江苏省南京市六校联合体2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、选择题：本大题共 2小题，每题 5 分，共 60 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()22
2 2516:C x y -+-= ，则圆1
C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交
C. 外切
D. 内切
【答案】C 【解析】
1(2,2)C -，11r =，
2(2,5)C ，24r =，
12125C C r r ===+，
即两圆外切，故选C ．
点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定
2.计算2
2
cos
sin 12
12
π
π
-的值为（ ）
A. 1
2
-
B.
12
C. 【答案】D 【解析】 【分析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】由二倍角公式得：22
12
12
6
cos sin cos
π
π
π
-==
， 故选D.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
3.在空间直角坐标系中，点(3,4,5)P 关于z 轴对称的点的坐标为（ ） A. (3,4,5)--
B. (3,4,5)-
C. (3,4,5)--
D.
(3,4,5)-
【答案】A 【解析】 【分析】
在空间直角坐标系中，点(,,)a b c 关于z 轴对称的点的坐标为(,,)a b c --. 【详解】根据对称性，点()3,4,5P 关于z 轴对称的点的坐标为(3,4,5)--. 故选A.
【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.
4.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. 2015年第三季度环比有所提高
B. 2016年第一季度同比有所提高
C. 2017年第三季度同比有所提高
D. 2018年第一季度环比有所提高
【答案】C 【解析】 【分析】
根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．
【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；
2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；
2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确；
2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.
5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D 错误． 故选：C ．
【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
5.同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ） A.
1
8
B. 38
C.
14
D.
1
2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项分布的概率公式()()
1n k
k k
n P X k C p p -==-求解.
【详解】每枚硬币正面向上的概率都等于
12
， 故恰好有两枚正面向上的概率为：2
23
113·228
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选B.
【点睛】本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.
6.直线()
2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A. 2 B. 2或3-
C. 3-
D. 2-或3-
【答案】B 【解析】 【分析】
两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解. 【详解】当10m +=即1m =-时， 两直线为240x +=，320x y -+-=， 两直线不平行，不符合题意； 当0m =时，
两直线为240x y ++= ，320y -= 两直线不平行，不符合题意；
当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时， 直线2(1)40x m y +++=的斜率为2
1
m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -
， 因为两直线平行，所以213
m
m -
=-+， 解得2m =或3-， 故选B.
【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
7.已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 //m α， //n α则 //m n
B. 若 m α⊥， m n ⊥则//n α
C. 若 m α⊥， n α⊂则 m n ⊥
D. 若 //m α， m n ⊥则 n α⊥
【答案】C 【解析】
试题分析：A 中，两直线,m n 可能平行也可能相交或异面，故A 错；B 中，直线与α可能平行
也可能在平面α内，故B 错；C 中，由线面垂直的定义可知C 正确；D 中，直线n 可能与面α相交，也可能平行，还可能在面α内，故D 错，故选C ．
考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．
8.若圆2
2
2210x y ax by +-++=的圆心在第一象限，则直线0ax y b +-=一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.
【详解】因为圆2
2
2210x y ax by +-++=的圆心坐标为()a,b -，由圆心在第一象限可得
a 0,
b 0><，所以直线0ax y b +-=的斜率a 0-<，y 轴上的截距为0b <，所以直线不过
第一象限.
【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.
9.在空间四边形ABCD 中，2AD = ， BC =E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，
EF =AD 与BC 所成角的大小为（ ）
A. 150︒
B. 60︒
C. 120︒
D. 30︒
【答案】D 【解析】 【分析】
平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解. 【详解】如图所示：
设BD 的中点为O ，连接,EO FO ， 所以,EO AD FO BC P P ，
则EOF ∠是,AD BC 所成的角或其补角， 又11
1,3,722
EO AD FO BC EF =
====根据余弦定理得：3
cos 223
EOF ∠==-， 所以150EOF ∠=︒，
异面直线AD 与BC 所成角的为30︒， 故选D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是
(]0,90︒︒.
10.已知函数()
sin f x x =和()22g x x π=-[],ππ-，则它们的图像围成的
区域面积是（ ） A. π B.
2
2
π C.
3
2
π
D. 3π
【答案】C 【解析】 【分析】
由22()g x x π-2
2
2
,(0)x y y π+=≥，所以()g x 的图像是以原点为圆心，π为半径
的圆的上半部分；再结合图形求解.
【详解】由22()g x x π-2
2
2
,(0)x y y π+=≥ ，
作出两个函数的图像如下：
则区域①的面积等于区域②的面积，
所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积，
即3
2122
S r ππ==.
故选C.
【点睛】本题考查函数图形的性质，关键在于()g x 的识别.
11.在ABC ∆中，已知1tan 2A =，310
cos 10
B = .若AB
C ∆最长边为10，则最短边长为（ ） A. 2 B. 3
C. 5
D. 22
【答案】A 【解析】 试题分析：由
，
，解得
，
同理，由310cos 10
B =
，，解得，在三角形中，
，由此可得
，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.
考点：正弦定理.
12.已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2
b a a
c =+，则
()2sin sin A
B A -的取值范围是（ ）
A. 0,2⎛ ⎝⎭
B. 1,22⎛ ⎝⎭
C. 1,22⎛ ⎝⎭
D. 2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
()b a a c =+利用余弦定理，可得2cos a a B c +=，利用正弦定理边化角，消去C ，可得
sin sin()A B A =-，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数
的
有界性，可
得
2sin 1sin (,sin()22
A A
B A =∈-
【详解】因为2
()b a a c =+，所以22b a ac =+， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-， 所以2222cos a c ac B a ac +-=+， 所以2cos a a B c +=，
由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+， 所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+， 即sin sin()A B A =-，
因为三角形是锐角三角形，所以(0,)2
A π
∈，所以02
B A π
<-<
，
所以A B A =-或A B A π+-=， 所以2B A =或B π=（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以0,02,032
2
2
A A A π
π
π
π<<
<<
<-<
，
所以64A ππ
<<
，则2sin 1sin (sin()2A A B A =∈-，
故选C.
【点睛】这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A 的范围是解题的关键.
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13.若直线()4y k x =+与圆2
2
8x y +=有公共点，则实数k 的取值范围是__________．
【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】
直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径. 【详解】直线(4)y k x =+即40kx y k -+=， 圆2
2
8x y +=的圆心为(0,0)
，半径为
≤
解得11k -≤≤,
故实数k 的取值范围是[]1,1-.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.
14.某公司调查了商品 A 的广告投入费用
x （万元）与销售利润 y （万元）的统计数据，如下表：
广告费用
x （万元） 2 3 5 6 销售利润
y （万元） 5
7
9
11
由表中的数据得线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则当 7x =时，
销售利润 y 的估值为___．（其中：
()
1
2
21
ˆn
i i
i n
i
i x y x y
b
x
n x
==-=-∑∑）
【答案】12.2 【解析】 【分析】
先求出x ，y 的平均数，再由题中所给公式计算出ˆb 和a ∧
，进而得出线性回归方程，
将7x =代入，即可求出结果.
【详解】由题中数据可得：235644x +++=
=，5791184
y +++==，
所以()
4
142
214253759611448
1.4492536416
4ˆi i i i
i x y xy
b
x x ==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==
=+++-⨯-∑
∑
，
所以8 1.44 2.4a y b x ∧
∧
=-=-⨯=，故回归直线方程为 1.4 2.4y x ∧
=+， 所以当7x =时， 1.47 2.412.2y ∧
=⨯+=
【点睛】本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求ˆb 与a
∧
，属于基础题型.
15.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足
PA PB
λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P
的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．
【答案】2
21a λ
λ-
【解析】 【分析】
设(,)P x y ，由动点P 满足
PA PB
λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），可
得
=.
【详解】设(,)P x y ，由动点P 满足
PA PB
λ=（其中a 和λ
是正常数，且1λ≠），
所以2222()()x a y x a y λ++=-+，
化简得22
22
2
2(1)01a x x a y λλ
++++=-， 即2
2222222222
(1)(1)1(1)a a x y a λλλλ⎡⎤++++=-⎢⎥--⎣
⎦， 所以该圆半径()
(
)
2
22
22
2
2
1211a a r a λλ
λ
λ+=
-=
-- 故该圆的半径为2
21a λ
λ-.
【点睛】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.
16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =， 则当[] 1,5x ∈时，函数()y f x =的值域__________．
【答案】36,66⎡⎣
【解析】 分析】
根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域. 【详解】如图：
∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23 ∴正方体的对角线长为6， ∵[]
1,5x ∈
（i ）当1x =或5时，三角形的周长最小. 设截面正三角形的边长为t ，由等体积法得：
2
21311221332⎫⨯=⨯⨯⎪⎪⎝⎭ ∴6t ∴min 36y =
（ii ）2x =或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为6， ∴6y =（iii ）当24x <<时，截面六边形的周长都为6 ∴max 66y =∴当[]
1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为36,66⎡⎣.
【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出BP 与截面边长的关系.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。

现从符合条件的志愿者
中 随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[) 25,30，第3组[) 30,35，第4组
[) 35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，
4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这 6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第
5组志愿者有被抽中的概率.
【答案】（1）分别抽取3人，2人，1人；（2）1
3
【解析】 【分析】
（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从6名志愿者中随机抽取2名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.
【详解】（1）第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽
取的人数分别为：第3组:
306360⨯=；第4组: 206260⨯=；第5组: 10
6160
⨯=. 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人. （2）设“第5组的志愿者有被抽中”为事件5.
记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者
为1C ，则
从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，
()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共有15种.
其中第5组的志愿者被抽中的有5种，
()51153
P A =
= 答：第5组的志愿者有被抽中的概率为
13
【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
18.如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点， 已知2AB =， 22AD =，
2PA =，求：
（1）直线PC 与平面 PAD 所成角的正切值； （2）三棱锥 P ABE -的体积. 【答案】（1）33；（2）2
3
【解析】 【分析】
（1）要求直线PC 与平面PAD 所成角的正切值，先要找到直线PC 在平面PAD 上的射影，即在直线PC 上找一点作平面PAD 的垂线，结合已知与图形，转化为证明CD ⊥平面PAD 再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以PAB 为底，E 与PB 的中点H 的连线HE 为高计算更为快速，从而转化为证明EH ⊥平面PAB 再求解.
【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面ABCD CD PA ∴⊥ 又CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以CD ⊥平面PAD ，所以CPD ∠为直线PC 与平面PAD 所成角。

易证PCD ∆是一个直角三角形， 所以3
tan 3
23CD CPD PD ∠=
==
. （2）如图，设PB 的中点为H ，则//EH BC ，
PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD BC PA ∴⊥, 又//EH BC ， EH PA ∴⊥，BC BA ⊥, 又//EH BC ，EH BA ∴⊥，PA BA A ⋂=，
所以EH ⊥平面PAB ， 所以HE 为三棱锥的高. 因此可求22
P ABE E PAB V V --==
【点睛】本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.
19.已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AC 边上的中线BM 所在直线方程为2 5 0x y --=，AB 边
上 的高CH ，所在直线方程为
250x y --=. （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程.
【答案】（1）()4,3；（2）6590x y --= 【解析】 【分析】
（1）根据AB 边上的高CH 所在直线方程求出AB 的斜率，由点斜式可得AB 的方程，与BM 所在直线方程联立即可得结果；（2）设()0025,C y y + 则0015,
2y M y +⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭
， 代入250x y --=中，可求得C 点坐标，利用两点式可得结果.
【详解】（1）由AB 边上的高CH 所在直线方程为250x y --=得2AB k =-， 所以直线AB 所在的直线方程为()125y x -=--，即2110x y +-=
联立2110250x y x y +-=⎧⎨
--=⎩， 解得4,
3x y =⎧⎨=⎩
所以顶点B 的坐标为（4,3）
（2）因为C 在直线250x y --=上，所以设()0025,C y y + 则0015,
2y M y +⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， 代入250x y --=中，得03y =- 所以()1,3C --
则直线BC 的方程为()33
3141
y x ++=
++，即6590x y --= 【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
20.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点 D 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，已知
AB AC =，13AA =，2BC CF ==
（1）若点M 在棱1BB 上，且1BM =，求证：平面CAM ⊥平面ADF ；
（2）棱AB 上是否存在一点E ，使得1
//C E 平面ADF 证 明你的结论。

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）通过证明CM DF ⊥，AD CM ⊥进而证明CM ⊥平面ADF 再证明平面CAM ⊥平面ADF ；
（2）取棱AB 的中点E ，连接CE 交AD 于O ，结合三角形重心的性质证明1//OF C E ，从而证明1//C E 平面ADF .
【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11B BCC ， 所以平面11B BCC ⊥平面ABC ．（或者得出1AD BB ⊥ ）
由于AB AC =，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．平面11B BCC ⋂平面ABC BC =，
AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面11B BCC ．而CM 平面11B BCC ，于是AD CM ⊥．
因为1BM CD ==，2BC CF ==，所以Rt CBM Rt FCD ∆≅∆，所以CM DF ⊥．
DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ,CM ⊂平面CAM
所以平面CAM ⊥平面ADF
（2）E 为棱AB 的中点时，使得1C E P 平面ADF ， 证明：连接CE 交AD 于O ，连接OF ．
因为CE ，AD 为ABC ∆中线，所以O 为ABC ∆的重心，12
3
CF CO CC CE ==．从而1//OF C E ． OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF
【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线 平行.
21.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角120︒为的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD 。

（1）已知某人从 C 沿 C D 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）
（2）若该扇形的半径为OA a =，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长。

【答案】（1）445米；（2）C 在弧AB 的中点处 【解析】 【分析】
（1）假设该扇形的半径为r 米，在CDO ∆中，利用余弦定理求解；（2）设设DOC θ∠=，在CDO ∆中根据正弦定理，用θ和r 表示CD 和DO ，进而利用和差公式和辅助角公式化简，
再根据三角函数的性质求最值.
【详解】（1）方法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意， 得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ 在CDO ∆中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= 即，()()2
2
21
50030025003002
r r r +--⨯⨯-⨯
= 解得4900
44511
r =
≈（米) 方法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ，由题意，得500CD =（米）， 300AD =（米）
，120CDA ∠=︒ ，在CDO ∆中， 2222221
2cos12050030025003007002
AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒=++⨯⨯⨯
=. 700AC =（米）. 22211
cos 214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ .
在直角HAO ∆ 中，350AH =（米），11
cos 14
HAO ∠=
4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）.
（2）连接OC ，设DOC θ∠=，20,
3πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
在DOC ∆
中，由正弦定理得：2sin sin
sin 33CD
DO OC ππθ
θ=
==
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
于是CD θ=
，23DO πθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
则
2sin sin 2sin 36DC DO a ππθθθ⎤⎛⎫⎛
⎫+=
+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝
⎭⎦ ，20,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
所以当3
π
θ=
时，DC DO +最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处。

【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的实际应用，结合了三角函数的化简与求三角函数的最值.
22.已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -，()10B ,，() 3,2C ，其外接圆为圆 H ．
（1）求圆 H 的方程；
（2）若直线l 过点C ，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线l 的方程；
（3）对于线段BH 上的任意一点 P ，若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M ，
N ，使得点 M 是线段PN 的中点，求圆 C 的半径
r 的取值范围． 【答案】（1）22
(3)10x y +-=（2）3x =或4360x y --=（3）104
1035
r ≤< 【解析】
【详解】试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.
试题解析：
（1）ABC ∆的面积为2；
（2）线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=， 所以ABC ∆外接圆圆心()0,3H 221310+=H 的方程为()2
2310x y +-=，
设圆心H 到直线l
的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以()
2
1013d =
-=.
当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为()23y k x -=-2
3131k k +=+，解得4
3
k =
， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=. （3）直线BH
的
方程为330x y +-=，设()(),01P m n m ≤≤，(),N x y ，
因为点M 是线段PN 的中点，所以,22m x n y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以222
222222222
(3)(2)(3)(2)(6)(4)4(3)(2)2
2x y r x y r m x n y x m y n r r ⎧-+-=⎧-+-=⎪
∴⎨⎨++-++-+=-+-=⎩⎪
⎩ 因为关于x ，y 的方程组有解，即以()3,2为圆心，r 为半径的圆与以()6,4m n --为圆心，
2r 为半径的圆有公共点，所以()()()()2
2
2
2
236242r r m n r r -≤-++-+≤+，
又330m n +-=，所以2221012109r m m r ≤-+≤对[]
0,1m ∀∈成立.
- 21 - 而()2101210f m m m =-+在[]0,1上的值域为32,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以232
5r ≤且2109r ≤. 又线段BH 与圆C 无公共点，所以()()2223332m m r -+-->对[]0,1m ∀∈成立，即232
5r <.
故圆C 的半径r
的取值范围为⎣⎭
.
考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．。