2019年贵州省贵阳市中考数学试卷含答案解析

贵州省贵阳市2019年初中毕业生学业（升学）考试
数学
（本试卷满分150分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.23可表示为()
A.32⨯
B.222
⨯⨯C.33⨯D.3+3
2.如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是()
A B C D
3.选择计算()()
2222
-++的最佳方法是()
xy x y xy x y
4343
A.运用多项式乘多项式法则
B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则
D.运用完全平方公式
4.如图，菱形ABCD的周长是4 cm，60
∠，那么这个菱形的对角线AC的
ABC=︒
长是()
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
5.如图，在33⨯的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是()
A.1
9B.1
6
C.2
9
D.1
3
6.如图，正六边形ABCDEF内接于O
，连接BD，则CBD
∠的度数是()
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
7.如图，下列是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是()
A.甲比乙大
B.甲比乙小
C.甲和乙一样大
D.甲和乙无法比较
8.数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是()
A.3
B.4.5
C.6
D.18
9.如图，在ABC
△中，AB AC
=，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B
和点D，再分别以点B，D为圆心，大于1
2
BD长为半径画弧，两弧相交于点M，
作射线CM交AB于点E.若2
AE=，1
BE=，则EC的长度是()
A .2
B .3
C 3
D 5
10.在平面直角坐标系内，已知点()1,0A -，点()1,1B 都在直线112
2
y x =+上，若抛物
线()210y ax x a =-+≠与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是(
)
A .2
a -≤B .98
a ＜
C .918
a ≤＜或2
a -≤D .928
a -≤＜
第Ⅱ卷(非选择题
共120分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填写在题中的横线
上)
11.若分式22x x
x
-的值为0，则x 的值是
.
12.在平面直角坐标系内，一次函数11y k x b =+与22y k x b =+的图象所示，则关于x ,y
的方程组1122,
y k x b y k x b -=⎧⎨
-=⎩
的解是
.
13.一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意
摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是.
14.如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，
若2
OA=，则四叶草的周长是.
15.如图，在矩形ABCD中，4
AB=，=30
∠，点F是对角线AC上的一个动
DCA︒
点，连接DF，以DF为斜边作30
∠的直角三角形DEF，使点E和点A位
DFE=︒
于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是.
三、解答题(本大题共10小题,共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤)
16.（本小题满分8分）
如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形.
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当3
b=时，求矩形中空白部分的面积.
a=，2
17.（本小题满分10分）
为了提高学生对毒品危害性的认识，贵阳市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：
90918996909890979198
99979188909795909588
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整.
整理、描述数据：
成绩/分888990919596979899
学生人数2132121数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数众数中位数
93______91
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为分；
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
18.（本小题满分10分）
如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE AD
=，连接BD.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若2
DA DB
==，
1
cos
4
A=，求点B到点E的距离.
19.（本小题满分10分）
为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等.
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.
20.（本小题满分10分）
某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A 款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元.
（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册.
21.（本小题满分8分）
如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中.若阀门的直径100 cm
==，OA为检修时阀门开启的位置，
OB OP
且OA OB
=.
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB
∠的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角67.5
∠=︒，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水
CAB
的深度.（结果保留小数点后一位）
（ 1.41
≈，sin67.50.92
︒≈，
︒≈，sin22.50.38
︒≈，cos67.50.38
︒≈，tan67.5 2.41
︒≈）
︒≈，tan22.50.41
cos22.50.92
22.（本小题满分10分）
如图，已知一次函数28y x =-+的图象与坐标轴交于A ，B 两点，并与反比例函数8y x
=的图象相切于点C .（1）切点C 的坐标是；
（2）若点M 为线段BC 的中点，将一次函数28y x =-+的图象向左平移()0m m ＞个单位后，点C 和点M 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数k
y x
=的图象上时，求k 的值.
23.（本小题满分10分）
如图，已知AB 是O 的直径，点P 是O 上一点，连接OP ，点A 关于OP 的对称点C 恰好落在O 上.（1）求证：OP BC ∥；
（2）过点C 作O 的切线CD ，交AP 的延长线于点D ，如果=90D ︒∠，1DP =，求O 的直径.
24.（本小题满分12分）
如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-.（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15︒，求线段CP 的长度；（3）当1a x a +≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值.
25.（本小题满分12分）
（1）数学理解：如图1，ABC △是等腰直角三角形，过斜边AB 的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，求AB ，BE ，AF 之间的数量关系；（2）问题解决：如图2，在任意直角ABC △内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；
（3）联系拓广：如图3，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，
N ，求MN ，AM ，BN 的数量关系.
贵州省贵阳市2019年初中毕业生（升学）考试
数学答案解析
一、选择题1．【答案】C
【解析】23=33⨯，∴23可表示为33⨯，故选C ．【考点】乘方的意义2．【答案】B
【解析】根据已知几何体，从正面看，得到的平面图形是
，即为该几何体的主视图，
故选B ．
【考点】几何体的主视图3．【答案】B
【解析】∵原式()(
)()(
)
2
2
22
2222343434x y xy x y xy x y xy =-+=-，满足平方差公式，∴计算的
最佳方法是运用公式，故选B ．【考点】平方差公式4．【答案】A
【考点】在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，∵菱形ABCD 的周长是4 cm ，
∴=1 cm AB BC =，又∵=60ABC ︒∠，∴ABC △是等边三角形，∴1 cm AB BC AC ===，故选A ．
【解析】菱形的性质、等边三角形5．【答案】D
【解析】由图知共有6个小正方形可以涂色，其中有如图两种涂法都能使灰色部分的图形是轴
对称图形，∴概率21
63
P =
=，故选D ．【考点】轴对称图形的概念、随机事件的概率6．【答案】A
【解析】由多边形的内角和可知，正六边形的内角和为720︒，∵正六边形的六个内角都相等，
所以======120A ABC C CDE E F ︒∠∠∠∠∠∠，又∵正六边形的边长相等，∴BC CD =，∴()1==180120302
CBD CDB ︒-︒=︒∠∠，故选A ．【考点】正六边形的性质、等腰三角形的性质
7．【答案】A
【解析】从条形统计图可知，甲党员一天的学习时间为60分钟，其中学习“文章”15分钟，∴甲党员学习“文章”时间所占一天学习时间的百分比为15100%=25%60
⨯；从扇形统计图可知，乙党员学习“文章”时间占一天学习时间的百分比为20%，∵25%20%＞，∴甲比乙大，故选A ．
【考点】条形统计图、扇形统计图
8．【答案】C 【解析】根据题意，可得方程292
a a +=，解得6a =，故选C ．【考点】中点的定义、用数轴表示数
9．【答案】D
【解析】由作图可知，CM 是线段BD 的垂直平分线，∴90AEC BEC ∠=∠=︒，∵2AE =，
1BE =，∴3AB =，∴=3AC ，在Rt AEC △中，由勾股定理得
EC ===
D ．
【考点】基本作图、垂直平分线的性质、勾股定理
10．【答案】C 【解析】∵直线与抛物线有两个交点，∴方程211122x ax x +=-+有两个不同的交点，整理得22310ax x -+=，∴=980a ∆-＞，解得98a ＜，又当抛物线经过点A 时，011a =++，解得2a =-，当抛物线经过点B 时，111a =-+，解得1a =，∵抛物线的对称轴为12x a =，又抛物线过点()0,1，∴当1112a -＜＜，抛物线与线段AB 有两个不同的交点，∴2a -≤或918
a ≤＜，故选C ．【考点】抛物线的图象与性质、函数与方程的关系
二、非选择题
11．【答案】2【解析】若分式22x x x
-的值为0，则220x x -=，解得10x =，22x =，当0x =时，分式无意义，∴2x =．
【考点】分式有意义的条件、解分式方程
12．【答案】21
x y =⎧⎨=⎩【解析】由图象可知，两条直线的交点坐标是()2,1，∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩
．【考点】函数与方程的关系
13．【答案】10
m n +=【解析】∵任意从袋中摸出一球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴袋中黄球的数量
与红球、白球的数量和相同，即10m n +=．
【考点】频率与概率的关系
14．【答案】
【解析】如图，由题意可知，AOB △是等腰直角三角形，∵2OA =，∴AB =，由图可
知，四叶幸运草的周长为直径为AB 的两个圆的周长，∴2⨯，即四叶幸运草
的周长是．
【考点】等腰直角三角形的性质、求圆的周长
15．【解析】如图，当点F 从点A 运动到点C 时，点E 运动到E '，∴点E 的运动路径为线段EE '，
∵四边形ABCD 是矩形，∴=90B ︒∠，DC AB ∥，∴=30ACD CAB =︒∠∠，在Rt ABC △
中，=4AB ，∴tan 304BC AB =︒== ，∴AD =，又在Rt DEF △中，
30DAE =︒∠，∴123DE AD =
=，在Rt CDE '△中，4DC AB ==，=30DCE '︒∠，∴122DE DC '=
=，∵=90ADC ︒∠，60ADE =︒∠，∴30CDE =︒∠，又=60CDE '︒∠，∴=90EDE '︒∠，在
Rt EDE '△中，由勾股定理得
EE '==，即点E
【考点】矩形的性质、特殊角的三角函数、勾股定理
三、解答题
16．【答案】解：（1）()()=11S a b --空或=1S ab a b --+空．
（2）当3a =，2b =时，()()=31212S --=空或=323212S ⨯--+=空．
【解析】（1）根据图中数据，用代数式表示出空白部分的长和宽，利用矩形的面积公式用含a ，
b 的代数式表示出空白部分的面积；
（2）将字母的值代人（1）中的代数式，求出空白部分的面积．
【考点】列代数式、求代数式的值、矩形的面积
17．【答案】（1）5，3，90
（2）91
（3）估计评选该荣誉称号的最低分为97分
理由：因为2030%6⨯=，前六名的最低分为97分，所以最低分定为97分
【解析】（1）根据收集的数据统计出90分和97分的人数，填入表格；根据统计表，人数最多
的分数即为这组数据的众数；（2）根据中位数确定分数填空即可；（3）根据选取的总人数，求出前30%的人数，再根据统计表高分段人数确定前30%人数中的最低分数即可。

【考点】统计知识的综合运用
18．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∥，AD BC =，又∵点E 在AD 的延长线上，且DE AD =，
∴DE BC ∥，DE BC =，
∴四边形BCED 是平行四边形。

（2）∵2DA DB ==，且四边形ABCD 是平行四边形，
∴2DA DB BC ===，
由（1）知四边形BCED 是平行四边形，
∴四边形BCED 是菱形，
连接BE ，∴BE DC ⊥，BE AB ⊥，
在Rt ABE △中，∵24AE DA ==，1cos =4
A ，∴1cos 414A
B AE A ==⨯=，
BE ==
.
∴BE =．
【解析】（1）根据平行四边形的性质得一组对边平行且相等，再根据已知条件证明线段
DE BC =，利用一组对边平行且相等即可判定四边形BCED 为平行四边形；
（2）根据已知线段的长得平行四边形BC 边的长，利用一组邻边相等判定平行四边形BCED 是
菱形，连接对角线BE ，得对角线互相垂直平分，根据已知的锐角三角函数值求得AB 的长，再根据勾股定理求出BE 的长．
【考点】平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、锐角三角函数的应用、勾股定理
19．【答案】解：（1）1
2
（2）用1a ，2a 分别表示思政专业的研究生和本科生，用1b ，2b 分别表示历史专业的研究生和
本科生，列表如下：
或画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2种，所以，21=126
P =（选到一名思政研究生和一名历史本科生）．【解析】（1）根据题意，共有2个专业，每个专业都有2名应聘者，根据概率公式可求出相应
的概率；（2）先列表或画树状图，求出所有等可能的结果数，再确定选到一名思政研究生和一名历史本科生的结果数，代入概率公式，求出概率．
【考点】求随机事件的概率
20．【答案】解：（1）设A ，B 两款毕业纪念册的销售单价分别是x 元，y 元，
根据题意，得15102302010280.
x y x y +=+=⎧⎨⎩，解得10,8.
x y =⎧⎨=⎩所以，A ，B 两款毕业纪念册的销售单价分别是10元，8元．
（2）设最多能够买A 款毕业纪念册m 本，
根据题意，得()10860529m m +-≤，.
解得24.5m ≤．
因为m 表示A 款纪念册的数量，m 取最大正整数，所以24m =．
所以，最多能够买A 款毕业纪念册24本．
【解析】（1）根据题意设未知数，列出方程组，求解即可；（2）设未知数，根据题意列出不等
式，求出解集，取最大正整数即可．
【考点】列方程组和不等式解应用题
21．【答案】解：（1）阀门OB 被下水道的水冲开与被河水关闭过程中，090POB ︒∠︒≤≤．
（2）∵OA AC ⊥，=67.5CAB ︒∠，∴=22.5BAO ︒∠，
因为OA OB =，∴22.5BAO ABO ∠=∠=︒，
∴45BOD ∠=︒，
过点B 作BD OP ⊥于点D ，
在Rt BOD △中，∵100OB OP ==，
∴OD =，
∴100PD =-．
所以，此时下水道内水的深度约为29.5（cm ）．
【解析】（1）根据OB 与下水道构成的角度可确定POB ∠的取值范围；（2）根据已知角求出
BAO ∠的度数，以OB 为斜边建立直角三角形OBD ，根据三角形的外角性质得等腰直角三角形，根据OB 的长求出OD 的长，从而求出PD 的长，即为下水道内水的深度．
【考点】解直角三角形的应用
22．【答案】解：（1）()
2,4（2）由（1）可知()2,4C ，
∵直线28y x =-+的图象与x 轴交于点B ，
∴()4,0B ，
∴线段BC 的中点()3,2M ，
∵直线AB 向左平移m 个单位，
∴点C 平移后对应点为()2,4m -，
点M 平移后对应点为()3,2m -．
∵平移后的对应点同时落在反比例函数k y x
=
的图象上，∴()()23,42.
m k m k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得1,4.
m k =⎧⎨=⎩∴k 的值是4．【解析】（1）将一次函数和反比例函数的解析式联立成方程组，可求出点C 的坐标；（2）根据
直线解析式求出点B 的坐标，结合点C 的坐标求出点M 的坐标，再表示出平移后的点C 和点M 的坐标，根据平移后的两点在同一个反比例函数的图象上，可列出方程组，进而求出m 的值以及k 的值．
【考点】一次函数和反比例函数的性质、平移后的点的坐标变化、解方程（组）
23．【答案】解：（1）证明：∵点A 关于OP 的对称点C 恰好落在O 上，
∴ AP PC =，∴0A P POC ∠=∠，∴12AOP AOC ∠=
∠，又∵12ABC AOC ∠=∠，∴AOP ABC =∠∠，∴OP//BC ．
（2）连接PC ，∵CD 是O 的切线，
∴90OCD ∠=︒，
又∵90D ∠=︒，∴AD OC ∥，
∴POC APO ∠=∠，
由（1）AOP POC ∠=∠，∴APO AOP ∠=∠，
又∵AO OP =，∴AOP △是等边三角形，
又∵点A ，点C 关于OP 对称，
∴POC △是等边三角形，
∴60OCP ∠=︒，∴30DCP ∠=︒，
又∵1DP =，90D ∠=︒，
∴22PC PD ==，∴2 4.
AB PC ==【解析】（1）根据对称得两条弧相等，等弧所对的圆心角相等，结合圆周角定理进行代换，得
同位角相等，从而判定两直线平行；
（2）连接PC ，根据圆的切线得90︒角，结合已知90︒角，利用同旁内角互补证明两条直线平
行，得内错角相等，结合（1）的结论代换得三角形POC 的两个内角相等，再结合圆的半径相等，证明得等边三角形POC ，根据60︒角得直角三角形PDC 中DCP ∠为30︒角，结合已知线段的长，即可求出AB 的长．
【考点】轴对称的性质、圆的相关性质、平行线的判定及性质、切线的性质、等边三角形的判
定及性质、直角三角形的性质
24．【答案】解：（1）∵二次函数的对称轴是直线1x =，∴121
b -=⨯，∴2b =-，将()1,0A -代入22y x x
c =-+中，
解得3c =-．
∴二次函数的表达式为：223y x x =--．
（2）∵()1,0A -，对称轴是直线1x =，
∴()3,0B ，
又∵当0x =时，3y =-，
∴()0,3C -，
∴OB OC =，∴45OBC ∠=︒，
①当点P 在点C 上方1P 的位置时，
∵115P BC ∠=︒，
∴1
30PBO ∠=︒，
在1t R P BO △中，1tan30OP OB =︒=
，
∴13CP =，
②当点P 在点C 下方2P 的位置时，
∵215P BC ∠=︒，∴260P BO ∠=︒，
在2Rt P BO 中，2tan60OP OB =︒=
∴23CP =-，
综上，CP 的长为3或3-.
（3）根据题意：
①当1a +在对称轴左边，11a +＜，
即0a ＜时，y 随x 增大而减小，
此时1x a =+，y 有最小值2a ，
()()221213a a a =+-+-，
解得：11a =+21a =
∵0a ＜，∴1a =②当a 与1a +分别在对称轴两侧，
11a a +≤≤，即01a ≤≤时，
此时1x =，y 有最小值4-，
即24a =-，2a =-，
∵01a ≤≤，∴2a =-不合题意舍去，
③当a 在对称轴右边，1a ＞时，y 随x 增大而增大，
此时x a =，y 有最小值2a ，
2223a a a =--，
解得：12a =+22a =-，
∵1a ＞，∴2a =，
综上，1a =2a =【解析】（1）根据对称轴和点A 的坐标，可求出二次函数的表达式；
（2）先根据点A 的坐标和对称轴求出点B 的坐标，再求出点C 的坐标，得OB OC =，则三角
形OBC 为等腰直角三角形，得45︒角，根据点P 的位置分情况讨论，根据三角形的外角性质求出直角三角形中30︒角，利用锐角三角函数求出CP 的长；
（3）根据()1a +与对称轴的位置关系分情况讨论，利用函数的增减性，确定x 的值，从而求
出y 的最小值，代入二次函数表达式，求出方程的解，取符合题意的a 的值．
【考点】二次函数的图象及其性质、直角三角形中的锐角三角函数、函数与方程的关系
25．【答案】解：（1）∵在等腰直角ABC △内，过斜边中点D 作正方形DECF ，
∴AF FC CE EB DE FD =====，
在Rt AFD △和Rt BED △中，
AD =
，BD =，
∴)AB AD BD AF BE =+=+.
（2）∵四边形DECF 是正方形，∴DF DE =，
将ADF △以点D 为旋转中心，逆时针旋转90︒得到'A DE △，
∴'AD A D =，'AF A E =，且'90ADA ∠=︒，
∵AB BE AF =+，∴''AB BE A E A B =+=，
在ABD △和'A BD △中，
第21页∵,,,AD A D AB A B BD BD '=⎧⎪'=⎨⎪=⎩
∴'ABD A BD ≅△△，，
∴'ADB A DB ∠=∠，∴36036090=13522
ADA ADB '︒-︒-︒∠==︒∠（3）由（2）得，AD ，BD 分别是CAB ∠和CBA ∠的角平分线，
∴MAD FAD ∠=∠，NBD EBD ∠=∠，
又∵分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N
，
∴EM CA ∥，FN CB ∥，
∴MDA FAD ∠=∠，NDB EBD ∠=∠，
∴MDA MAD ∠=∠，NDB NBD ∠=∠，
∴AM MD =，ND BN =，
在Rt MDN △中，22²MP MD ND =+，
∴22²MN AM BN =+．
【解析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的边长相等证明图中的6条线段相等，根据等腰三
角形的边长关系证明三条线段的数量关系；
（2）根据正方形的边长相等，将ADF △旋转得到'A DE △，得对应边相等，从而证明
'ABD A BD ≅△△，得对应角相等，根据圆周角360︒以及旋转角90︒，即可求出ADB ∠的度数；
（3）由（2）得角的平分线AD ，BD 分得的角相等，作辅助线证明EM CA ∥，FN CB ∥，得
内错角相等，从而证明AM MD =，ND BN =，根据勾股定理得线段之间的关系，等量代换后可证明结论成立．
【考点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、勾
股定理。