考点06 空间几何体的有关计算问题(学生版)

考点06 空间几何体的有关计算问题
立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。

例如：2020年全国卷Ⅰ（文）[19],2020年全国卷Ⅱ（文）[20]，2021年全国甲卷（文）[19]，2021年全国乙卷（文）[18]，2021年新高考Ⅰ卷[20]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国乙卷（文）[18]等都对空间几何体的体积进行了考查。

〔1〕求空间几何体的表面积
(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.
(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的长度关系.
(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
〔2〕求空间几何体的体积
1.直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.
2.割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，再进行计算.
3.等体积法：选择合适的底面求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.
例1．（2022·全国·高考乙卷（文）·18）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的
中点．
(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；
(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．
例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·18）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．
(1)证明：//EF 平面ABCD ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
1．如图所示，在空间几何体ABCDE 中，△ABC 与△ECD 均为等边三角形，2AB DE ==，22BD =ABC 和平面CDE 均与平面BCD 垂直．
(1)求证：平面ABC ⊥平面ECD ；
(2)求空间几何体ABCDE 的体积.
2．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，24AB CD ==,0=60BAD ∠,侧棱1DD △底面ABCD 且1DD DC =．
(1)指出棱1CC 与平面1ADB 的交点E 的位置（无需证明）；
(2)求点B 到平面1ADB 的距离．
3．已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M 与平面α、平面β的交线分别为圆A 、圆B ．
(1)若平面γ与平面α、平面β的交线分别为1l ，2l ，证明：12l l ∥；
(2)若球面M 的半径为2，求以圆A 为上底面，圆B 为下底面的几何体AB 的体积的最大值．
4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N
(1)证明:直线//MN 平面BDH .
(2)过点,,M N H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.
5．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.
(1)证明：AE 平面DCF ；
(2)求四面体F ACE -的体积.
6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==.
(1)证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；
(2)若160,2ABC AA AB ∠==，且三棱锥11E A B F -43，求AB .
7．如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD DE ∠=⊥平面ABCD ，,2CF DE DE CF =∥，BE 与平面ABCD 所成的角为45.
(1)求证：平面BEF ⊥平面BDE ；
(2)求几何体ABCDEF 的体积
8．如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．求：
(1)该圆锥的表面积；
(2)直线CD 与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
9．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1
12224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒． (1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．
(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．
10．如图，已知圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，E 是弧AD 的中点．
(1)求该圆柱的表面积和体积；
(2)求异面直线BE 与AD 所成角的大小．
11．已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，母线SA 的长为22
(1)若圆锥的侧面积为2π，求圆锥的体积
(2)A B 、是底面圆周上的两个点，90AOB ∠=︒， M 为线段AB 的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM 与平面SOA 所成角的大小．
12．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.
(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；
(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.。