浙江省绍兴一中2015届高三数学上学期期中试题 文

高三期中考试数学试卷(文)
一、选择题：本大题共10小题，每一小题3分，共30分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．设全集U=R ，A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=
x x y x 21
2，B=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+-=112x y y ， 如此右图中阴影局部表示的集合为 ( )
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤
2．a+b=0是
a
b
=1-成立的条件( ) A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分
D ． 既不充分也不必要
3．函数()210,1
lg ,1
x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，记()()x f x f =1，()()()x f f x f 12=，()()()x f f x f 23=，
，如此()=102014f ( )
A ．10
B ．lg110
C ．0
D ．1
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 10:S 5＝1:2，如此=-++5
1015
105S S S S S ( )
A.
27 B. 27- C. 29D. 2
9- 5．正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-0
5302y x y x ，如此x
y z 2313⎪⎭⎫
⎝⎛=-的最小值为〔 〕
A. 91
B.271
C.811
D. 1
6．双曲线]2,2[)0,0(122
22∈>>=-e b a b
y a x 的离心率，如此一条渐近线与实轴所成角的
取值范围是( )
A ．⎥⎦⎤⎢
⎣⎡4,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D ． ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,3ππ 7．如下命题中，真命题为 〔 〕
A ．终边在y 轴上的角的集合是⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈=
Z k k a a ,2|π； B ．在同一直角坐标系中，函数x y sin =的图象和函数x y =的图象有三个公共点； C ．把函数)3
2sin(π
+=x y 的图象向右平移
6
π
个单位得到x y 2sin =的图象 D ．函数)2
sin(π
-
=x y 在],0[π上是减函数。

1411,24
333,,4816
8.如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在平面,如此以下关系错误的答案是．．．．．．〔 〕 A ．平面PCD ⊥平面PBC B ．平面PCD ⊥平面PAD
C ．平面PAB ⊥平面PBC
D ．平面PAB ⊥平面PAD
9.假设方程3936x
x +=，3log 2x x +=的根分别为1x ，2x ，如此12x x +=〔 〕
A.2
B.4
C.6
D.8
10．如图，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ， 假设侧棱长SA=3，如此正三棱锥S —ABC 的外接球的体积为 〔 〕A ．2
9
π B ．9πC ．12π D ．16π
二、填空题：本大题共7小题，每一小题4分，共28分． 11．某几何体的三视图如如下图所示，它的体积为
12．假设直线b x y +=被圆12
2=+y x 所截得的弦长不小于1，如此b 的取值范围是
13．x >0，y >0，且02=-+xy x y ，假设x ＋2y m ->0恒成立，如此实数m 的取值范围是
14.假设函数e x
y =可表示成一个偶函数()f x 和一个奇函数()g x 之和，如此
()1ln 2ln 2f g ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=．
15．右图给出了一个“直角三角形数阵〞：满足每一列成等差数列，从第三行起，
每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为
()*,,ij a i j i j N ≥∈，
如此88
a =.
16.3332sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-x π,如此()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-35cos cos πx x =.
17.如图，：|AC |=|BC |=2，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，D 为 以AC 为直径的圆上一动点，如此AM DC ⋅的取值范围是 .
三、解答题〔本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 18．〔本小题总分为8分〕等差数列{n a }中，82=a ，18510=S .
〔1〕求数列{n a }的通项公式a n ；
〔2〕假设从数列{n a }中依次取出第2，4，8，┄，2n
，┄项，按原来的顺序排成一个新数列{t n }，试求{t n }的前n 项和A n ；
19．〔本小题总分为8分〕在中，内角对边的边长分别是
，
．
〔Ⅰ〕假设3
C π
=，且的面积等于
，求
；
〔Ⅱ〕假设，求a 的取值范围．
20．〔本小题总分为8分〕四棱锥P —GBCD 中(如图)，PG⊥平面GBCD ，GD∥BC，GD=
4
3
BC ，且BG⊥GC，GB=GC=2，E 是BC 的中点，PG=4 〔Ⅰ〕求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； 〔Ⅱ〕假设F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，
:PF FC k =，求k 的值.
21. 〔本小题总分为8分〕设二次函数2
()f x ax bx c =++〔a ，b ，c ∈R，0a ≠〕满足：
对称轴为1x =-，且R x ∈时22
5()259x x f x x x ++≤≤++恒成立. 〔1〕求(2)f -的值； 〔2〕求函数()f x 的解析式；
〔3〕函数()f x kx -的图像与x 轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，问是否存在实数k 满足OA AB 2=?如果存在,求出k 的值，如果不存在，请说明理由.
22．〔本小题总分为10分〕椭圆C 的离心率为
2
2，椭圆C 的右焦点2F 和抛物线x y 242
=的焦点重合，椭圆C 与y 轴的一个交点为N ，且1F 是椭圆C 的左焦点. 〔1〕求证:21F NF ∆是等腰直角三角形；
〔2〕当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足PA PB AQ
QB
=
，求点Q 的轨迹方程.
绍兴一中2014上学期高三期中考试数学试卷(文)
18. 解：(Ⅰ)设{a n }首项为a 1,公差为d ,
如此⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+1852)92(108
11d a d a ,解得⎩⎨⎧==351d a ∴a n =5+3(n -1),即a n =3n +2
---------3分
〔Ⅱ〕设t 1=a 2,t 2=a 4,t 3=a 8, 如此2232+⨯==n n n a t ---------5
分
∴A n =(3×2+2)+(3×22
+2)+…+(3×2n
+2) =3×(2+22
+ (2)
)+2n
=3×1
2)12(2--n +2n=6×2n
-6+2n
---------8
分
19．解：〔Ⅰ〕由余弦定理与条件得，
，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
〔Ⅱ〕由题意得，即
，
当，即2
A π
=时，22
44a b =+>，故(2,)a ∈+∞ 当
，即2
A π
≠
时，得
，由正弦定理得
，
方法一：由三条边构成三角形的条件可得：3222a a a
>⎧⎨+>⎩，故2(,2)3a ∈
〔方法二：由余弦定理得：2254cos (1,1)4a C a -=∈-，故2
(,2)3
a ∈〕 综上：当2
A π
=时， (2,)a ∈+∞； 当2
A π
≠
时，2
(,2)3
a ∈
20．[解析]
解法一：
〔I 〕如下列图，以G 点为原点建立空间直角坐标系o —x yz ， 如此B 〔2，0，0〕，C 〔0，2，0〕，P 〔0，0，4〕故E 〔1，1，0〕
10102022
|
|||,cos )4,2,0(),0,1,1(=⋅=
⋅⋅>=
<-==PC GE PC GE PC GE PC GE 故异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为10
10. 〔Ⅱ〕设F 〔0，y , z 〕
2
3
)2
3
(2)0,2,0()0,23,23(0)0,2,0(,
),2
3
,23()0,23,23(),,0(=
∴=-=⋅-∴=⋅=-=--=-=y y y GC DF GC z y z y OD OF DF 则
在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，如此2
1,23==
MC GM 3==∴
MC
GM
FC PF ，∴3K = 解法二：
〔Ⅰ〕在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG
交AD 于H ，连结PH ，如此∠PCH 〔或其补角〕就是异 面直线GE 与PC 所成的角. 在△PCH 中，18,20,2===
PH PC CH
由余弦定理得，cos ∠PCH=
10
10 ∴异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为
10
10. 〔Ⅱ〕在平面GBCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC ∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM
由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG 由0=⋅GC DF 得GM ⊥MD ，∴GM=GD ·cos45°=
2
3 32
1
23
===MC GM FC PF ，∴3k = 21. 解：〔1〕令x =-2,如此7(2)7f ≤-≤，所以(2)7f -= 〔2分〕
〔2〕又R x ∈时，(2)()f x f x -=-，从而(0)(2)7f f =-=
故可设二次函数()(2)7f x ax x =++ 〔3分〕
对于R x ∈，22
527x x ax ax ++≤++，即2
(1)(21)20a x a x -+-+≥
如此2(21)8(1)0a a ---≤且1a >，化简得3
(23)0a -≤，解得32
a = 所以函数()f x 的解析式为2
3()372f x x x =
++； 〔4分〕 〔2〕设()()g x f x kx =-，2
3()(3)72
g x x k x =+-+
因为(0)70g =>，所以A ，B 一定在y 轴的同侧，设A (α,0)，B (β,0) 〔5分〕 由OA AB 2=有3βα=， 〔6分〕
又可知,αβ是方程
2
3(3)702
x k x +-+=的两实数根， 由韦达定理可得，263k βα-+=，14
3
αβ= 〔7分〕
解得，3k =±，经检验，符合. 〔8分〕
22.解析：〔Ⅰ〕由题意解得2
2
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22
142
x y +=．()
0,21-F , (
)
0,22
F ，不难得出21F NF ∆是等腰直角三角形。

-----3分
〔Ⅱ〕 方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y ． 由题可设AP AQ PB
QB
λ=
=
,如此0λ>且1λ≠．
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=． 于是 1241x x λλ-=
-， 12
11y y λλ
-=-
121x x x λλ+=
+， 12
1y y y λλ
+=+-----5分
从而
222
12
2
41x x x λλ-=-，〔1〕 222
12
2
1y y y λλ
-=-，〔2〕
又点A 、B 在椭圆C 上，即
221124,(3)x y +=22
2224,
(4)x y +=
〔1〕+〔2〕×2并结合〔3〕，〔4〕得424=+y x ，
即点Q 的轨迹是直线在椭圆内的局部，方程为220x y +-=． -----10分
方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设
PA PB AQ
QB
=
=λ．
又 ,,,P A Q B 四点共线，可得,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1141,11x y
x y λλλλ
--==
-- 〔1〕 2241,11x y
x y λλλλ
++=
=
++ 〔2〕 -----5分 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将〔1〕，〔2〕分别代入C 的方程2
2
24,x y += 整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= 〔3〕 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=，
0,220x y λ≠+-=∵∴，
即点Q 的轨迹是直线在椭圆内的局部，方程为220x y +-=． -----10分。