人教版高中数学必修第二册第七章复数测试卷

人教版高中数学必修第二册第七章复数测试卷
一、单选题
1．已知i是虚数单位，复数(1i的虚部是（）
A．1B C．1D ．(1i
2．已知i是虚数单位，a，b R
∈，则“1
a b
==”是“2222
a
b abi i
-+=”的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z对应的向量为OZ（O为坐标原点），
OZ与实轴正方向的夹角为120︒，且复数z的模
为2，则复数z为（）
A．1B．1-C．1--D
．1-±
4．已知复数z满足2||230
z z
--=的复数z的对应点的轨迹是（）
A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆
5．已知复数z=z是z的共轭复数，则•z z=（）
A．
1
4
B．1
2
C．1D．2
6．已知i是虚数单位，若()()
22
132
m m m i
-+-+是纯虚数，则实数m的值为（）
A．1B．1-C．±1D．
1或2
7．已知i是虚数单位，设()(
)()
2
22
log33log
3
z m m i m m R
=--+-∈，若z对应的点在直线
11
22
y x
=+上，则m的值是（）
A．B C．D．15
二、填空题
8．已知i是虚数单位，当复数()
2
1
215
5
z m m i
m
=++-
+
为实数时，实数m=________.
9．已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为
1
z，若2
1
z
i
z
=，则
2
z=________.
10．已知i是虚数单位，设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是
32i
+，24i
-，则点C对应的复数是________.
二、解答题
11．已知复数()()
22
lg2132
z m m m m i
=+++++（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分
别为：
（1）实数；（2）虚数；（
3）纯虚数.
12．已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量OA对应的复数为32i
+，将向量OA向上平移3个单位
长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为O A''，分别写出：
（1）向量O A''对应的复数；
（2）点O'对应的复数；
（3）向量A O''对应的复数.
13．已知z 是复数，3i z -为实数，5i
2i
z --为纯虚数（i 为虚数单位）. （1）求复数z ； （2）求i
1z
-的模.
14．已知z 是虚数，9
z R z
+∈，且33z -=，求z .
15．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2
690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .
（1）求实数a ，b 的值；
（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.
16．已知复数()2
11z i i =+（i 为虚数单位）. （1）求1z 及1z ；
（2）当复数z 满足34i 1z +-=时，求1z z -的最大值与最小值.
17．关于x 的实系数方程20x ax ab -+=.
（1
）设1x =（i 是虚数单位）是方程的根，求实数a ，b 的值； （2）证明：当1
4
b a >时，该方程没有实数根.
18．设虚数z
满足232z +. （1）求证：z 为定值；
（2）是否存在实数k ，使z k
k z
+为实数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．C 【解析】
由复数的定义直接判断即可. 【详解】
由复数的概念知，复数(1i 的虚部是1 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的定义，属于基础题. 2．A 【解析】
从充分性和必要性入手计算分析即可得到结论. 【详解】
若2
2
22a b abi i -+=（a ，b R ∈），则2222a b ab ⎧=⎨=⎩
，知得11a b =⎧⎨=⎩或1
1a b =-⎧⎨
=-⎩. 所以“1a b ==”是“2222a b abi i -+=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的定义，考查复数相等的问题，属于常考题. 3．D 【解析】
设点Z 的坐标为(),a b ，由已知条件易得2OZ z ==，120xOZ ︒∠=；根据上述分析进一步得到a 与b 的值，由此得到点Z 的坐标，至此即可得到复数z. 【详解】
设复数在复平面内对应的点的坐标为(),Z a b ，根据题意可画图形如图所示，
2z =
，且OZ 与x 轴正方向的夹角为120︒，1a ∴=-，b =
即点Z 的坐标为(-或(1,-.1z ∴=-+或1z =-. 故选：D 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于常考题. 4．A 【解析】
因为2
||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)
因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A. 5．A 【解析】
利用复数除法化简1
4
z i =，再求出共轭复数，进而可得结果. 【详解】
i i z ==
1
11
4i i -+===，
14z i =，111•444
z z i i ⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分. 6．B 【解析】
根据纯虚数的定义，列出满足题意的式子，求解即可. 【详解】
由()()2
2
132m m m i -+-+是纯虚数，得2210
320m m m ⎧-=⎨-+≠⎩
，解得1m =-.
故选：B. 【点睛】
本题考查纯虚数的定义，解题时应注意实部为零、虚部不为零，属于基础题. 7．B 【解析】
复数z 对应的点的坐标是()()()
2
22log 33,log 3m m m ---，且在直线11
22
y x =+上， 可得()()2
22332log lo 3g 10m m m ----+=，进而解得m 的值即可.
【详解】
由题意，得()()2
22332log lo 3g 10m m m ----+=，即()
22
2
33
log 13m m m --=--，
()
22
33
123m m m --∴
=-，解得m =233030m m m ⎧-->⎨->⎩
，解得m >m ∴=.
故选：B. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于常考题. 8．3 【解析】
根据复数为实数列出式子计算即可. 【详解】
复数()2
12155z m m i m =++-+为实数，2215050m m m ⎧+-=⎨+≠⎩
，
即355m m m ==-⎧⎨≠-⎩或，解得3m =. 故答案为：3m =. 【点睛】
本题考查复数的分类及其计算，属于基础题. 9．2i -- 【解析】 有图可得出1z ，由2
1
z i z =可得21z z i =计算即可. 【详解】
由题图可知，112z i =-+，由2
1
z i z =，得()21122z z i i i i ==-+=--. 故答案为：2i --. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题. 10．52i - 【解析】
分别得出点A ，点B ，点D 的坐标，再由四边形ABCD 是平行四边形得出AC AB AD =+计算即可. 【详解】
依题意得()0,0A ，()3,2B ，()2,4D -，()3,2AB =，()2,4AD =-， 四边形ABCD 是平行四边形，
()()()3,22,45,2AC AB AD +-∴=+==-，故点C 对应的复数为52i -.
故答案为：52i - 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题. 11．（1）2m =-；（2）()()(),22,11,m ∈-∞----+∞；（3）0m =.
【解析】
根据题中要求分别求得满足条件的m 值即可. 【详解】
（1）由22210
320m m m m ⎧++>⎨++=⎩，得2m =-，∴当2m =-时，z 是实数；
（2）由22210
320m m m m ⎧++>⎨++≠⎩，得1m ≠-且2m ≠-，∴当()
()(),22,11,m ∈-∞----+∞时，z
是虚数；
（3）由题意得()
2
2
320
lg 210m m m m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩
，.即22320211m m m m ⎧++≠⎨++=⎩，解得0m =.∴当0m =时，z 是纯虚数. 【点睛】
本题考查复数的分类，考查对实数、虚数以及纯虚数定义的掌握程度，属于基础题. 12．（1）32i +；（2）23i -+；（3）32i --. 【解析】
分别得出平移后点O '和点A '的坐标，然后按照题中要求写出结论即可. 【详解】
如图所示，O 为原点，点A 的坐标为()3,2，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点O '的坐标为()2,3-，点A '的坐标为()1,5，坐标平移不改变OA 的方向和模，
（1）向量O A ''对应的复数为32i +； （2）点O '对应的复数为23i -+； （3）向量A O ''对应的复数为32i --. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解题时应注意坐标平移不改变原向量的方向和模，属于常考题.
13．（1）13i z =-+；（2
【解析】
（1）设i z a b =+(),a b ∈R ，由3i z -为实数，5i
2i
z --为纯虚数，可求出,a b 的值，进而可求出复数z ；
（2）结合复数的四则运算，对i
1z
-进行化简，进而求出1i z -即可.
【详解】
（1）设i z a b =+(),a b ∈R ，
由3i (3)i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =.
∵()()()()2i 2i 5i 2i 22(4)i
2i 2i 2i 2i 5a z a a a -+--++-===---+为纯虚数， ∵220,40a a +=-≠，即1a =-， ∵13i z =-+. （2）13i (13i)(1i)42i
2i 1i 1i (1i)(1i)2
z -+-++-+====-+---+， ∵
1i
z =-
【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14
．32z =
+
或32z = 【解析】
设z a bi =+（a ，b R ∈），由9
x R z
+∈和33z -=分别列出方程，解方程组即可.
【详解】
设z a bi =+（a ，b R ∈），由9
z R z +∈，得2290b b a b
-=+，又0b ≠，故229a b +=，∵
由33z -=
3=，∵
由
∵∵，得32a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩，即32z =
或32z =. 【点睛】
本题考查利用实数和模长的定义求复数的问题，属于常考题.
15．（1）3a b ==；（2）min z 【解析】
（1）方程()()2
690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据
复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；
（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2
2
22
334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，
化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可. 【详解】
（1）b 是方程()()2
6i 90x x ai a R -+++=∈的实数根，
()()2
690b b a b i ∴-++-=，2690
b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩
，解得3a b ==.
（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2
2
22
334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，
=z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为
构成的图形是以()11,1O -为圆心，.
当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，
1OO =r =
∴当1z i =-时，z 有最小值，且min
z 【点睛】
本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
16．（1）12z =-，12z =；（211. 【解析】
（1）将()2
1z i i =+化简后求共轭复数和模即可；
（2）设复数(),z x yi x y R =+∈，求出它对应的轨迹是单位圆，画出图形求出1z z -的最值即可. 【详解】
复数()()2
21112122z i i i i i =+=+-==-. （1）12z =-，12z =.
（2）设复数(),z x yi x y R =+∈，
341z i +-=，1，
它表示复数z 对应的点到()3,4-的距离为1，构成的图形是圆心为()3,4P -，半径为1的圆，画出图形，如图所示，
1z 所对应的点为()2,0A -，则圆心P 到点A 的距离为PA =
=
因为1z z -表示圆P 上的点到点A 的距离，所以1z z -的最大值为11PA +，最小
值为11PA -. 【点睛】
本题考查复数共轭复数的概念，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
17．（1）2a =，2b =；（2）见解析 【解析】
（1）利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则即可得出；
（2）利用一元二次方程的实数根与判别式的关系即可得出． 【详解】
（1）1x =-是方程的根，1∴也是方程的根，
由根与系数的关系得11a +=，()()
11ab =，解得2a =，2b =；
答案第9页，共9页 （2）证明：14
b a >，()21404404044b b a a b a ab a a a -∴-=>⇒->⇒->，240a ab =-∴<∆，∴原方程无实数根.
【点睛】
本题考查复数的运算法则，考查复数与方程的综合，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
18．（1）见解析；
（2）存在，k =
【解析】
（1）设z x yi =+（x ，y R ∈，0y ≠），代入已知条件可得结果； （2）假设存在实数k ，使得z k k z =为实数，利用复数的模的性质将z k k z
+化为33R x kx y ky k k i ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝+-⎭
，从而03y ky k -=，继而可求得k 的值. 【详解】
（1）依题意，设z x yi =+（x ，y R ∈，0y ≠）
，代入232z +=，
得)2322x yi x yi ++=+-，整理得223x y +=
，即z z 为定值； （2）假设存在实数k ，使得z k k z =为实数，即：()()()
i i i i i i k x y z k x y k x y k z k x y k x y x y -+++=+=+++- ()333k x yi x yi x kx y k k k k i y ⎛-+=+=⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭
+-为实数，03y ky k ∴-=， 0y
≠，k ∴=k ，使z k k z
=为实数，此时k = 【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的基本概念，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。