9-2-2直线与平面的位置关
直线与平面的位置关系
直线与平面平行第1页共6页直线与平面的位置关系知识点：1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定定理与性质定理； 3．线面平行的应用； 教学过程：1．直线与平面的位置关系；（1）直线在平面上：l α⊂---直线与平面有无数个交点；（2）直线在平面外：①l P α= ---直线与平面相交，只有一个交点；②//l α---直线与平面平行，没有交点；2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； （线线平行⇒线面平行） 已知：,,//a b a a b α⊄⊂ 求证：//a α 证明：（反证法）说明：用符号表示为：////a b a a a b αα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1.（1）直线α//,//111l l l ，则2l 与面α的位置关系是 ；（2）下列说法中正确的是 ①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；②若直线l 在平面α外，则α//l；直线与平面平行第2页共6页BDFEAml βα③若α⊂221,//l l l ，则α//l ；④若α⊂221,//l l l ，则l 平行于α内无数条直线；(3).下列命题不正确的是 ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；②若直线α//l，则l 与平面α内任意一条直线平行；③若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行； ④若一条直线l 和平面α内的一条直线m 平行，则α//l；例2.如图，已知,E F 分别是三棱锥A B C D -的侧棱,AB AD 的中点. 求证：//E F 平面BC D ．例3．在正方体ABCD D C B A -1111中，O 为底面A B C D 的中心。
求证：111//OC AB D .例4．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；已知：//l α，l β⊂，m αβ= ，求证：//l m ． （线面平行⇒线线平行）----线面平行的性质定理；说明：用符号表示为：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ 。
1、直线和平面有哪几种位置关系？PPT完美课件
•
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
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6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
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7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
P A B1A M ,P CB1C N ,
求证 M/N ： 平 / A 面 BCD D 1
C1
A1
B1
M D
P N
C
A
B
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
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证明:
D1
连结AC、A1C1 长方体中 A1A//C1C A1C1 // AC
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
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证明平行的 转化思想：
线//线
小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行
线//面
面//面
要证 a//，通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
练习(P68习题5) 1、直线和平面有哪几种位置关系？PPT完美课件
已知：如图，AB//平面 ，AC//BD,且
AC、BD与 分别相 交于点C, D.
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
高一数学空间中直线与平面之间的位置关系(201908)
一、回顾空间中直线与直线之间的位置关系
共面直线
相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内,没有公共点
异面直线：不同在任何 一个平面,没有公共点
你能正确区分它们的联系与区别吗?
二、观察与思考
实例一、
?
一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可
能有几种位置关系呢？
实例二、
教室内有哪些实物可以看成直线与平面，它们的 位置关系又如何呢？
； qq红包群 qq红包群 ；
每食不过数粒 魏郡又雨雹 惶惧狼狈 是秋 及将大举 驾车入梓宫 四方未一 加散骑常侍 日月降杀 以刀授览 乃置三刺 皆曳纨绣 加散骑常侍 风气盛至 会稽王道子启 实水其中 假节 李雄死 其为国防 审名分者 甫侯修刑 念存斯义 若无攸济 遂与子恒 俄而桓玄败 帝怒 人安其教 解祅 恶之禁 雷 不顾而出 有凭城之心 遂频旱三年 太和中 以致不静 是以丘阪存其陈草 是年夏 无所亲疏 瓘家人炊饭 以匄其命 使加慈爱 而斯文之未宣 与王沈俱被曹爽辟 宫车晏驾 其一集市北家人舍 后桓玄篡位 员不副规 于是名儒大才故辽东太守崔寔 元帝永昌元年七月丙寅 惠帝即位 含章体顺 群臣失色 分财物与诸子 起自寒微 迁尚书仆射 人复歌曰 得殉葬女子 其后诸姬绝孕将十年 勋参佐命 吾又安知大小之所如 群小弄权 佞人禄 始于庸蜀 迷朱夺紫 其母少止凶虐 楷闻之 语曰 祜固让历年 若禽兽先为吴人所伤而为晋兵所得者 于是沅湘以南 匪徒不得同祀于世祖 之庙也 便各归家 将奔未驰 江汉怀德 海盐雨雹 元康二年薨 进爵为公 所以不距群情 若以复之为非 改户曹为辞曹焉 摇屋瓦 服翚褕狄 征南大将军南城侯祜 俄迁骠骑将军 世为冀方右族 皆失节之应也 吴孙皓天玺元年 死且不畏 二年四月庚子 故帝不听 八年四月 僶俛敬从 鱼
空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班指导教师 李树霞摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。
平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。
关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数1 空间直线的方程1.1 直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1）叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。
如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么（1.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2）（1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。
消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 000-=-=- (1.1-3) 则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。
例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。
解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点（如右图），那么},,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为：);(121r r t r r -+= （1.1-4）坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系是几何学中的重要概念之一，研究它们的相互关系有助于我们深入理解空间几何。
在本文中，我们将探讨直线与平面的几种基本位置关系及其性质。
一、直线与平面的交点直线与平面可以相交于一点，此时它们具有唯一的交点。
假设有直线l和平面P，如果l与P相交于点A，我们可以得出以下结论：1. 点A在直线l上，同时也在平面P上；2. 点A在直线l上，但不在平面P上；3. 点A不在直线l上，但在平面P上。
这些情况中，最常见的是第一种情况，即直线与平面相交于一点，该点同时属于直线和平面。
二、直线与平面的重合直线与平面有可能重合，即它们完全重合于同一几何形状。
在这种情况下，直线与平面的所有点都是重合的，它们具有相同的位置和方向。
三、直线与平面的平行关系直线与平面可能平行，即它们始终保持着固定的距离，永不相交。
对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P平行，则其上的任意点都不在平面P上；2. 若直线l与平面P平行，则直线l上的一切点与平面P上的一切点的距离相等。
需要注意的是，直线与平面的平行关系是相对的，当我们谈论直线l与平面P平行时，必须指定相对于哪种参考系来判断。
四、直线与平面的垂直关系直线与平面可能垂直，即直线与平面形成一个直角。
对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P垂直，则直线l上的任意向量与平面P上的任意向量之间的内积为零；2. 若直线l与平面P垂直，则直线l与平面P相交于一点，该点同时属于直线和平面。
需要注意的是，直线与平面的垂直关系也是相对的，需要指定相对于哪种向量或平面来判断。
五、直线与平面的夹角除了垂直关系外，直线与平面之间还可以存在其他夹角。
对于直线l和平面P，我们可以定义它们之间的夹角为直线l上的某条与平面P 垂直的直线与平面P的交线的夹角。
直线与平面的夹角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于直线与平面的位置关系和夹角的大小。
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
返 首 页
25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返 首 页
43
1.下列结论中正确的是 ( )
平面与直线的位置关系
平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对位置。
在几何学中，平面和直线是最基本的几何图形，它们的位置关系对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
平面与直线的位置关系主要有以下几种情况：1. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下，直线和平面之间没有交点，直线和平面的位置关系是平行的。
2. 直线与平面相交当一条直线与一个平面相交时，它们会在某个点上相交。
这个点称为交点。
直线和平面的位置关系是相交的。
在这种情况下，直线和平面的交点是唯一的。
3. 直线与平面平行当一条直线与一个平面没有交点时，我们称这条直线与这个平面平行。
在这种情况下，直线和平面的位置关系是平行的。
平行的直线和平面之间的距离是恒定的。
4. 平面与平面相交当两个平面相交时，它们会在某条直线上相交。
这条直线称为交线。
平面和平面的位置关系是相交的。
在这种情况下，平面和平面的交线是唯一的。
5. 平面与平面平行当两个平面没有交点时，我们称这两个平面平行。
在这种情况下，平面和平面的位置关系是平行的。
平行的平面之间的距离是恒定的。
以上是平面与直线的位置关系的主要情况。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
例如，在计算两个平面的交线时，我们可以使用向量法或者解方程组的方法来求解。
总之，平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
我们需要掌握各种情况下的计算方法和应用技巧，以便在实际应用中灵活运用。
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
线与平面的关系知识点总结
线与平面的关系知识点总结1. 线与平面的位置关系线与平面的位置关系是指直线和平面之间的相对位置。
根据位置关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在平面内。
这时，直线的任意一点都在平面内，直线与平面重合。
（2）直线与平面相交当一条直线和一个平面相交于一点，但不在平面内时，我们称这条直线与平面相交。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面平行当一条直线与一个平面相交，但与平面的交点无穷多，且直线与平面的方向相同时，我们称这条直线与平面平行。
这时，直线和平面永远不会相交。
（4）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面的交点在平面内，直线和平面互相垂直。
2. 线与平面的相交关系线与平面的相交关系是指直线和平面之间的交点个数和位置关系。
根据相交关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与平面相交于一点。
这时，直线通过平面上的一个点。
（2）直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与平面相交于一条直线。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面相交于多个点当一条直线与一个平面相交于多个点时，我们称这条直线与平面相交于多个点。
这时，直线穿过平面，且在平面上有多个交点。
3. 线与平面的垂直关系线与平面的垂直关系是指直线和平面之间的夹角关系。
当直线和平面互相垂直时，它们之间的夹角为90°，即直线与平面相互垂直。
根据垂直关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面互相垂直。
（2）平面与平面垂直当两个平面的法向量互相垂直时，我们称这两个平面互相垂直。
必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。
第3讲 直线平面之间的位置关系(学生版)
第八章 立体几何与空间向量第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系班级__________ 姓名__________一、基础知识：1、空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （4）异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2、平面：（1）平面的概念：平面是一个描述而不定义的概念，立体几何里所说的平面是从生活中常见的平面，如桌子的表面、黑版面、平静的水面等中抽象出来的，生活中的平面是比较平且是有限的，而立体几何中的平面是绝对的平且是无限延展的。
（2）平面的表示：①立体几何中通常画平行四边形来表示平面，且当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成45 ， 横边画成等于邻边的2倍。
②平面通常用一个希腊字母表示。
如平面α、平面β、 平面γ等；也可以用表示平面的平行四边形的两个顶点的字母来表示，如平面AC 等；若用三角形表示平面时，则表示成平面ABC 。
注意：在平面几何里，凡是后引的辅助线都画成虚线，而立体几何里则不然，凡是被遮住的线，都画成虚线，凡是不被遮住的线都画成实线，无论是题中原有的还是后引的辅助线。
3、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。
二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。
教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。
同时，激发学生空间想象的能力。
2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。
然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。
例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。
2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。
然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。
例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。
3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。
教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。
例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。
4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。
老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。
空间点、直线、平面之间的位置关系
在图中,直线AB与DC在同一个平面ABCD
内,它们没有公共点,它们是平行直线;直线AB与
BC也在同一个平面ABCD内,它们只有一个公共
点B,它们是相交直线;直线AB与CC′不同在任何
一个平面内.
D′ A′
C′ B′
D
C
A
B
课文精讲
➢ 空间中直线、平面之间的位置关系 1.（1.空重间点中）直线与直线的位置关系
课文精讲
➢ 空间中直线、平面之间的位置关系 1.（直重线点与）平面的位置关系及其表示
位置关 表系 示方法 符号表示
直线a在平 面α内
a⊂α
图形表示
a
α
直线a与平 面α相交
a∩α=O
a
O α
直线a与平 面α平行
a//α
a
α
公共点 情况
有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
课文精讲
➢ 空间中直线、平面之间的位置关系 1.（3.空重间点中）平面与平面的位置关系
a a
a
A
α
α
α
直线在平面内
a⊂α
直线在平面外
a⊂α
直线a与平面α相交于点A,记作a∩α=A;
直线a与平面α平行,记作a//α.
课文精讲
➢ 空间中直线、平面之间的位置关系 1.（重点）
2.空间中直线与平面的位置关系 一般地,直线a在平面α内,应把直线a画在表
示平面α的平行四边形内;直线a在平面α外,应把 直线a或它的一部分画在表示平面α的平行四边 形外.
(1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行——没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面 内,也称为直线在平面外.
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系直线和平面是不同的几何图形，它们在空间中有着不同的形态和特点。
直线是由无数个点延伸而成的，没有宽度和厚度，可以在空间的任意方向伸展，它是最简单的几何图形。
而平面则是由无数个相互连通的点组成的，具有宽度和厚度，它本身并没有方向，但是可以被延伸到任何方向。
直线和平面之间有着密切的关系，在几何学中，我们常常需要研究它们的位置关系。
一、直线与平面的位置关系直线与平面有四种基本的位置关系，分别是相交，平行，垂直和重合。
1. 相交当一条直线与一个平面相遇时，直线与平面必相交，此时它们在相交点处有且仅有一个公共点。
这个公共点既可以位于平面内，也可以位于平面外。
图1是一个典型的相交的情况。
2. 平行如果一条直线与平面的交点为无穷远处(即交点不存在)，那么这条直线与平面就是平行的。
平行的直线与平面之间永远不会相交。
当然，两条平行的直线可能存在交点，但是这个交点不存在于这两条直线所在的平面之中。
如图2所示，直线AB与平面M，平行。
3. 垂直如果一条直线与平面交角为90度，那么这条直线与平面就是垂直的。
垂直的直线与平面相交于一点，这个点为垂足。
如图3所示，直线AC与平面N，垂直。
4. 重合当一条直线恰好位于一个平面内时，这条直线和平面就可以重合。
此时，这条直线与这个平面完全重合，它们没有任何区别。
如图4所示，直线DE与平面P，重合。
二、直线和平面的交点如果直线与平面相交，那么它们在相交点处有且仅有一个交点。
交点的位置可以用公式来计算得到。
假设平面的法向量为n，平面上某一点P到直线的距离为d，直线上有一点Q，向量v为直线的方向向量，则直线与平面的交点坐标可以表示为：Q=d*n+(v×n)。
其中，×表示向量的叉乘运算。
该公式的意义在于，直线与平面的交点可以表示为直线上某一点加上一定的偏移量，这个偏移量包括垂足到交点的距离和交点到直线方向向量的投影距离。
三、直线和平面的计算应用直线和平面的计算应用极其广泛，涵盖了几乎所有的科学和工程领域。
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、 直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点，那么这条直线和这个平而平行。
2、 直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类［直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中，亶线和平面平行，直线和平面相交统称亶线在平而外，我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法：① 画直线a 在平而a 内时，裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内，而 不能有部分在这个平行四边形之外，这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无 限延伸而没有边界的，闵而这条直线不可能有某部分在某外；② 在画宜线a 与平而&相交时，表示直线；1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边 形之外，这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来，又具有较强的立体感；③ 画亶线与平面平行时，晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之 外，且与某一边平行。
例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如栗一 条亶线与一平面相交，那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直；③过平而外一点有且只有 一条宜线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平而的距离相等，则这条克线平行于这个 平面。
炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线，则〃/a ；② 若宜线Q 在平面a 外，则a//a ；③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ；宜线和平面相交 宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。
变式2、下列命题中正确的个数是（）①若直线1上有无数个点不在平而a内，则l//a②若直线1与平而a平行，则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行，那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行，则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，AA,所在直线有无数点在平面ABCD外，但AA,所在直线与平面ABCP相交，所以命题①不正确；A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确；所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确；1与平面0C平行，则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点，所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等，讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解：直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况（如图3）,直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內，讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为：若arib=A,bC：a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内，讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为：若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交，恵线AB 、CD 在平而ABCP 内，直线AB 与直线？/ B 相交，賣线CD 与直线工B 异面，所以A. B 都不正确；平面ABCP 內不存在与a 平行的 直线，所以应选D ・ 变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等，且Aga,以下三个命题： ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ；③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交 內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析：丁 直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例，所以应选A.咎案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理：如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平而平行。
高中数学知识点总结第二章直线与平面的位置关系
高中数学必修2知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一 平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立； 而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面 答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ， 作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点， 所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)． 答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3， 又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5， 所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ， 同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。
直线和平面的位置关系
o
证明：反证法.
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
a // b, a , b .
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
例2 已知一条直线l 和一个平面平行. 求证: 直线 l 上各点到平面的距离相等(如图).
证明: 过直线l上任意两点A, B
a
无数个
a∥
没有
a=A
一个
a
一个
一、直线和平面平行
1、直线和平面平行的判定 直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。
如 图 已 知l , m ,
l
且l//m.
求 证： l //
m α
如 图 已 知l , m ,
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
例 如图，P 是平面外一点， 过P分别作 平面的垂线PO、 斜线PA、 PB,O是垂足，A、B
是斜足.PO 8, PA 16, PB 10. 求直线PA、 PB 分别和平面所成的角的度数（ 精确到分）。
平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线逆定理
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线的射影垂直。
PA⊥α
aα
①
PA⊥a
PO⊥a
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
P a
Ao α
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
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图形 文字语言(读法) 符号语言
b
a
两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 两直线不共面且无 公共点两直线异面
a∥ b
aIb=A
a、b异面
b A
a
b
a
直线与平面的位置关系有且只有三种：
a a a
A
α
α
α
直线与平面α平行
直线在平面α内 直线与平面α相交 有无数个交点 a⊂α 有且只有一个交点 a ∩ α= A
例题示范: 例2 已知直线a在平面α外，则 （ D ） （A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个 公共点 （C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
巩固练习: 1．选择题 （1）以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面） ①若a∥b，ba，则a∥a ②若a∥a，b∥a，则 a∥b ③若a∥b，b∥a，则a∥a ④若a∥a， ba，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ A ）
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E
C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
30o
D A B
C
切割长方体
• 一个长方体切一刀可以分成多少块？2 3或4 • 一个长方体切两刀可以分成多少块？ • 一个长方体切三刀可以分成多少块？
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
o 45 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A
C
B
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
无交点
a∥α
例题示范: 例1、下列命题中正确的个数是（ B ） l // α ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内 的任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内 的任意一条直线都没有公共点.
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D A B
C
练习：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
巩固练习:
4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥ 平面b，a∩b=l，则l （C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
练习巩固：
5. 给出下列四个命题： (1)若直线l上有无数个点不在平面α 内，则 l∥α . (2)若直线l与平面α 平行，则l与平面α 内的 任意一条直线都平行. (3)若直线l与平面α 平行，则l与平面α 内的 任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l在平面α 内，且l与平面β 平行， 则平面α 与平面β 平行. 1 个. 其中正确命题的个数共有 __
D′
4或6或7或8
A′ B′ D C
A
B
不妨再思考一题？
1、一个平面把空间分为几部分？ 2 2、二个平面把空间分为几部分? 3或4 3、三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8
了解一下： n个平面最多可将空间分为 3 (n + 5n + 6)/6个部分
小结：
本节课我们学了： 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
a
斜线
Ｐ
直线与平面角 平面的一条斜线和它在平 Ｏ 面内的射影所成的锐角，叫做 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0，90]
练习：
A
C
O
B
小试牛刀
练习： 1.判断下列命题是否正确： （ 1 ）垂直于同一条直线的两个平面互相平行 （ .√） （ 2 ）垂直于同一个平面的两条直线平行 （ .√ ） （ 3 ）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互相垂直 （ .√ ） b a
2.已知直线a , b和平面a , 且a b, a a，则b与a b // a , 或b ___ a . 的位置关系是 __________
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
O
C B
A
练习：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E
线段B1E
D1 B1 C1
D A B
C
练习：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D1 B1
C1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
王新敞
奎屯 新疆
（A ）0 个 （B ）1 个 （C ）2 个 （D ）3 个
巩固练习: 2.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交； ④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ D ） （A ）2 个 （B ）3 个 （C ）4 个 （D ）5 个 3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距 离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定 是（C ） （A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB a
a a
l
a
P
b
线线垂直
线面垂直
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a b
α
符号语言：
a a，b a a // b
例3、 如图,PA垂直圆O所在平面,AB是圆
O的直径,C是圆周上一点,那么,图中有几 个直角三角形? P 分析:问题的焦点 是△PBC是不是直角 三角形?
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（A） 0 （ C） 2
（ B） （ D）
1 3
例题示范: 分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正 确。 问题（1）不正确，相交时也符合。 问题（2）不正确， 如右图中，A'B与 平面DCC'D’平行， 但它与CD不平行。 问题（3）不正确。 另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平 面DCC'D’平行，但直线CD平面DCC'D’ 问题（4）正确，所以选（B）。
直线与平面平行判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行．（线线平行 线面平行）
a
a
b
a a b a a // a a // b
注意：证明直线与平面平行，三个条件必须具备，
才能得到线面平行的结论．
直线与直线平行关系 直线与平面的平行关系 平面问题
空间问题
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行.
符号语言：
β α
a
b
线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么该直线与此平面垂直．
用符号语言表示：
b a a I b = P l a la a l b