高考数学一轮总复习2.11变化率与导数、导数的计算练习

第十一节 变化率与导数、导数的计算
时间：45分钟 分值：100分
基 础 必 做
一、选择题
1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
的导数为( ) A ．2(x 2
－a 2
) B ．2(x 2＋a 2
) C ．3(x 2
－a 2
)
D ．3(x 2
＋a 2
)
解析 f ′(x )＝(x －a )2
＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2
－a 2
)． 答案 C
2．已知物体的运动方程为s ＝t 2
＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速
度为( )
A.194
B.174
C.154
D.134
解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝13
4.
答案 D
3．(2014·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
解析 ∵y ＝x e
x －1
，∴y ′＝e
x －1
＋x e
x －1
.
∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0
＋e 0
＝2，选C. 答案 C
4．(2015·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x
－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，
且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A.5π
6 B.3π4 C.π4
D.
π6
解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x
＋e －x
－3≥2e x
·e －x
－3＝－1，当且仅当x ＝0
时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是3π
4
，故选B.
答案 B
5．(2014·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2
＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．－2
解析 由f (x )＝2f (2－x )－x 2
＋8x －8两边求导，得
f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得 f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.
答案 A
6．已知函数f (x )＝x 2
的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3)
D.⎝
⎛⎭⎪⎫1，－14 解析 由题，A (x 1，x 2
1)，B (x 2，x 2
2)，f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，
k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－1
4
.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x
－x 2
1，l 2：y ＝2x 2x －x 2
2，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 2
2
，
代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－1
4
，故选D.
答案 D 二、填空题
7．若曲线y ＝32x 2＋x －1
2的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．
解析 设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1,3x 0＋1＝4⇒x 0＝1. 又y 0＝32x 20＋x 0－1
2＝2，则切点为(1,2)，
故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2. 答案 y ＝4x －2
8．(2014·陕西五校联考)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3
＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．
解析 点(1,3)既在直线y ＝kx ＋1上，也在曲线y ＝x 3
＋ax ＋b 上，代入解得k ＝2，a
＋b ＝2，又y ′|x ＝1＝2，∴3＋a ＝2，解得a ＝－1.∴b ＝3.
答案 3
9．已知函数f (x )＝x
n ＋1
(n ∈N *
)的图象与直线x ＝1交于点P ，若函数f (x )的图象在点P
处的切线与x 轴交点的横坐标为x n 则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________．
解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n
，∴f ′(1)＝n ＋1. 又P (1,1)，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x n ＝1－
1n ＋1＝n
n ＋1
， ∴x 1x 2x 3…x 2 013＝12·23·34…2 0132 014＝1
2 014.
∴log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014x 1x 2x 3…x 2 013＝log 2 0141
2 014
＝－1. 答案 －1 三、解答题
10．已知函数f (x )＝x 3
－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 解 (1)由f (x )＝x 3
－3x 得f ′(x )＝3x 2
－3，
过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.
(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 2
0－3.
又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)．
故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2
x 0－1.
又x 30－3x 0＋2x 0－1
＝3x 2
0－3，
即x 3
0－3x 0＋2＝3(x 2
0－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－1
2
，
故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. ∴y －(－2)＝－9
4
(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
11．已知函数f (x )＝x 3
＋(1－a )x 2
－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2
＋2(1－a )x －a (a ＋2)．
(1)由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
f 0＝b ＝0，
f ′0＝－a a ＋2＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或1.
(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2
＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2
＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2
＋4a ＋1>0.∴a ≠－12
.
∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞. 培 优 演 练
1．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )
解析 ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ，
∴k ＝g (t )＝t cos t .g (t )为奇函数且当0<t <π时，g (t )>0，故选B. 答案 B
2．函数y ＝x 2
(x >0)的图象在点(a k ，a 2
k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *
，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
解析 由y ＝x 2
(x >0)得，y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2
(x >0)在点(a k ，a 2
k )处的切线方程为y
－a 2
k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，所以{a k }是首项为16，公比为12
的
等比数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫124
＝21.
答案 21
3．(2015·汉城国际学校调研)已知函数f (x )＝mx 3
＋nx 2
的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．
解析 ∵f (x )＝mx 3＋nx 2，f ′(x )＝3mx 2
＋2nx ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f －1＝－m ＋n ＝2，f ′－1＝3m －2n ＝－3，
∴m ＝1，n ＝3.
∴f ′(x )＝3x 2
＋6x ＝3x (x ＋2)． 由f ′(x )<0，得－2<x <0. 由题意，得[t ，t ＋1]⊆[－2,0]． ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
t ≥－2，t ＋1≤0，
∴－2≤t ≤－1.
答案 [－2，－1]
4．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3
－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；
(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)
解 (1)由f (x )＝2x 3
－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－
22或x ＝2
2. 因为f (－2)＝－10，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
22＝2， f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22＝－2，f (1)＝－1. 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)． 则y 0＝2x 3
0－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 2
0－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 2
0－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 2
0－3)(1－x 0)． 整理得4x 3
0－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3
－6x 2
＋t ＋3，
则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．
g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：
所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。