河南省南阳一中2021届高三数学上学期第一次月考(8月)试题.doc

河南省南阳一中2021届高三数学上学期第一次月考（8月）试题
一：选择题（每小题5分，共60分） 1.函数x x y 412-+=的最小值是（ ）
A.1
B.
21 C.4
1
D.2 2.函数)1(4
2
≥+
=x x x y 的最小值是（ ） A.5 B. 4 C.3 D.2
3.函数)12(-x f 的定义域是]2,1[，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）
A.]3,1[
B. ]42[，
C.]10[，
D.]2,0[
4.函数)(x f 满足x x f x f =--)1(2)(，则函数)(x f 等于（ ）
A.
32-x B. 3
2
+x C.1-x D.1+-x 5.函数),3[,1
22
3)(+∞∈++=
x x x x f 的值域是（ ） A. ),711[
+∞ B. ),23[+∞ C.)2,711[ D.]
711
,23（
6.函数⎩⎨
⎧≥<-+=.
2,log ,
2,4)21()(x x x a x a x f a 是R 上的增函数，则实数a 的范围是（ ）
A. ]2,1(
B. ),2
1(+∞ C.)2,2
1( D.
),1+∞（
7.已知函数)(x f 的值域是]5,1[，则)(52)()(x f x f x g -+=的值域是（ ） A. ]8,4[ B. {}5 C.]6,5[ D.]6,4[
8.函数)(x f 是R 上的奇函数，且函数())1(+=x f x g 是R 上的偶函数，则函数)2020(f 等于 （ ） A. 1- B. 1 C.0 D.2021
9.函数)1(lg )(2
++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的范围是（ ） A.]4,0[ B. )4,0( C.),4()0,(+∞-∞ D.)4,0[ D
10.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常
用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21
x x f x x +=-的图象大致是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数(
)2
1||
2
1()log 112
x f x x
=+--，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 取值范围是
（ ）
A ． (,1]-∞
B ． 11
1[,)(,1]322⋃ C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,[1,)3
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
12.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，
()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8
()9
f x ≤
，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5
[,)4-
+∞ D ．4[,)3
-+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 函数2
)1()1lg()(-++=x x x x f 的定义域为
14.
函数1)13()(2+-+=
x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的范围是
15. 已知函数)3(ln )(2
+-=ax x x f 在]4,3[上是增函数，则实数a 的范围是
16．若函数()2
2f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．
三：解答题（共70分）
17．（10分）已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.
18. （12分）已知函数
21
()12
x x
a f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；
（3）若对任意实数，不等式[]
()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.
19．（12分）已知不等式15
|2|22
x x -++
≤的解集为M . （1）求集合M ；
（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c
++=，求
2993
a b c ++的最小值.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为3cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参
数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为
sin()4
πρθ- （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.
21．（12分）已知函数()()2
17g x x m x m =--+-.
（1）若函数()g x 在[]
2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；
（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的范围
22．（12分）已知函数2
1()(1)(12)ln (0)2
f x ax a x a x a =
+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．
高三2021年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题5分，共60分）
1---5：B C D A D 6----10：A C C D B 11--12：B D 二：填空题
13：
{}101≠≠->x x x x 且且:14：
{⎭⎬
⎫≤≤≥9101a a a 或:15：
)4,(-∞:16：{|01}a a << 三：解答题
17．已知函数()()210f x x a x a =++->.
（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，()121f x x x =++-，
故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314
x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或5
3x >.
故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧
⎫<-⎨⎬⎩⎭
或.
（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.
又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.
18.已知函数
21
()12
x x
a f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]
()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.
解：（Ⅰ）∵()f x 为R 上的奇函数，∴()00f =，即1
02
a -=，由此得1a =;经检验符合题意，故1a =
（Ⅱ）由（1）知()212
12121
x x x
f x -==-++∴()f x 为R 上的增函数. 证明，设12x x <，则()()12211222221121212121
x x x x f x f x ⎛
⎫-=-
--=- ⎪
++++⎝⎭ ∵12x x <，∴
2122
02121
x x -<++，∴()()12f x f x <
∴()f x 为R 上的增函数.
法二：0)12(22ln 2)(2
>+⋅=
'x x
x f ∴()f x 为R 上的增函数. （Ⅲ）∵()f x 为R 上的奇函数
∴原不等式可化为()()3f f x f m ⎡⎤>--⎣⎦，即()()3f f x f m ⎡⎤>-⎣⎦ 又∵()f x 为R 上的增函数，∴()3f x m >-， 由此可得不等式()2
3421
x
m f x <+=-
+对任意实数x 恒成立 由2
202110221
x x
x >⇒+>⇒<
<⇒+ 22
202442121
x x
-<-
<⇒<-<++
∴2m ≤.即]2,(-∞
19．已知不等式15
|2|22
x x -++
≤的解集为M . （1）求集合M ；
（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c
++=，求
2993
a b c ++的最小值. 【详解】
（1）115|2|(2)222x x x x ⎛
⎫-++
≥--+≥ ⎪⎝
⎭， 又因为15|2|22
x x -++
≤， 所以15|2|22
x x -++
=， 当21x <-
时，()135122,2222x x x x ⎛
⎫---+=-+==- ⎪⎝
⎭舍去，
当122x -
≤≤时，()15222x x ⎛
⎫--++= ⎪⎝
⎭成立，
当2x >时，()13522,2222
x x x x ⎛
⎫-++
=-== ⎪⎝
⎭舍去，
则1
22M x x ⎧⎫=-
≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111
423a b c
++=.
又因为
2
2121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以即2993a b c
+
+的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数），在
以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为
sin()4
2
πρθ-=
. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.
解：
（Ⅰ）由223cos 193x x y y αα
=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩,所以曲线的普通方程为22
193x y +=
由sin()sin cos cos sin 14
2442
y x π
ππρθρθρθ-
=
⇒-=⇒-= 所以直线的直角坐标方程1y x =+
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点-1,0P （）在直线l 上,
可设直线l
的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）, 代入22
193
x y +=
得2280,2640t --=∆=+> 设,A B 两点对应的参数分别是12,t t ,
则121242t t t t +=
=-
由参数的几何意义得122
PA PB t t +=-==,
所以PA PB += 21．已知函数()()217g x x m x m =--+-.
（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；
（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围.
【详解】(1)()g x 的对称轴的方程为12
m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以122m -≤或142
m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]
1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，
则()21729x m x m x --+->-在[]
1,1-上恒成立，即()2120x m x m -+++>在[]1,1-上恒成立，设()()212f x x m x m =-+++，则()min 0f x >， 当112
m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭
，
此时11m -<<，当112
m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，
综上1m ≥-22．已知函数21()(1)(12)ln (0)2
f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值；
（2）讨论函数的单调性．
详解：（1）∵()()2112
f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210a f x ax a x x -=++
'->， 由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14
a =， 此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x
--=， 当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数，
当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，
所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，
()f x 的极大值为()1351848
f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222
f =-+=-. （2）由题意得()()121a f x ax a x -=+-+' ()()2112ax a x a x
+-+-= ()()1210a a x x a x x
-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12
a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减； 当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增． ②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120a x a
-<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121a x a
-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减． ③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12a x a
->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121a x a
-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． ④当121a a -=，即13
a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增． 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在区间()0,1和
12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12
a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间（1,+∞）上单调递增．。