2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案

2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
2．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
3．（2分）下列计算结果正确的是（）
A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2
C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
4．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）
D．（﹣3，﹣2）
5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415
人数34722
则该足球队队员年龄的众数是（）
A．15岁B．14岁C．13岁D．7人
6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．
B．
C．
D．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（）
A．70°B．60°C．30°D．20°8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）
A．B．
C．D．
9．（2分）下列说法正确的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT 与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）
A．msinαB．mcosαC．mtanαD．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝．
12．（3分）二元一次方程组的解是．
13．（3分）化简：（1﹣）•＝．
14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B 在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N 分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F 在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN ＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．
三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．
18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以
点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，答案下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB 的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为．六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C （8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为；
③当S＝时，m的值为．
七、（本题12分）
24．（12分）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠
COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与
y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．
答案
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．【知识点】有理数的加法．
【答案】解：5+（﹣3）＝2，
故选：A．
2．【知识点】简单组合体的三视图．
【答案】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，
故选：D．
3．【知识点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【答案】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；
B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B 不符合题意；
C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
4．【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．
5．【知识点】众数．
【答案】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为
13岁．
故选：C．
6．【知识点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
7．【知识点】三角形中位线定理．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，
则∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠B＝60°，
故选：B．
8．【知识点】一次函数的图象．
【答案】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
9．【知识点】随机事件；全面调查与抽样调查；方差．
【答案】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
10．【知识点】解直角三角形的应用．
【答案】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，
∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】解：ay2+6ay+9a
＝a（y2+6y+9）
＝a（y+3）2．
故答案为：a（y+3）2．
12．【知识点】解二元一次方程组．
【答案】解：，
将②代入①，得x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②，得y＝2，
∴方程组的解为，
故答案为：．
13．【知识点】分式的混合运算．
【答案】解：（1﹣）•
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
14．【知识点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【答案】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴＝＝＝，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，
解得：AO＝2，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
15．【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；反比例函数的性质．
【答案】解：作AE⊥CD于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥x轴，
∴四边形ABOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝6，
∴|k|＝6，
而k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
16．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【答案】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，
∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN ＝∠GMN，AD∥BC，
∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，
∴∠GMN＝∠MNG，
∴MG＝NG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，
∴＝＝2，
∴FG＝2EN＝4，
过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，
则MG＝GN＝x+4，
∴CG＝x+6，
∴PM＝6，
∵GP2+PM2＝MG2，
∴42+62＝（x+4）2，
解得：x＝2﹣4，
∴MD＝2﹣4；
当GH＝GN时，HN＝2GH，
∵△FGH∽△ENH，
∴＝＝，
∴FG＝EN＝1，
∴MG＝GN＝x+1，
∴CG＝x+3，
∴PM＝3，
∵GP2+PM2＝MG2，
∴42+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴MD＝4；
故答案为：2﹣4或4．
三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【知识点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣
＝2﹣+4+2﹣
＝6．
18．【知识点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】解：（1）由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，
∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．
19．【知识点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定．
【答案】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，AE＝DE，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠BAD，
∴DF∥AB，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵FA＝FD，
∴四边形AEDF为菱形．
四、（每小题8分，共16分）
20．【知识点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【答案】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；
（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），
补全的条形统计图如图所示；
（3）360°×＝72°，
即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（3）800×＝320（名），
答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
21．【知识点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【答案】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
五、（本题10分）
22．【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝＝＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．
六、（本题10分）
23．【知识点】一次函数综合题．
【答案】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y ＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
故答案为：m2．
③分情况讨论，
当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m＜15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．
七、（本题12分）
24．【知识点】几何变换综合题．
【答案】解：（1）AD＝BC．理由如下：
如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD ＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC；
（2）AD＝BC仍然成立.
证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，
即∠BOC＝∠AOD，
在△AOD和△BOC中，
，°
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，
∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，
∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，
∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，
∴△ABC∽△TBD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝3，
∵AT＝AB＝8，DT＝3，
∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，
∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，
故答案为：8+3；
②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，
∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，
∴△BAC∽△BTD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝，
在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，
∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，
∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，
∵TH⊥AD，
∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，
在Rt△DTH中，DH＝＝＝，
∴AD＝AH+DH＝2+；
如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，
则＝＝cos30°＝，
∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝＝，
∴DE＝AC＝×3＝，
∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AD＝＝＝；
综上所述，AD的值为2+或．
八、（本题12分）
25．【知识点】二次函数综合题．
【答案】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为G（2，﹣4），
当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），
∴点C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），
把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为（s，s﹣3），
∵点C′（0，3），G′（2，4），
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q（s+2，s﹣2），
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：（不符合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．。