照看的概率； (3)最多有一臺機床需要照看的概率． 解： 設A、B、C 分別表示甲、乙、丙機床需要照看三個事件， 則 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
)P(
A2
|
A1 )
90 100
89 99
0.809
（2）P( A1 A2 A3 ) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2 )
10 9 90 0.00835 100 99 98
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三、 事件的獨立性
引例：袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次從中取出一球， 取後放回．令：
中任取1球， (1)求取出玻璃球的概率． (2)已知取出的是玻璃球，求它是紅球的概率．
解：設A＝{取出1個玻璃球}，B＝{取出1個紅球}． (1)P(A)=10/20=1/2 (2)P(B|A)=6/10
問題：條件概率P(B|A)與普通概率有何關係？
P(B | A) 6 6 / 20 P( AB) 10 10 / 20 P( A)
P(C2 ) P( A1 B1 ) P( A2 B2 )
2
[P( Ai ) P(Bi ) P( Ai Bi )] i 1
(2r - r 2 )2 r 2(2 r)2 .
易知，當0＜r＜1時，有P（C2）＞P（C1），即兩者相比， 後者的可靠性更高．
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四、試驗的獨立性(貝努裏概型的計算)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7．
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例5.100個零件中有10次品，每次任取一件，取後不放回． (1)連取兩次，求兩次都取得正品的概率； (2)連取三次，求第三次才取得正品的概率．
解：設Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3．
（1）P(
A1 A2
)
P( A1
1. 獨立試驗序列 若試驗滿足： 1) 可能的結果為有限個，且在相同的條件下重複進行； 2) 各次試驗的結果是相互獨立的.
則稱這一系列試驗為獨立試驗序列或獨立試驗概型.
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或 P(C ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A B)
1 (1 P( A))(1 P(B))
=1-0.4×0.5=0.8
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例7. 已知一批玉米種子的發芽率為0.9，現每穴種兩粒，求(1) 兩粒都能發芽的概率；(2)至少有一粒種子發芽的概率；(3)恰 好有一粒種子發芽的概率． 解：設兩粒種子為甲和乙，A={甲發芽}，B={乙發芽}，由題意
三個等式，則稱三事件A、B、C 兩兩相互獨立．
注意：事件兩兩獨立，不一定相互獨立．
例8. 若三事件A、B、C兩兩相互獨立，則A、B、C相互獨 立的充分必要條件是（ ）．
（A） A與BC獨立； （B）AB與A∪C獨立；
（C） AB與AC獨立； （D）A∪B與A∪C獨立．
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(2) n個事件相互獨立的定義
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例10．設每門炮的命中率為0.6，今有一敵機入侵，欲以99％的 把握擊中敵機，問應設幾門炮？
解：設配置n門炮，Ai={第i門炮擊中敵機}，i=1,2,…,n A={敵機被擊中}．
由題意知： A１, A2,…, An相互獨立．且 A= A１∪A2 ∪ … ∪ An
由於 P(A)= P(A１∪A2 ∪ … ∪ An) 1 P( A1 A2 ... An )
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3. 多個事件的獨立性 (1) 3個事件相互獨立的定義
三個事件A、B、C，如果滿足下麵四個等式
P( AB) P( A)P(B)
則稱三事件A、B、C相互獨立．
P( AC ) P( A)P(C )
如果A、B、C僅滿足上式中的前
P BC P(B)P(C )
P( ABC ) P( A)P(B)P(C )
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 0.4n
要使 P(A)≥0.99，只須1－0.4n≥0.99即可．
解得： n lg 0.01 5.026 lg 0.4
所以至少配置6門炮．
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例11. 設有4個相互獨立的元件組成的系統，每個元件的可靠性都 為r，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今對 4個元件按如下兩種方式組成系統，試比較兩個系統可靠性 的大小．
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2.條件概率的計算 a)在縮減的樣本空間上直接計算． b)利用公式計算．
例1．設10件產品中有7件正品，3件次品，從中取兩次，每次取 1件，取後不放回，求在第一次取得正品的情況下，第二次取得 正品的概率． 解：（縮減樣本空間法）
設 A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，則 P(B|A)=6/9=2/3．
§１.４ 條件概率
一、條件概率 二、乘法公式 三、事件的獨立性 四、試驗的獨立性(貝努裏概型的計算)
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一、 條件概率
實際中，有時會遇到在某一事件A已經發生的條件下，求另一 事件B發生的概率，稱這種概率為A發生的條件下B發生的條件概率．
例. 設盒中10個玻璃球(6紅，4藍)，10個木質球(7紅，3藍)，從
P( A) P(B) P( A)P(B)
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例6. 甲、乙兩人各自同時向一目標射擊．已知甲擊中目標的概 率為0.6，乙擊中目標的概率為0.5．求目標被擊中的概率． 解：設A={甲擊中目標}，B={乙擊中目標}，C={目標被擊中}．
由於 C=A∪B，且Ａ，Ｂ獨立得
P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8
系統一：先串聯後並聯
A1
A2
B1
B2
系統二：先並聯後串聯
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A1
A2
B1
B2
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解：用Ai，Bi表示如圖中諸元件可靠的事件，i=1,2，用C1、C2 分別表示系統一和系統二可靠的事件，
則 C1 A1 A2 B1B2 , C2 ( A1 A2 ) (B1 B2 ),
於是 P(C1) P( A1A2 ) P(B1B2 ) P( A1A2B1B2 ) r2 r2 r4 r2(2 r2 );
因 A、B、C 相互獨立，所求概率分別為
(1) P( A B C ) (2) P( A B C )
(3) P( A B C A B C A B C A B C )
演算法 P( A B C ) P( A)P(B)P(C ) (1) (2) P( A B C ) P( ABC ) 1 P( ABC ) (3) 略.
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一、 條件概率
1.定義1 設A，B為隨機試驗E 的兩個事件，且P(A)＞0，則稱
P( AB) P(B | A)
P( A)
為在事件A已發生的條件下，事件B發生的條件概率. 注：條件概率與普通概率有相類似的性質，如，
(1)若BC＝Φ，P((B∪C)|A)= P(B|A)+ P(C|A) (2) P(B | A) 1 P(B | A)
定義3 n個事件A1，A2，…，An，如果對於任意k（1＜k≤n）， 任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，滿足等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 則稱A1，A2，…，An是相互獨立的事件． 注：1)若n個事件A1，A2，…，An相互獨立，則其部分事件組也 相互獨立．
证明: 因为 A B=B－AB，且 B AB，所以有
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB) P(B) P(A)P(B)
P(B)[1 P( A)] P( A)P(B) , 所以 A 和Ｂ相互獨立．
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２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則所求概率為 P(B | A) [ P( AB)]
P( A)
由於 A B，有AB=B
且 P(A)=0.8 ， P(B)=0.4
因此 P(AB)= P(B)=0.4
於是所求概率為 P(B | A) P( AB) 0.4 0.5
P( A) 0.8
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練習：一個家庭有兩個小孩，已知至少有一個女孩，求兩個 都是女孩的概率．
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二、 乘法公式
若Ｐ(A)>0, 則 P(AB)=P(A)·P(B | A)
可推廣一般形式：若P(A1 A2… An-1)>0，則 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1) 例4.已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.8, 求P(A∪B) 解: P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB)
Ａ,B獨立．
（1）P ( A B )=P ( A ) P ( B )=0.9×0.9=0.81
（2）P(A B)=P(99
（3）P(AB A B)=P(AB )+P(A B) =P(A)PB( )+PA( )P(B) =2×0.9×0.1=0.18