2018-2019学年浙江省衢州市五校联考高二上学期期末考试数学试题 解析版

浙江省衢州市五校联考2018-2019学年高二上学期期末考试数学
试题
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集定义，所有元素合到一起，得出结果。

【详解】
集合，，则故选C
【点睛】
本题考查了并集的定义。

2．设向量，，，若，则角（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用，即与数量积为零，求得角。

【详解】
得
因为所以故选B
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积知识点。

3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则
（）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，得到焦点弦长公式为，从而求得弦AB。

【详解】
，2p=2，p=1
故选B
【点睛】
本题考查了抛物线焦点弦长公式的应用。

4．直线，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两条直线平行的条件，求得m的值，就可以判断是的什么条件。

【详解】
，，
且
或且
所以“”是“”的充分不必要条件故选A
【点睛】
本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点。

5．下列命题正确的是（）
A．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行.
B．若平面，，则平面.
C．若，是两条不同的直线，平面，，则.
D．若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面和面面平行和垂直的判定和性质，来判断此题。

【详解】
A这两个平面可能相交，故A错
B这两个平面可能平行，也可能相交但不垂直，故B错
D这条直线可能与平面相交，这两个点分别在平面的两侧，到平面距离相等。

故选C
【点睛】
本题考查了线面和面面平行和垂直基本的判定和性质知识点。

6．直线与圆相交于，两点，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
此题直线与圆的交点恰有一点就是（0，1），就以1为底，另一点到y轴的距离就是另一点的横坐标的绝对值为高，求得面积。

【详解】
解得或
故选B
【点睛】
求解三角形面积问题，选取合适的底和高是解题关键。

7．函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和函数值的正负来判断。

【详解】
为奇函数，排除C、D
当函数值为正当函数值为负排除B
故选A
【点睛】
利用函数的基本性质是判断函数大致图像的方法。

8．如图，正方体中，是棱的中点，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，利用数量积求两直线所成角的余弦值。

【详解】
以D 为坐标原点，以
所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。

设 N(,0,0) B(3,3,0) M(0,3,1) (3,3,3)
故选D
【点睛】
本题考查了空间向量在几何中的应用。

建立空间直角坐标系时，单位长度利用已知条件适当选取，尽量使得点的坐标为整数。

9．过双曲线右焦点，且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，是坐标原点.若
，设双曲线的离心率为，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 由
，可知BO=BA 。

又由已知判断为通径，再利用 得到 的
关系，求得。

【详解】
BO=BA
由已知得
为通径 =
因为双曲线离心率大于1
所以故选D
【点睛】
求双曲线离心率的问题，就是要利用已知条件找出的关系，再利用，求得e。

10．如图，在矩形中，，，点为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使得平面平面，则当直线与平面所成角取得最大时，点到平面的距离为（）
A．B．1 C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
平面平面,过D做DM, DM为平面的垂线，即点到平面的距离，直线与平面所成角就为，利用把的正弦值写成DM的函数，求得函数取得最大值时的DM。

【详解】
在面ABD中，过D做DM交于M点，连接MF。

在平面中过F做的垂线，交于N点。

平面平面,DM, DM为平面的垂线，即点到平面的距离，直线与平面所成角就为
设,，则，，
在中
整理得
设
当时，取得最大值，即角最大，。

故选C
【点睛】
本题利用函数的思想求得在给定条件下，某个变量取何值时，另一个变量取得最值。

用函数的思想解决最值问题是常用方法。

第II 卷（非选择题)
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二、填空题
11．直线的斜率为____；倾斜角为___.
【答案】
【解析】 【分析】
化为斜截式，方便看出斜率和倾斜角。

【详解】
【点睛】
本题考查了斜率和倾斜角两个知识点。

12．双曲线的焦距为____；渐近线方程是____.
【答案】10
【解析】 【分析】 直接利用方程求得，再求焦距和渐近线方程
【详解】
焦距为10
焦点在x 轴，所以渐近线方程为
渐近线方程为
【点睛】
本题考查了双曲线的基本性质。

13．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示（单位：），则该“堑堵”的体积为___，表面积为___.
【答案】2
【解析】
【分析】
侧视图为直三棱柱的底面，高为正视图中标注的2，以此来求体积和表面积。

【详解】
侧视图中斜边为2，直角顶点到斜边的距离为1，可得直角边为
体积
表面积
【点睛】
看清哪一个视图是底面以及高和各边长，是解题的关键。

14．如图，在中，为边上一点，，，，的面积为，则____；____.
【答案】6
【解析】
【分析】
先利用面积求得，用求得，再利用余弦定理求得，最后再用余弦定理求得。

【详解】
由得
在三角形ABM和三角形AMC中，分别用余弦定理得
在三角形ABC中，利用余弦定理得=
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用。

15．对于直线上任意一点，点在此直线上，则直线的方程为____.【答案】
【解析】
【分析】
设直线方程，用待定系数法求直线方程。

【详解】
设直线方程为
将点带入
得
【点睛】
本题考查了待定系数法求直线方程。

16．已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆半径最小时圆的方程为___.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得圆的圆心在相交弦所在直线上，从而得到与的关系式，求出的最值，进而求得圆半径的最小值。

【详解】
圆
圆心半径为
圆
圆心半径为2
圆与圆的相交弦所在直线方程为：
两点平分圆的圆周，圆心在相交弦所在直线上
当时，b的最大值为-2，
圆的半径
圆的方程为
【点睛】
求最值问题，最常用的方法就是利用函数来求。

本题就是用二次函数求b的最值。

17．已知共面的三个单位向量，，满足，若空间向量满足
，且对于任意，，恒有，则____.【答案】
【解析】
【分析】
由，可知三个向量的夹角，建立空间直角坐标系，用向量坐标进行运算。

【详解】
共面的三个单位向量，，满足
，，彼此夹角为
以起点作为坐标原点，所在直线为x轴，以与垂直方向为y轴，以，，所在平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。

设
对于任意，，恒有
上式表示与，所在平面中的任意向量的差向量的模最小值为，即
又因为
所以，
符合题意。

【点睛】
解决空间向量的问题常利用空间直角坐标系下的坐标，做解析变换。

三、解答题
18．已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期及单调增区间.
【答案】(1) (2) ,单调递增区间为，.
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将转化为正弦型函数，以便求得函数值、周期和单调递增区间。

【详解】
（Ⅰ）
∴
或直接代入计算也可7分：即
（Ⅱ）的最小正周期为；
由，得
，
∴的单调递增区间为，.
【点睛】
辅助角公式是本题的解题关键，本题主要考查了正弦型函数的周期及单调区间的求法。

19．已知.
（Ⅰ）若任意，都有，求的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意的，存在使关于的不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用本题这个开口向上的二次函数图像思考的最小值都大于0，则恒成立，即。

（2）先考虑存在问题，即的最小值小于等于b,再考虑恒成立问题。

【详解】
（Ⅰ）由
解得
（Ⅱ）的图象的对称轴，
∴.
又，∴
【点睛】
解恒成立问题转化为的最小值都大于0，则恒成立。

解恒成立问题转化为的最大值都小于0，则恒成立。

存在x使得成立，转化为的最大值大于0。

存在x使得成立，转化为的最小值小于0。

20．如图，在直三棱柱中，已知底面为腰长为1的等腰直角三角形，且，，，分别是棱，的中点.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理证明，，从而证明直线平面
（2）构造与直线平行的直线，方便找到线面角。

【详解】
（Ⅰ）连结，直三棱柱中，
由题意得
，，
∴，∴
又，∴，∴
又，，平面
∴直线平面.
（Ⅱ）取中点，的中点为，连结，，，则，，
∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.
∵由（Ⅰ）证得直线平面，∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
在中，
∴直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定和线面角两个知识点。

特别提醒注意的是（2）中要找平行线的时候，条件中若有中点，多想再找一个中点，构造中位线来找平行线。

21．已知数列，，，且数列为公差为1的等差数列.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和，对于一切，，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）利用这个等差数列的首项和公差求的通项公式，再求出的通项公式. (2)错位相减求和，限定的取值范围是的子集，从而求得m的范围。

【详解】
（1）∵，∴
又数列为公差为1的等差数列，∴.
即的通项公式为
又，∴数列的通项公式为
（2）设，则
即①，
②
①-②得
即
∴.
∵，∴数列为递增数列，∴，，即.
又对于一切，，则
∴实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及错位相减求和，其中错位相减求和是数列求前n项和的重要方法。

22．已知椭圆过点，且它的离心率为，直线与椭圆相交于
，两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若弦的中点到椭圆中心的距离为1，求弦长的最大值；
（Ⅲ）过原点作直线，垂足为，若，，求直线的方程.
【答案】（1） (2) （3）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依题意求解即可求出椭圆的方程，
（Ⅱ）利用弦长公式，构造弦长的函数，用函数思想求最值。

（Ⅲ）设过原点的直线的方程，利用已知条件求出斜率即可。

【详解】
（1）由题意知，∴①
∵，∴②
联立①②解得，∴椭圆的方程为.
（2）由条件可知直线的斜率是存在的.设直线的方程为
将它代入椭圆方程得：
设，，∴，
设，则，
又∵，得.
又
.
当且仅当时，即时，.
（3）设直线：，点的横坐标为，则由得
原点到直线的距离为
又得：
由（2），
∴，.经检验，且符合题意.
∴直线方程为或.
【点睛】
求最值问题利用函数思想，构造函数模型。

求值问题利用方程思想，建立未知量的方程，进行求解。