数学分析(2)期末试题集(证明题部分)[1]

一、不定积分部分
1.设()f x 具有可微的反函数()1f x -。

设()F x 是()f x 的一个原函数。

试证明
()()()1
1
1
f x dx xf x F f x C ---⎡⎤=-+⎣⎦⎰。

证 在公式右端对x 求导，我们有
()(){}
()()()()()()()()11
1111
111
1.
df x df x d xf x F f x C f x x f f x dx dx dx df x df x f x x x f x dx dx
----------⎡⎤⎡⎤-+=+-⎣⎦⎣⎦
=+-=
2. 设()f x 定义在(),a b 上，a c b <<，且有
()()()()()()()()1212;;lim ,lim x c
x c
F x f x a x c F x f x c x b F x A F x B -+
→→''=<<=<<==， 若()f x 在x c =处连续，试证明()f x 在(),a b 上存在原函数。

证 作函数()F x 如下：
()()()12
,
,,,,.F x a x c F x A x c F x B A c x b <<⎧⎪
==⎨⎪-+<<⎩
则()F x 在x c =处连续，由()f x 在x c =处连续知，()()lim lim x c
x c
F x F x -+
→→=，故根据导函数的特征，即知()()F c f c '=。

因而()F x 是()f x 在(),a b 上的原函数。

3. 试证明下列命题：
（1）（函数方程）设()f x 是(),-∞+∞上的可微函数，且满足
()()()2,f x y f x f y xy x y +=++∈(),-∞+∞，
则()()2
0f x x f x '=+；
（2）设()f x 在[]
,a b 上连续，在(),a b 内可微，且()()0f a f b ==。

则对()[],x C a b ϕ∀∈，有(),a b ξ∈，使得()()()0f f ξϕξξ'+=。

证 （1）取0x y ==可得()()()02000f f f =⇒=。

将原式改写成为
()()
()2,0,f x y f x f y x y y
y
+-=
+≠
可得
()()()
()()
()0
0lim
lim
220y y f x y f x f y f f x x x f y
y
→→+--''==+=+，
由此知
()()()2
200f x dx x f dx x f x C '''=+=+⋅+⎡
⎤⎣⎦⎰⎰，
即()f x 的一般表达式为()()20f x x f x C '=+⋅+；
（2）因为()x ϕ连续，所以存在原函数，记为()x Φ，则作()()()x
F x e f x Φ=⋅。

依题设易知，()[],F x C a b ∈且在(),a b 可微。

又()()0F a F b ==。

由洛尔中值定理知，存在(),a b ξ∈，使得
()()()()()()()()00F e f f f f ξξξϕξξξϕξξΦ'''=+=⇒+=⎡⎤⎣⎦。

4. 设()f x 在(),-∞+∞上可导，若有
()()()2f y f x x y f x y y x -+⎛⎫'=
≠ ⎪-⎝⎭
，
试证明()2
f x ax bx c =++；
证 以,x y x y +-替换,y x 可得
()[]()()2f x y f x y f x y
+--'=。

在上式两端对x 求导，我们有
()()()()0y f x y f x y f x y f x y ''++--+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
再对y 求导，我们有
()()()()()()0f x y f x y y f x y f x y f x y f x y ''''''''++-++---++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
由此可知()()f x y f x y ''''+=-，从而得到
()()
()()200f x f f x f ''''''''==。

因此()2
f x ax bx c =++；
5. 设()()
()(),f x C
∞∈-∞+∞且不恒为零。

若有
()()(
)()()lim 0,
,,x f x f x f y f
x y →∞
==∈-∞+∞，
试证明（ⅰ）()()01,f f x =是偶函数；（ⅱ）求()f x 的表达式。

证 （ⅰ）设()()0000f x x ≠>，则
()()()()()()00f x f x f
f x f x f x f x ==-⇒=-，
即()f x 是偶函数。

此外，由()()()()00001f f x f x f =⇒=；
（ⅱ）记r =，则在()()()f x f y f r =中对y 求导，可知()()()y
f x f y f r r '''=。

再对y 求导知
()()()()()2
y y f x f y f r r f r r ''''''''=+⋅，
因为2
3,y yy y x r r r r
'''==，所以（取0y =） ()()()()()
()0,
0f x f x f xf x f x f x ''''''==，
由此即得()()2
02
f x f x e
''=。

注意到()()
0f x x →→+∞，我们有
()()0002
f αα''=-<>，
最后得()2
x
f x e α-=。

二、定积分部分
1．证明:若f 在],[b a 上连续非负,且不恒为零,求证
0)(>⎰
b
a
dx x f .
证 设存在()b a x ,0∈使得()00>x f ,由连续函数的局部保号性得,存在0>δ且
()()b a x U ,;0⊂δ,对任意的()δ;0x U x ∈,有()()
02
0>>
x f x f . ()()
()02
)(000000>⋅=>≥⎰
⎰
⎰
+-+-δδ
δ
δ
δ
x f dx x f dx x f dx x f x x x x b
a
. 如果a x =0或b ,使得()00>x f ,则考虑0x 的半邻域,证法类似.
2． 证明由积分确定的连续函数零点定理：设()x f 在[]b a ,上连续，若()0=⎰b
a
dx x f ，
则()b a x ,0∈∃，使得()00=x f .
证 用反证法. 若对()()0,,≠∈∀x f b a x ,由连续函数的零点定理可知,()x f 在[]b a ,上不变号.不妨设在[]b a ,上()0>x f ,由定积分的性质可得()0>⎰b
a
dx x f ,此与条件矛盾,于是,
必()b a x ,0∈∃，使得()00=x f .
3. 证明积分中值定理的加强形式,即:设()x f 与()x g 在[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则一定()b a ,∈∃ξ,使得
()()()()⎰⎰
=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f ξ.
证 因为()x f 与()x g 在[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,不妨设在[]b a ,上
()0>x g ,由闭区间上连续函数的最大最小值定理,有[]
()[]
()x f M x f m b a x b a x ,,max ,min ∈∈==,于是
()()()()x Mg x g x f x mg ≤≤.
由定积分的性质,可知
()0>⎰b
a
dx x g ,且
()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤=b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx x g M dx x Mg dx x g x f x mg dx x g m ,
于是
()()()M dx
x g dx x g x f m b a
b
a
≤≤⎰⎰. 再由连续函数的介值定理可知,[]b a ,1∈∃ξ,使得
()()()()⎰⎰=b a
b
a
dx
x g dx x g x f f 1
ξ, 即有
()()()()⎰⎰=b
a
b a
dx x g f dx x g x f 1
ξ.
只需再证()b a ,∈∃ξ,使()()1ξξf f =即可.为此将上述等式移项改写成为
()()[]()01
=-⎰b
a
dx x g f x f ξ,
注意到()()[]()x g f x f 1ξ-为[]b a ,上的连续函数,由第2题的结论知,()b a ,∈∃ξ,使得
()()[]()01=-ξξξg f f ,又()0>ξg ,因而()()1ξξf f =.所以结论成立.
4. 证明:若f 在],[b a 上连续,且0)(≥x f ,
0)(=⎰
b
a
dx x f ,则0)(≡x f ,],[b a x ∈.
证 (反证法) 若存在()b a x ,0∈使得()00>x f .因为f 在点0x 连续,由连续函数的局部保号性,得,存在0>δ且()()b a x U ,;0⊂δ,对任意的()δ;0x U x ∈,有()()
02
0>>
x f x f .
()()
()02
)(000000>⋅=>≥⎰
⎰
⎰
+-+-δδ
δ
δ
δ
x f dx x f dx x f dx x f x x x x b
a
. 此与条件矛盾.故结论成立.
5. 证明不等式
()22
20
2<<⎰-dx e e x x . 分析: 因为x
e 在()+∞∞-,上为增函数,根据定积分的估值定理,应考虑()
2-x x e
在区间
[]2,0上的最大、最小值.
证 令()()()[]2,0,1122
∈--=-=x x x x x g ,则()x g 在闭区间[]2,0上的最大值和最小
值分别为[]
()[]
()0max ,1min ,,=-=∈∈x f x g b a x b a x ,因而()
121
≤≤--x x e
e
,所以()22
20
2≤≤⎰-dx e e x x .
又因为()
2-x x e 在区间[]2,0上连续,所以上述不等式中的等号均可以去掉,即所证不等式
成立.
6. 设函数()x f 在[]b a ,上可积,在点()b a x ,0∈处连续,()()⎰=x
a
dt t f x F .求证()x F 在
点0x 可导,且()()00x f x F ='.
分析: 为证()x F 在点0x 可导,且()()00x f x F =',应使用导数的定义.由题目的条件,本题的证明不能使用讲义中的定理6.13.
证 ()()()()⎰
⎰⎰
∆+∆+=-=
∆x
x x x a
x
x a
dt t f dt t f dt t f x F 00
000,
()()()()()()[]⎰⎰∆+∆+-∆=
-∆=-∆∆x
x x x x x dt x f t f x x f dt t f x x f x x F 00
00000011. 由于()x f 在点()b a x ,0∈处连续,因此对0,0>∃>∀δε,使当δ<-0x x 时,
()()ε<-0x f x f ,
限制δ<∆x ,则
()()()()[]()()⎰⎰
∆+∆+=-∆≤
-∆≤-∆∆x
x x x
x x dt x f t f x
dt x f t f x
x f x x F 0000
000011ε, 由导数的定义可得()()
()0000lim
x f x
x F x F x =∆∆='→∆.
7. 设()⎰
+
=
2
sin πx x
dt t x f .
(1) 证明()x f 是以π为周期的周期函数;
(2) 求()x f 的值域. (1) 证 ()⎰
+
+=
+2
3sin ππ
πx x dt t x f ,取区间变换π+=u t ,则有du dt =,于是
()()()x f du u du u x f x x
x x
===
+=+⎰
⎰
+
+
2
2
sin sin ππππ,
故()x f 是以π为周期的周期函数.
(2) 解 因为t sin 在()+∞∞-,上连续,注意到()x f 的周期为π,故只需在[]π,0上讨论其值域即可.因为
()x x x x x f sin cos sin 2sin -=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+='π,
令()0='x f ,得驻点4
3,421π
π
==x x .又()()()⎰⎰=-===23201sin ,1sin 0π
πππxdx f xdx f
,2sin 4454==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰π
ππtdt f 22sin sin sin 434543454
3-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰π
π
πππππxdx xdx dx x f ,
因而()x f 的最小值是22-,最大值是2,所以函数()x f 的值域是[]
2,22-.
8. 设()()x g x f ,均为[]T ,0上的连续可微函数,且()00=f ,证明: (1)()()()()⎰
⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'=T
T t T dt dx x g t f dx x g x f 0
; (2)
()()()⎰⎰
-'=T
T
dt t T t f dt t f 0
.
证 (1)由()x g 连续,所以
()⎰t
T
dx x g 关于t 可导,于是可用分部积分法,得到
()()()()()()()()dx x f dt t g dt t g x f dt t g d x f dx x g x f T x
T T
x T T
x T T '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰00
, 由()00=f 知,上述等号右端的第一项为零,于是
()()()()()()dt dx x g t f dx x f dt t g dx x g x f T T
t T x T T
⎰⎰⎰⎰⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=000
.
(2)
()()()()()⎰⎰⎰
'-='-⋅=T
T T
T
dt t f t T Tf dt t f t t t f dt t f 0
00
,注意到()00=f ,于是
()()()()T f f T f dt t f T
=-='⎰
00
,将()T f 代入前面等式右端,即有()()()⎰⎰-'=T
T dt t T t f dt t f 0
.
9. 设()x f 为()+∞∞-,上的连续周期函数,周期为T .证明()x f 的原函数必为周期函数与线性函数之和,且其周期函数的周期也为T .
分析: 要证对()()x f T x f =+,存在常数∈a ()+∞∞-,,使得()()()ax x g dt t f x F x
+==⎰0
,
且其中()x g 满足()()x g T x g =+.为此,将()x F 表示为
()()()[]ax dt a t f ax ax dt t f x F x
x +-=-+=⎰⎰0
,
记()()[]⎰-=
x
dt a t f x g 0
.故只需证明()x g 满足条件()()x g T x g =+并求出常数a 即可.
证 令()()[]⎰-=
x
dt a t f x g 0
,则
()()[]()[]()[]()()[]⎰⎰⎰⎰
+++-+=-+-=-=+T
x x T x x x T
x T
dt a t f x g dt a t f dt a t f dt a t f T x g 0
令
()[]()()⎰⎰
⎰=
⇒=-⇒=-+T
T T x x
dt t f T
a aT dt t f dt a t f 0
1
00,所以
()()[]()x dt t f T
dt a t f x F T
x ⋅+
-=⎰⎰00
1. 10. 若()t ϕ是连续的周期函数,周期为ω.证明:
(1)函数()()⎰+---=ωωϕx x kt
k kx dt e t e e x f 1
满足()()x x kf dx df ϕ+=,其中常数R k ∈; (2)()x f 必为周期函数,其周期也为ω.
证 (1) ()()()()[]
()()[]
()().
11
11x x kf e e x x kf e x e x e e dt e t e ke dx df k k kx
x k k kx x x
kt k kx ϕϕϕϕϕω
ωωωωω+=--+=--+-=---+--+--⎰
(2)()=+ωx f
()()()()()()()x f ds e s e e ds e s e e dt e t e e x x ks
k kx x x s k k x k t s x x kt k x k =-=-=-⎰⎰⎰+--++--+-=++--+ωωωωωωωωωωωϕϕϕ1
112. 11. 证明不等式⎰⎰+<+2022
02
1cos 1sin π
πdx x x dx x x . 证 只需证明01cos sin 2
2
<+-=
⎰
π
dx x
x
x I . 因为x x cos sin -在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π内变号,故用定积分的区间可加性
()().cos sin 11cos sin 111cos sin 1cos sin 24
22
4
2
1
242402⎰⎰⎰⎰-++-+=
+-++-=π
πππ
ππ
ξ
ξdx x x dx x x dx x x x dx x x x I 第二积分
中值定理
其中⎪⎭
⎫
⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4,4,
021ππξπξ,且有2
2211111ξξ+>+. 对上述等号右端第二个积分取变换x t -=
2
π
,则dt dx -=,故
()()()⎰⎰⎰--=-=-4
4
24
cos sin cos sin .cos sin π
ππ
πdt t t dt t t dx x x ,
于是()0cos sin 11114
02221<-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=⎰π
ξξdx x x I ,结论成立.
12. 设()x f 在[]a ,0上连续,且满足
()00
=⎰a
dx x f .试证:()a ,0∈∃ξ,使得()()0=+-ξξf a f .
证 取变换t a x -=,则dt dx -=,已知积分等式变为
()()()⎰⎰⎰-=--==a
a
a
dt t a f dt t a f dx x f 0
0.
注意到[]a x ,0∈时,也有[]a t ,0∈,因而()t a f -在[]a ,0上连续,于是
()()[]00
=-+⎰a
dx x a f x f .
由此可得()a ,0∈∃ξ,使得()()0=+-ξξf a f .
13. 设()x f 在[]1,0上连续且单调减少,证明对任意的常数()1,0∈a ,有
()()⎰⎰>1
00dx x f a dx x f a .
证法1 只需证明积分()()01
>-=
⎰⎰
dx x f a dx x f I a
.为此令adt dx at x =⇒=,所以
()()()()[]01
1
>=-=⇒=<⎰⎰⎰t at f a
dt
t f at f a I dt at af dx x f 减
,
故结论成立.
证法2
()()()()()()()()()()()()()()()[].
011112
121211
1
10
x x f a
a a
a a a x f x f a a x f a a x f a a dx x f dx x f a dx
x f a dx x f a dx x f dx x f a dx x f I <>--=---=--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰减
积分中
值定理
证法3 对[]1,a t ∈,构造辅助函数()()()⎰⎰-=t
a dx x f a dx x f t t F 0
,则()t F 在[]1,a 上连
续且可导,()0=a F ,()()()
()()00
>=-=-=
'<⎰t
f a
t af af t af dx x f t F ξξ减
积分中值定理
.
14. 已知()x f 是[]()0,>-a a a 上的连续偶函数,证明:()()⎰⎰
=
-a
a
a
x dx x f dx e x f 0
2arctan π. 证 因为
()()⎰
⎰
--=-=
a
t t
x a
x dt e x f dx e x f 0
arctan arctan ,所以
()()()()
()⎰⎰⎰⎰
=
++=----a
a a
x x a
x a
a
x dx x f dx e e x f dx e x f dx e x f 002
arctan arctan arctan arctan π. 15. 设()()x g x f ,在区间[]()0,>-a a a 上连续,()x g 为偶函数,A 为常数,且()x f 满足
()()A x f x f =-+,证明:()()()⎰⎰=-a
a a
dx x g A dx x g x f 0
.
证 因为
()()()()()()⎰⎰
⎰
-=--=
-=-a
a
t
x a
dx x g x f dt t g t f dx x g x f 0
,所以
()()()()[]()()⎰⎰⎰
=+-=-a
a
a
a
dx x g A dx x g x f x f dx x g x f 0
.
16. 设()x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π上连续,且满足()0cos 20
2
=⋅⎰dx x f x π
,证明:
(1) 若()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0π内可导,则存在∈ξ⎪⎭⎫
⎝⎛2,0π,使得()()ξξξtan 2f f =';
(2) 若()x f '在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0π内连续,则存在∈ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π与∈η⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π,使得 ()()ξξξtan 2f f =',()()ηηηtan f f ='.
证 (1) 首先,由
()0cos 20
2=⋅⎰
dx x f x π
,可知∈∃0x ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π,使得()0cos 002=x f x ,但
0cos 0≠x ,所以()00=x f .
令()()x f x x g ⋅=2
cos ,则()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,
0π上连续,在⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π内可导,且()020=⎪⎭⎫
⎝⎛=πg x g .因此,由洛尔中值定理, ∈∃ξ⊂⎪⎭⎫
⎝
⎛
2,
0πx ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π,使得 ()()()0cos cos sin 2='+-='ξξξξξξf f g ,
即有()()ξξξtan 2f f ='.
(2) 首先,由分部积分公式,有
()()()()
0cos sin cos 2cos 20
220
2
='⋅+⋅--=⋅⎰⎰
dx x f x x f x x x dx x f x π
π
,
再由被积函数的连续性,可知存在∈ξ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,
0π,使得 ()()()0cos sin cos 22='⋅+⋅-ξξξξξξf f ,
而0cos ≠ξξ,所以必有()()⇒='⋅+⋅-0cos sin 2ξξξξf f ()()ξξξtan 2f f =';
又由分部积分法,可得
()()()()()()()()()()()()⇒
=⋅-'⋅-=⋅-'⋅-=⋅-'⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰
0sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos 20
20
20
2
2
ηηηηηηηηπ
π
ππ
f f dx x f f dx
x f x x f x x x d x f x dx x f x
()()ηηηtan f f ='.
17. 设函数()x f 在[]π,0上连续,且
()()0cos ,00
==⎰⎰
π
π
xdx x f dx x f .试证明:在
()π,0内至少存在两个不同的点1ξ与2ξ,使()()021==ξξf f .
证法1 令()()π≤≤=
⎰x dt t f x F x
0,0
,则有()()00==πF F .
()()()()0sin cos cos cos 0
00
=+==⎰⎰⎰
π
π
ππ
xdx x F x x F x xdF xdx x f ,
由连续函数的性质,必存在()πξ,0∈,使得()()00sin =⇒=⋅ξξξF F .()x F 在[]ξ,0和
[]πξ,上都满足洛尔中值定理的条件,故存在()()()(),,0,,,0,021ππξξπξξ⊂∈⊂∈,使得
()()⇒='='021ξξF F ()()021==ξξf f .
证法2 由
()0
0f x dx π
=⎰知,()x f 至少存在一个零点()πξ,01
∈.
若()x f 在()π,0只有一个零点,则()x f 在1ξ的两侧异号且不变号,不妨设
()()()()0,,;0,,011<∈>∈x f x x f x πξξ.
由
()0
cos 0f x xdx π
=⎰
与()0
0f x dx π
=⎰,同时注意到x cos 在()π,0上的单调性,则有
()()()()()()1
1
1110
0cos cos cos cos cos cos 0f x x dx f x x dx f x x dx π
ξπ
ξξξξ=-=-+->⎰⎰⎰,
此为矛盾.因此至少存在两个不同的点1ξ与2ξ,使()()021==ξξf f . 18.设()x f a ,0>在[]a a ,-上有二阶连续导数,且()00=f .
(1) 写出()x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2) 证明在[]a a ,-上至少存在一点η,使得()()33a a
a f f x dx η-''=⎰
.
(1) 解[]a a x ,-∈∀,有
()()()()()()2
2!
20!200x f x f x f x f f x f ξξ''+'=''+
'+=, 其中ξ在0与x 之间.
(2) 证 由上式两边在[]a a ,-上取积分得到
()()()()22
102!
2
a a a a a
a
a
a f f x dx f xdx x dx x f dx ξξ----'''''=+=
⎰
⎰
⎰
⎰, 由于()x f ''在[]a a ,-上连续,因此()x f ''在[]a a ,-上存在最大、最小值m M ,,使
()M x f m ≤''≤,
于是由积分估值定理可得到
()()2
2
20
0122
a
a a a a
a x m x dx f x dx f dx M x dx ξ--''≤=≤⎰⎰
⎰⎰,
即有
()3
3
a a
a m f x dx M -≤
≤⎰
,
因为()x f ''在[]a a ,-上连续,由闭区间上连续函数的阶值定理知,[]a a ,-∈∃η,使得
()()33a a
a f f x dx η-''=⎰
.
19. 设()x f 在()+∞∞-,上连续,记()()()0
2x F x x t f t dt =-⎰,求证:
(1) 若f 为偶函数,则F 也是偶函数; (2) 若f 单调不增,则F 单调不减. 证 (1) ()()()()()()0
22t u
x x F x x t f t dt x u f u du F x =---=--=--+=⎰
⎰
,
故F 是偶函数;
(2) ()()()()()()00022x x x
F x x f t dt tf t dt f t dt xf x xf x '⎡⎤'=-=+-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
()()()()0
,x
f t dt xf x x f f x ξ=-=-⎡⎤⎣⎦⎰ 其中ξ在0与x 之间.
考虑上式右端两个因子之积:当0>x 时,()()0≥-x f f ξ,即有()0≥'x F ;当0<x 时,
()()0≤-x f f ξ,同样有()0≥'x F ;当0=x 时,()0='x F ,也就是说,在()+∞∞-,上有()0≥'x F ,
所以,F 单调不减.
20. 设f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()10
0f x dx =⎰
,记()()0
x
F x xf t dt =⎰,
(1)求()x F ';
(2)求证:()1,0∈∃ξ,使得
()()0
f x dx f ξ
ξξ=-⎰;
(3)求证:()1,00∈∃x ,使得()()02000='+x f x x f . (1) 解()()()0
x
F x f t dt xf x '=
+⎰;
(2) 证: 因为()()()1
010F F f t dt ==
=⎰,又F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,由罗尔
中值定理,()1,0∈∃ξ,使得()0='ξF ,即
()()0
f x dx f ξ
ξξ=-⎰;
(3) 证: 由()()00='='ξF F ,又()x F '在[]1,0上连续,在()1,0内可导,由罗尔中值定理,()1,00∈∃x ,使得()00=''x F ,即()()02000='+x f x x f .
21. 设f 在()+∞∞-,上连续,()0,>≤≤a M x f m ,证明:()()12a
a f t dt f x M m a
--≤-⎰. 证 由积分中值定理得到
()()()1,,2a
a
f t dt f a a a ξξ-=∈-⎰,
由f 在()+∞∞-,上连续,()M x f m ≤≤,则有()()m M x f f -≤-ξ,所以,
()()()()12a
a f t dt f x f f x M m a
ξ--=-≤-⎰. 22.设f '在[]()0,0>a a 上连续,且()()0,max 0='=≤≤a f x f M a
x ,证明:
()2
2
a Ma f x dx ≤⎰
.
证 应用分部积分法,注意到()0=a f ,并由积分中值定理得到
()()
()()()2
2
a a a a a f x dx xf x xf x dx f xdx f ξξ'''=-=-=-⎰⎰⎰
,
因为()ξf '在[]a ,0上连续,()x f M a
x '=≤≤0max ,由积分估值定理,则有
()2
2
a Ma f x dx ≤⎰
.
23.设函数f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()0>'x f .若极限
()a
x a x f a
x -++
→2lim 存在,证明: (1) 在()b a ,内,()0>x f ; (2) 在()b a ,内ξ∃,使
()()
ξξ
f dx
x f a b b
a
22
2=
-⎰; (3) 在()b a ,内存在与(2)中ξ相异的点η,使
()()()222b
a
f b a f x dx a ξηξ'-=
-⎰.
证 (1) 因为()a
x a x f a
x --+
→2lim 存在,且f 在闭区间[]b a ,上连续,所以,有 ()()02lim ==++
→a f a x f a x (初值), 又()0>'x f ,故f 在闭区间[]b a ,上为严格增加函数,所
以,当()b a x ,∈时,有()()0=>a f x f ;
(2) 设()()()2
,,x
a
F x x g x f t dt a x b ==
≤≤⎰,则()()0>='x f x g ,故()()x g x F ,在
区间[]b a ,上满足柯西中值定理的条件,于是,存在()b a ,∈ξ,使
()()()()
()()()
()()
2
22b a
x a
a
a
x x F b F a b a
g b g a f x dx f x dx
f t dt
ξ
='
--=
=
'
--⎰⎰⎰
,
即
()()
ξξ
f dx
x f a b b
a
22
2=
-⎰; (3) 因为()()()()a f f f f -=-=ξξξ0,又f 在区间[]ξ,a 上连续,在开区间()ξ,a 内可导,由拉格朗日中值定理,()ξη,a ∈∃,使得()()()a f f -'=ξηξ,代入(2)的结论,即得:
()()()222b
a f
b a f x dx a
ξηξ'-=
-⎰. 24. 设函数f 在[)+∞,0上连续,单调不减且()00≥f .试证函数
()()01,0,
0,
0.x n
t f t dt x F x x
x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在[)+∞,0上连续且单调不减(其中0>n ).
证法1 因为f 在[)+∞,0上连续,显然当0>x 时,F 连续(由连续函数的商运算性质).又
()()()()0
lim lim
lim 00x n n x x x t f t dt F x x f x F x
+
+
+
→→→====⎰, 故F 在[)+∞,0上连续.
对于()+∞∈,0x ,有
()()()()()()()
1
10
2
2
x
n n n n n n x
f x t f t dt
x f x f x
x f x f F x x
x x ξξξξ++---'=
=
=
⎰,
(其中x <<ξ0).因此,由f 在[)+∞,0上单调不减知()0≥'x F ,故F 在[)+∞,0上单调不减.
证法2 连续性的证明同上.由于
()()()()()()()1
02
2
2
0x
x x
x
n n n
n n n
x
f x t f t dt
x f x dt t f t dt
x f x t f t dt F x x x x +⎡⎤---⎣
⎦'=
=
=
≥⎰⎰⎰⎰,
故F 在[)+∞,0上单调不减.
25. 若函数f 在[)+∞,0上连续,且()A x f x =+∞
→lim ,证明:()0
1lim
x
x f t dt A x →+∞=⎰.
证 因为()A x f x =+∞
→lim ,所以f 在[)+∞,0上有界,而()()0
lim lim x x x f t dt f x ξ→+∞
→+∞
==∞⎰,
因此,所求极限为
∞
∞
型,可用洛必达法则,得到 (该题目应加条件()0≠x f ) ()()01lim lim x
x x f t dt f x A x →+∞→+∞
==⎰. 26. 设f 在[]b a ,上可微,()x f '非减,证明:()()()2b a b a
f x dx f a f b -≤+⎡⎤⎣
⎦⎰. 证 设()()()()[],,2
x a x a
F x f a f x f t dt x a b -=+-∈⎡⎤⎣⎦⎰,则只需讨论函数F 的单调性及在[]b a ,的定号性.
()()()[]()()()()()()()()()()[]().,,2
222
2221
x a f x f a
x x f a x f a x x f a x x f a f x f x f a x x f a f x F ∈'-'-=
'-+'--='-+-=-'-++=
'ξξξ
因为()x f '非减,,则上述结果说明()0≥'x F ,于是,()()0≥≥a F x F ,即
()()()2b a
b a
f x dx f a f b -≤
+⎡⎤⎣
⎦⎰
. 27. 设f 在区间[]1,0上连续,在()1,0内可导,且满足()()2
1
130
13
x f e
f x dx -=⎰
.证明存在
()1,0∈ξ,使得()()ξξξf f 2='.
证 由积分中值定理,得
()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=-31,0,111121ξξξf e f .
令()()x f e
x F x 2
1-=,则F 在[]1,ξ上连续,在()1,ξ内可导,且
()()()()1112
111ξξξF f e f F ===-,
由罗尔中值定理知,()()1,01,1⊂∈∃ξξ,使得
()()()[]022
1=-'='-ξξξξξf f e F ,于是()()ξξξf f 2=',()()1,01,1⊂∈ξξ.
28. 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()0=a f 且()()b a x x f ,,0∈∀≤',令
()()1
x a F x f t dt x a
=
-⎰,证明:()()b a x x F ,,0∈≤. 证 首先()x F 在()b a ,内可导,且
()()
()()()()()()()
()()2
2
1
1x a
f x x a f x a f x f F x f t dt f x x a x a x a x a ξξ---⎡⎤-⎣⎦'=-
+
==----⎰
, 其中ξ满足x a <<ξ.在[]x ,ξ上应用拉格朗日中值定理,可知,()x x ,0ξ∈∃,使得
()()()
()
00≤--'=
'a x x x f x F ξ,
于是()x F 在()b a ,内单调减少.再考虑单侧极限
()()()()lim lim lim 01
x
a
x a x a x a f t dt f x F x f a x a
+
+
+
→→→====-⎰,
所以得到()()b a x x F ,,0∈≤.
29.
2
2
20
2x
x
e dx e -<<⎰.
证 令()x
x
e x
f -=2
,则由()()0122
=-='-x
x
e x x
f ,得2
1
=
x .又(),10=f ()22e f =, ,1
214e f =⎪⎭
⎫ ⎝⎛所以f 在[]2,0上的最大值2e M =,最小值41e m =.由估值定理可得
2
2
2
2
2200
2x
x
e dx e dx e -=<<=⎰
⎰⎰.
30. 证明不等式
2
4
1sin sin 2x dx x π
π
π⎛
⎫+> ⎪
⎝⎭
⎰. 证 因为2sin 1sin 2sin 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅>+x x x x ,所以24
1sin sin 2x dx x π
ππ⎛⎫+> ⎪⎝⎭⎰. 31. 证明:连续偶函数的原函数必为奇函数与常数之和. 证 令()()()()()()()0
t u
x x x
G x f t dt G x f t dt f u du G x =--=
⇒-==
--=-⎰
⎰
⎰,由
微积分基本定理得()x f 的原函数()()C x G x F +=.
32. 证明:若[]b a ,上的连续函数()x f y =的图形有对称轴2
b
a x +=
,则 ()()20
2a b b
a
f x dx f x dx +=⎰⎰
.
证 因为22a b a b f x f x ++⎛⎫⎛⎫
-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以()()f x f a b x =+-.
()()()22
a b
b b
a b a
a
f x dx f x dx f x dx ++=+⎰
⎰
⎰,
而
()()()()22
2
2
a b t a b x
b b
a
a b a b a b a
f x dx f a b x dx f t dt f x dx +=+-+++=+-=-=⎰
⎰⎰⎰
,
故结论成立.
33. 证明:若[]b a ,上的连续函数()x f y =的图形有轴对称中心⎪⎭
⎫
⎝⎛+0,2b a ,则
()0b
a
f x dx =⎰.
证 由题目条件知()()22a b a b f x f x f x f a b x ++⎛⎫⎛⎫
-=-+⇒=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,又
()()()22
a b b b
a b a
a
f x dx f x dx f x dx ++=+⎰
⎰
⎰,
()()()()22
2
2
a b t a b x
b b
a a b
a b a b a
f x dx f a b x dx f t dt f x dx +=+-+++=-+-=
=-⎰
⎰⎰
⎰
,
故结论成立.
34. 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,证明:()()0
sin sin 2xf x dx f x dx π
ππ
=
⎰
⎰
.
书上的习题
35. 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,()1<x f ,证明:方程()0
21x
f t dt x =-⎰在()
1,0内恰有一个实根.
证 令()F x =
()0
21x f t dt x -+⎰
,则()()()1
01,11110F F f t dt ==-<-=⎰,故()()010F F ⋅<,
且()[]0,1F x C ∈,由零点存在定理,()0,1ξ∃∈,使()0F ξ=,即方程
()0
21x
f t dt x =-⎰在
()1,0内至少有一个实根.又()()21210F x f x '=-<-=-<,即()F x 在[]0,1上严格单调
减少,因而结论成立.
36. 设f 连续,证明:
()()2
3
2
12R R x f x dx xf x dx =⎰
⎰.
证
()()()2
22
3
2
00
1122t x R R R x f x dx tf t dt xf x dx ===⎰
⎰⎰.
37. 求证:()()2
00
arctan 1lim
1cos 6
x u x t dt du
x x π→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-⎰
⎰. 证 ()()()2
22
1cos ~20
0020
00arctan 1arctan 12lim
lim 1cos 3x u x x x x x x t dt du t dt x x x
-→→→⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=-⎰
⎰⎰ ()2022limarctan 13346
x x ππ
→=
+=⋅=。

38. 设()x f 在[]1,0上可导,当[]1,0∈x 时,满足()()x f f <<10,且()()x f x f ≠',试证方
程()()0
x
f x f t dt =
⎰在()1,0内有唯一实根.
证 令()()()0
x
F x f x f t dt =-
⎰,则
()()()()()()()()10
0010,11110F f f F f f t dt f f =>==-<-=⎰,
故()F x 在()0,1内有零点,也就是说,方程()()0
x
f x f t dt =
⎰在()0,1内有实根.
若()F x 在()0,1内有两个不同的零点,有罗尔定理,存在()0,1ξ∈,使得
()()()0F f f ξξξ''=-=,此与条件()()x f x f ≠'矛盾.
39. 设()()()t y t g t f ,,均为区间[]b a ,上的连续函数,()0>t f ,并且满足
()()()()t
a
y t g t f z y z dz ≤+⎰,
求证:在[]b a ,上成立不等式()()()()()t
z f s ds
t a
y t g t f z g z e
dz -
⎰≤+
⎰.
证 令()()()t
a
R t f z y z dz =
⎰，则()0R a =,只需证明
()()()()t
z t f s ds
a
R t f z g z e dz -
⎰≤⎰
.
由已知条件可得到
()()()()()()()()()()()()t
a
R t f t y t f t g t f t f z y z dz f t g t f t R t '=≤+=+⎰,
所以
()()()()()R t f t R t f t g t '-≤,
将上述不等式两端同乘()t
z
f s ds e -
⎰,得到
()()()()()()()()()t t t
a a
a
f s ds f s ds f s ds d R t e R t f t R t e f t
g t e dt ---⎡⎤⎰⎰⎰'⋅=-≤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, 再由积分的保号性,对上述不等式两端分别取[],a t 上的积分,注意到()0R a =,便有
()()()()()z
z
a a
t
t f s ds f s ds a a d R z e dz f z g z e dz dz --⎡⎤⎰⎰⋅≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以
()()()()()t
z
a a t f s ds f s ds a
R t e f z g z e dz -
-⎰⎰⋅≤⎰,
因而
()()()()()()()()()()()()()()()().t
z
t
z
a a
a a t z t
a a z t t f s ds f s ds f s ds f s ds a a
t t f s ds f s ds f s ds a a
R t e f z g z e dz f z g z e e dz f z g z e dz f z g z e dz ---⎛⎫⎰⎰⎰⎰≤=⋅ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎰⎰⎰== ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰ 故()()()()()()()t a
y t g t f z y z dz g t R t g t ≤+
=+≤+⎰()()()t
z t f s ds
a
f z
g z e dz -
⎰⎰
.
40. 设()x Φ为[]1,1-上的非负可积函数,且满足()11
1
=Φ⎰-dx x .又设当
1
>x 时,()0,0>∀=Φh x ,记()⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ=
Φh x h x h 1. (1) 求
()h h h x dx -Φ⎰
; (2) 若f 在[]1,1-上连续,求()()0
lim h h h
h f x x dx -→Φ⎰
;
(3) 若f 在[]1,1-上可积,且在0=x 处连续,求()()0
lim
h h h
h f x x dx -→Φ⎰
.
解 (1) ()()11
11h
h
h h h x x dx dx t dt h h ---⎛⎫
Φ=Φ=Φ= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰;
(2) 因为在[]1,1-上()x Φ非负可积,f 在[]1,1-上连续,由推广的第一积分中值定理得到
()()()()1,h h h h h x f x dx f x dx f h h h h ξξξ--⎛⎫
Φ=Φ=-<< ⎪⎝⎭
⎰⎰,
所以()()()()00
lim
lim 0h h h
h h f x x dx f f ξ-→→Φ==⎰
;
(3) 与(2)题的条件比较,结合(2)的结论,可以猜想所求极限应为()0f .由于题目只有函数的点连续条件,故只能考虑用函数在一点连续的定义.
首先,由定积分的性质
()()()()()()()()1
0010.h h h h
h
h h x
f x x dx f f x f dx h
h x f x f dx I h h ---⎛⎫
Φ-=
-Φ ⎪⎝⎭
⎛⎫
≤-Φ= ⎪⎝⎭
⎰
⎰⎰定义
因为()f x 在0=x 处连续,所以,对0,0εδ∀>∃>,只有h δ<,则对(),x h h ∀∈-,有
()()0f x f ε-<,于是,有 0I ≤≤
h
h x dx h h ε
ε-⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
⎰,
由极限定义得()()()0lim
0h h h
h f x x dx f -→Φ=⎰
.
41. 设f 在[]β,0上连续非负单调减少,若βα<<0,证明:
()()⎰⎰<α
ββα0
dx x f dx x f .
证法1
()()()()
(
)
f x d x f x
d x f
x d x f x d x f x d x
βα
α
β
α
α
αβααβ-=+-⎰⎰
⎰
⎰
⎰ ()()()()()()()12120.f f f f ααβξααβξααβξξ=---=--<⎡⎤⎣⎦
证法2 令()F x =()()[]0
,,x
f t dt x f t dt x α
α
αβ-∈⎰
⎰,则()0F α=,
()()()()()()[]()0
0,0,,,F x f x f x dx f x f x α
ααξξααβ'=-=-<∈∈⎡⎤⎣⎦⎰. 证法3 对
()0
f x dx β
⎰
作区间变换t x αβ=
,则dt dx α
β
=,且1βα>,于是
()()()()0
00
0f x dx f x dx f t dx f x dx f t f t dt β
α
α
αβββαββββαα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰⎰
⎰⎰.
42. 设f 在[]b a ,上连续,b a <,且
()()0,0==⎰⎰b
a
b a
dx x xf dx x f ,证明:至少存在两点
()2121,,,x x b a x x ≠∈,使得()()21x f x f =成立.
证 设()F x =
()x
a
f t dt ⎰,则()()()()0,0,F a F b F x f x '===,又
()()()()()0b
b
b
b
b
a a a a a xf x dx xd F x xF x F x dx F x dx ==-=-=⎡
⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰, 由()F x 的连续性可知,至少存在一点(),a b ξ∈,使得()0F ξ=.由罗尔中值定理知,至少存在两点()()12,,,x a x b ξξ∈∈,使得()()()()12121200,F x F x f x f x x x ξ''==⇒==<<.
43. 设f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且满足()()1
10
1,1x k f k
xe f x dx k -=>⎰
.证明:
()1,0∈∃ξ,使得()()
()ξξξf f 11--='.
证 因为()1x
xe
f x -在10,k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,故有积分中值定理得, 存在10,k η⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,使得
()()11,f e f ηηη-=设()()1x g x xe f x -=,则()g x 在区间[],1η上连续,且()()1g g η=,由
罗尔中值定理,存在()(),10,1ξη∈⊂,使得
()()()()()()()11100g e f e f e f f f f ξξξξξξξξξξξξξξ---'''=-+=⇒-+=,
即()()
()ξξξf f 11--='.
44. 函数f 在[)+∞,0上可导,()10=f ,且满足
()()()0101
x
f x f x f t dt x '+-
=+⎰. (1)求导数()x f '; (2) 证明:0≥x 时,不等式()1≤≤-x f e x 成立. 证 (1)(注:本题要用到微分方程的知识,应在学了微分方程之后再说) 由()()()0101
x
f x f x f t dt x '+-
=+⎰得, ()()()()()0
110x x f x x f x f t dt '+++-=⎰,
对方程两边求导得()()()()120x f x x f x '''+++=.令()u f x '=,则
()()()211ln ln 1111x du x du Ce dx dx u x x f x u u x u x x -+⎛
⎫'=-⇒=-+⇒=-++⇒==
⎪+++⎝⎭
⎰⎰, 由已知条件()()()01,000,f f f '=+=得()01f C '=-=,因此()1
x e f x x -'=-+.
(2) 证法1 当0x ≥时,由(1)的结论可知,()0f x '<,所以,()f x 单调减少,故
()()01f x f ≤=,令()()x g x f x e -=-.
则()()110111x x
x x x e x g x f x e
e e e x x x -----⎛⎫''=+=-+=--=≥ ⎪+++⎝⎭
,故当0
≥x 时,()g x 单调递增,所以,()()()0
00110g x g f e ≥=-=-=,即()1≤≤-x f e x .
证法2 由(1)及
()()()()0
01x f t dt f x f f x '=-=-⎰
可得()0
11
t
x e f x dt t -=-+⎰
. 因为当0≥x 时,
01x
e x
≥+,所以()000111t x x t x x e dt e dt e e f x t ----≤≤=-⇒≤≤+⎰⎰. 45. 设f 在()+∞,0内连续且单调增加,试证明对满足b a <<0的任意实数a 与b 成立不等式
()()⎰⎰
-≥
b
a
b
a
dx x f a b dx x xf 2. 证 对[],x a b ∀∈,令()()()()0012x
x
a a F x tf t dt x f t dt a f t dt ⎡⎤=-
-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则()0F a =, ()()()()()()011,0,2222
x x x
F x xf x f t dt f x f x ξξ'=-=-∈⎰,
因为f 连续单调增,所以()()f x f ξ≥,因而()[]0,,F x x a b '≥∈,即()F x 单调增,于是
()()0F b F a ≥=,即()()()001
02b b a a xf x dx b f x dx a f x dx ⎡⎤--≥⎢⎥⎣
⎦⎰⎰⎰. 三、定积分的应用
1. 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()0>'x f ,试证明:在()b a ,内存在唯一一点ξ,使曲线()x f y =与()a x f y ==,ξ所围成的图形面积1S ,是曲线()x f y =与
()ξf y =, b x =所围成图形面积2S 的3倍.
证 在()b a ,内取一点t ,则
()()()[]()()()[]⎰⎰-==-==b
t
t a
dx t f x f t S S dx x f t f t S S 2211,,
令
()()()()()[]()()[]⎰⎰---=-=b
t
t a
dx t f x f dx x f t f t S t S t F 3321,
则只需证明()t F 在()b a ,内有且仅有一个零点()b a ,∈ξ.注意到()0>'x f ,于是()x f 在
()b a ,内严格单调增,由积分估值定理可得()0<a F ,且()()()[]0>-=⎰b
a dx x f B f
b F ,由连
续函数的零点存在定理,可知()t F 在()b a ,至少存在一个零点. 另由
()()()()()()()()()
()()()()()[]()()()(),
03333>'-+'
-=--+'-=-+---'-+='ξf t b t a t x f t f t b t f a t t f t b x f t b t f t f a t t f t F
其中()x t ,∈ξ.于是()t F 在()b a ,内严格单调增,因而最多有一个零点.综合上述分析,所以
()t F 在()b a ,内有且仅有一个零点()b a ,∈ξ,使得()0=ξF .
2. 设常数⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈>2,
0,0πt k ,曲线2kx y =与x y cos =在t x =处相交,记1A 为2
kx y =, t y cos =与0=x 围成的面积, 2A 为t y cos =,x y cos =与2
π
=
x 围成的面积,证明
21A A A +=在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π内有唯一最大值.
证 由题意,交点为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0,cos ,πt t t ,因此得到2
cos kt t =,。