江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题6 函数的奇偶性与周期性学案 理 苏科版

学案6 函数的奇偶性与周期性
【导学引领】
（一）考点梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
如果对于任意的x∈A都有，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
2．函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原
点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．
(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．
(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个区间)．
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做f(x)的最小正周期．
【自学检测】
1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．
2．已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)＜2，f(2)＝m，则m的取值范围为________．
3．设f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，在(0,1)上递增，若f(a－2)－f(4－a2)＜0，则a
的取值范围为________．
4．已知f (x )＝ax 2
＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的x 的取值范围是________．
【合作释疑】
函数奇偶性及其应用
【训练1】 设函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x
a －a e －x (x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．
【训练2】已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x
＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________.
【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (a 2－2)＋f (a )<0，则实数a 的取值范围是________．
【训练4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0，为奇函数，则a ＋b ＝________.
函数奇偶性与单调性的交汇问题
【训练1】 (1)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2，0]内递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________；
【训练2】设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，当0≤θ≤π2
时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．
【训练3】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，
已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；
②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；
③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；
④当x ∈[3,4]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．
函数性质的综合应用
【训练1】 定义在R 上的单调函数y ＝f (x )满足f (2)＝3，且对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．
(1)试求f (0)的值并证明函数y ＝f (x )为奇函数；
(2)若f (m ·3x )＋f (3x －9x
)<3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．
【训练2】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2
.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．
【当堂达标
1．若函数f (x )＝x 2
－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.
2．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝________. 4．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 5．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论：①D (x )的值域为{0,1}；②D (x )是偶函
数；③D (x )不是周期函数；④D (x )不是单调函数．其中正确的序号是________．
【课后作业】
1．若函数f (x )＝22x ＋1
＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 2．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________
3．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝
________.
4．设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1
，则a 的取值范围是________．
5．已知函数f (x )是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f (－1)＝－1，则满足f (x )≤t
2＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________．
6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式
f x －f －x x ＜0的解集为________．
7．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )．
(1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；
(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．
8.已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，a ∈R )．
(1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范。