全国高中数学联合竞赛精彩试题与解答(B卷)

2017 年全国高中数学结合比赛一试（ B 卷）
一、填空题：本大题共 8个小题,每题 8分,共 64分.
1. 在等比数列 { a n } 中， a
2 ， a
3
3 ，则
a 1
a
2011
的值为
.
2
3
a 7
a
2017
2. 设复数 z 满足 z 9 10 z 22i ，则 | z |的值为
.
3. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数，若 f ( x) x 2
是奇函数， f ( x) 2x 是偶函数，则 f
(1)的值为
.
4. 在 ABC 中，若 sin A 2sin C ，且三条边 a, b, c 成等比数列，则 cosA 的值为
.
5. 在正周围体 ABCD 中， E, F 分别在棱 AB, AC 上，满足 BE 3， EF
4 ，且 EF 与平面 BCD 平行，
则
DEF 的面积为
.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K
{( x, y) | x, y
1,0,1} ，在 K 中随机取出三个点，则这三个点两两
之间距离均不高出
2 的概率为
.
7. 设 a 为非零实数，在平面直角坐标系 xOy 中，二次曲线 x 2 ay 2 a 2
0 的焦距为 4，则 a 的值
为
.
8. 若正整数 a, b, c 满足 2017 10a 100b 1000c ，则数组 (a,b, c) 的个数为
.
二、解答题 （本大题共 3 小题，共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
. ）
9. 设不等式 | 2
x
a | | 5 2x |对所有 x [1,2] 成立，求实数 a 的取值范围 .
10. 设数列{
a n } 是等差数列，数列
{ b n }
满足 b
n
a
n 1
a
n 2
a2，
n 1,2, .
n
（ 1）证明：数列{ b n } 也是等差数列；
（ 2）设数列{ a n}、{ b n}的公差均是d 0 ，并且存在正整数s,t ，使得a s b t是整数，求 | a1 | 的最小值.
11. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1: y24x ，曲线 C 2 : (x4) 2y28 ，经过 C1上一点P作一条倾斜角为 45 的直线l，与 C 2交于两个不同样的
点Q,R，求|PQ|| PR |的取值范围.
2017 年全国高中数学结合比赛加试（ B 卷）
一、（本题满分 40 分）
设实数 a,b, c 满足a b c 0 ，令 d max{ a , b , c } ，证明： (1 a)(1 b)(1 c) 1 d 2
二、（本题满分 40 分）
给定正整数 m ，证明：存在正整数k，使得可将正整数集 N分拆为 k 个互不订交的子集A1, A2,, A k，每个子集 A i中均不存在4个数 a, b, c, d （可以同样），满足ab cd m .
三、（本题满分 50 分）
如图，点 D 是锐角ABC 的外接圆上弧BC的中点，直线DA 与圆过点B,C的切线分别订交于点P,Q ，BQ 与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ 与CP的交点为T，求证：AT均分线段XY.
四、（本题满分 50 分）
设 a1 , a2 , , a20{1,2, ,5} ， b1, b2 , , b20{1,2, ,10} ，会集
X {( i, j ) 1 i j 20,( a i a j )(b i b j ) 0} ，求 X 的元素个数的最大值.
一试一试卷答案1.答案：
8
9
解：数列 { a n
a3 3 3a1
a
2011a1
a
201118 } 的公比为q，故
a7
a
2017q6 (a1
a
2011
)
q6
.
a229
2. 答案：5
解：设 z a bi , a,b R ，由条件得 (a 9) bi 10a ( 10b 22)i ，比较两边实虚部可得
a 910a，解得： a1,
b 2 ，故z 1 2i，进而 | z | 5
.
b10b22
3. 答案：7 4
解：由条件知， f (1)1( f ( 1)( 1)2) f (1)1， f(1) 2 f ( 1)1，
172
两式相加消去 f (1) ，可知： 2 f (1)3 f (1)
，即.
24
4. 答案：
2 4
解：由正弦定理知，a sin A 2 ，又 b2ac ，于是 a : b : c 2 :2 :1 ，进而由余弦定理得：
c sin C
cos A b2c2a2(2) 212
122 2 .
2bc224
5.答案： 2 33
解：由条件知， EF 平行于 BC ，由于正周围体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4，AD AB AE BE 7.
由余弦定理得，DE AD2AE 22AD AE cos604916 2837 ，
同理有 DF37 .
作等腰 DEF 底边 EF 上的高 DH ，则EH 1
EF 2，故DH DE 2EH 233 ，2
于是 S DEF 1
EF DH233 . 2
6. 答案： 5
14
解：注意 K 中共有 9 个点，故在 K 中随机取出三个点的方式数为
C 93
84 种，
当取出的三点两两之间距离不高出 2 时，有以下三种情况：
（ 1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，
（ 2）三点是边长为 1,1, 2 的等腰直角三角形的极点，有 4 4 16 种情况，
（ 3）三点是边长为
2, 2, 2 的等腰直角三角形的极点，其中，直角极点位于
(0,0) 的有 4 个，直角极点位
于 ( 1,0) ， (0, 1) 的各有一个，共有 8种情况 .
综上可知，选出三点两两之间距离不高出
2 的情况数为 6
16 8 30 ，进而所求概率为
30 5 84
.
14
7. 答案：
117
2
解：二次曲线方程可写成
x 2 y 2
a 0 ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为
a
2
1，显然必定
a
y 2 x 2
1，则 c 2 ( a )2 ( a)2
a 2 a ，注意到焦距 2c 4 ，可知 a 2
a 4 ，又 a
0 ，
( a )2
( a)2
1
17 .
因此 a
2
8. 答案： 574
解：由条件知 c [
2017
]
2 ，当 c 1 时，有 10 b 20 ，关于每个这样的正整数
b ，由 10 b a 201 知，
1000
相应的 a 的个数为
202 10b ，进而这样的正整数组的个数为
20
(102 2) 11
(202 572 ，
10b)
2
b 10
当 c
2 时，由 20 b [
2017
] ，知， b 20 ，进而 200
a [ 2017 ]
201，
100
10
故 a
200,201 ，此时共有 2 组 ( a,b, c) .
综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.
9. 解：设t2x，则 t [2,4] ，于是 |t a || 5t | 对所有 t[2,4]成立，由于
| t a || 5t |(t a)2(5t )2，(2t a5)(5a)0 ，
对给定实数 a ，设 f (t)(2t a5)(5a)，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常值函数，注意t[2,4]，因
此 f (t )0
f (2)(1a)(5a)0
a5等价于
f (4)(3a)(5a)
，解得 3
因此实数 a 的取值范围是3a 5 .
10. 解：（ 1）设等差数列{ a n}的公差为d，则b n 1b n(a n2a n 3a n2 1 )(a n 1a n 2a n2 )
a
n 2 (a
n 3a n1
)
(a n1a n )(a n 1a n )a n22d (a n 1a n ) d(2 a n 2
a
n 1a n ) d3d 2
因此数列 { b n } 也是等差数列.
（ 2）由已知条件及（1）的结果知：3d2 d ，由于d0 ，故d1，这样
3
b n a
n 1
a
n 2a n2(a n d )( a n2d ) a n2
3da n2d 2a n2
9
22
若正整数 s,t 满足a s b t Z ，则 a s b t a s b t a1(s1)d a1(t1)d
99 s t22
2a1Z .
39
记 l2a s t22，则 l Z ，且18a13(3l s t 1) 1 是一个非零的整数，故|18a1 |1，进而139
1
| a1|.
18又当 a1
1
b3
117
1Z ，时，有 a1
1818
18
综上所述， | a1
1 |的最小值为.
18
11. 解：设P(t2,2t)，则直线l的方程为y x2t t2，代入曲线 C 2的方程得， ( x 4) 2( x2t t 2 )28 ，
化简可得： 2x22(t 22t4) x(t 22t) 280 ①，
由于 l 与C2交于两个不同样的点，故关
于x 的方程①的鉴识式为正，计算得，
4
(t 22t4)22((t 22t)28)(t 22t)28(t 22t )162(t22t) 216
(t 2 2t)2 8(t 2
2t)
(t 2 2t )(t 2
2t
8)
t (t 2)(t 2)(t
4) ，
因此有 t ( 2,0) (2,4) ，②
设 Q , R 的横坐标分别为 x 1, x 2 ，由①知， x 1 x 2 t 2
2t 4 ， x 1x 2
1 ((t
2 2t )2 8) ，
2
因此，结合 l 的倾斜角为 45 可知，
| PQ| |PR|
2( x t 2 ) 2( x t 2 ) 2x x
22t 2 ( x x ) 2t 4
1
2 1
1
2
(t 2 2t) 2 8 2t 2 (t 2 2t 4) 2t 4
t 4 4t 3 4t 2 8 2t 4 4t 3 8t 2 2t 4
t 4 4t 2 8
(t 2 2)2
4 ，③
由②可知， t 2
2 ( 2, 2) (2,14) ，故 (t 2
2) 2 [0, 4)
(4,196) ，进而由③得：
|PQ||PR| (t 2 2) 2
4 [4,8)
(8, 200)
注 1：利用 C 2 的圆心到 l 的距离小于 C 2 的半径，列出不等式
|
4
2t t 2 | 2 2 ，
2
同样可以求得②中
t 的范围 .
注 2：更简略的计算 | PQ | | PR |的方式是利用圆幂定理，事实上， C 2 的圆心为 M (4,0) ，半径为 r 2 2 ，
故 |PQ ||PR|
|PM |2
r 2 (t 2 4) 2 (2t) 2 (2 2) 2 t 4 4t 2
8 .
加试一试卷答案
一、
证明：当 d
1 时，不等式显然成立
以下设 0 d 1，不如设 a, b 不异号，即 ab
0 ，那么有
(1 a)(1 b)
1 a b ab 1
a b 1 c 1
d
因此 (1
a)(1 b)(1 c)
(1 c)(1 c)
1 c 2
1 2
d 2
c 1
二、
证明：取 k
m 1，令 A i
{ x x i (mod m 1),x
N } ， i
1,2, , m 1
设 a, b, c, d A i ，则 ab cd
i i
i i 0(mod m
1) ，
故 m 1 ab
cd ，而 m 1 m ，因此在 A i 中不存在 4 个数 a,b, c, d ，满足 ab cd
m
三、
证明：第一证明
YX // BC ，即证
AX
AY
XC
YB
连接 BD ,CD ，由于
S ACQ
S
ABC
S ACQ
S ABC S ABP
，
S ABP
1
AC CQ sin ACQ
1
AC BC sin ACB 1
AC
AQ sin CAQ
因此 2
2 2
，
①
1
AB BC sin ABC
1
AB BP sin ABP 1
AB AP sin BAP
2
2
2
由题设， BP,CQ 是圆
的切线，因此
ACQ
ABC ， ACB ABP ，又
CAQ
DBC
DCB
BAP
AB AQ CQ
（注意 D 是弧 BC 的中点），于是由①知
AP
②
AC BP
由于 CAQ
BAP ，因此 BAQ
CAP ，
S ABQ
1
AB AQ sin BAQ
AB AQ
2
③
于是
1 AC
AP
S
ACP
AC AP sin CAP
2
S
BCQ
1
BC CQ sin BCQ
CQ
2
④
而
1
BP
S
BCP
BP sin CBP
BC
2
由②，③，④得
S
ABQ
S
CBQ
，
S
ACP S
BCP
S
ABQ
S
ACP
即
S
CBQ
S
BCP
S
ABQ
AX S 又
，
S
S
CBQ
XC
故 AX
AY XC
YB
ACP
BCP
AY
YB
设边 BC 的中点为 M ，由于
AX
CM BY 1 ，
XC
MB YA
因此由塞瓦定理知，
AM , BX , CY 三线共点，交点即为
T ，故由 YX // BC 可得 AT 均分线段 XY
四、
解：考虑一组满足条件的正整数
(a 1, a 2 , , a 20, b 1 , b 2 ,
, b 20 )
对 k
1,2, ,5 ，设
a 1 , , a 20 中取值为
k 的数有 t k 个，依照 X 的定义，当i
a j 时，
(i , j ) X ，因此至
a
5
5
稀有
C t 2k 个 (i, j ) 不在 X 中，注意到
t k
20 ，则柯西不等式，我们有
k 1
k 1
5
2
1 5
2 5
1 1 5 t k ) 2
5
t k 1
20 1) 30
C t k
2
( t k
t k )
( (
)
20 (
k 1
k 1
k 1
2 5 k 1
k 1
2
5
进而 X 的元素个数不高出 C 202
30 190 30
160
另一方面，取 a 4 k 3 a 4k 2a 4k 1 a 4 k
k （ k 1,2,
,5 ）， b i 6 a i （ i 1,2, ,20 ），
则对任意 i, j （ 1 i j 20 ），有 (a i a j )(b i b j ) (a i
a j )((6 a i ) (6 a j ))
( a i a j ) 2
等号成立当且仅当
a i
a j ，这恰好发生 5C 42 30 次，此时 X 的元素个数达到
C 202
30 160
综上所述， X 的元素个数的最大值为
160.。