高中数学必修5不等式的综合复习详解

高中数学不等式的综合复习
【本讲教育信息】 一. 教学内容：
不等式的综合应用
二. 教学目的：比较熟练的应用不等式解决有关的综合问题 三. 教学重点：
不等式及函数，方程，数列，导数等知识的联系。

教学难点：
不等式及几何知识的综合。

四. 知识概要：
1、不等式的功能：不等式的知识已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。

2、建立不等式的途径：运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其途径有：利用几何意义、利用判别式、应用变量的有界性、应用函数的有界性、应用均值不等式。

3、实际应用：应用题中有一类是最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出最值。

【典型例题】
（一）基础训练题 例1. （1）（全国2文4）下列四个数中最大的是（ ） A.
2(ln 2) B. ln(ln 2) C. D. ln 2
解：∵ 0ln 21<<，∴ ln （ln2）<0，（ln2）2
< ln2，而ln 2=2
1ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。

（2）（安徽文
8）设a ＞1,且
2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为
（ ）
A. n ＞m ＞p
B. m ＞p ＞n
C. m ＞n ＞p
D. p ＞m ＞n
解析：设a ＞1,∴ 212a a +>，21a a >-，
2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,∴ p n m ,,的大小关系为m ＞p ＞n ，选B 。

（3）（北京理7）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么
A. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一
B. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一
C. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一
D. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数
a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即
4ab ≤，当且仅当
a =
b =2时，“=”成立；又4=2
()2
c d cd +≤，∴ c+d
≥4，当且仅当c =d =2
时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成
立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。

（4）（安徽理3）若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. a ＜-1
B. a ≤1
C. a ＜1
D. a ≥1
解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x<0时，－x ≥ax ，∴a ≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。

（5）（山东文14）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10(0)mx ny mn +-=>上，则
11
m n
+的最小值为 . 答案：4
分析：函数1(01)x y a a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ，
（方法一）：
2m n +≥≥， 11224m n +≥≥⋅=.
（方法二）：1111()()22 4.n m m n m
n
m
n
m
n
+=+⋅+=++≥+ （6）（山东文15）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
答案：5m ≤-
分析：构造函数：2()4,f x x mx =++[12]x ∈，。

由于当(12)x ∈，时，
不等式240x mx ++<恒成立。

则(1)0,(2)0f f ≤≤，即140,4240m m ++≤ ++≤。

解得：5m ≤-。

（7）（2019年重庆卷）若a , b , c ＞0且a （a + b + c ）+b c =4-23,则2a +b +c 的最小值为 （ ）
A. 3-1
B. 3+1
C. 23+2
D.
答案: D
（二）求最值： 例2. （重庆理7）若a 是1+2b 及1-2b 的等比中项，则|b |2|a |ab 2+的最大值为（ ） A.15
5
2
B.4
2 C.5
5 D.
2
2 答案：B
分析：a 是1+2b 及1-2b 的等比中项，则
222214414||.a b a b ab =-⇒+=≥
（三）解不等式：
例3. 设函数=)(x f 112--+x x ，求使22
)(≥x f 的x 的取值范围.
（1）∵3
11
11
2
2
2
2
x x x x +--+--≥⇒≥,∴3112
x x +--≥
不等式等价化为①当1x <-时331122
2
x x x φ--+-≥⇒-≥⇒∈ ②当11x -≤≤时,33112
4
x x x ++-≥⇒≥
③当1x ＞时,()⇒≥--+2
31x 1x 恒成立
原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≥43x |x
（四）不等式及命题的综合 例4. （北京文15）（本小题共12分）
记关于x 的不等式
01
x a
x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .
（I ）若3a =，求P ；
（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围.
解：（I ）由
3
01
x x -<+，得{}13P x x =-<<. （II ）{}
{}1102Q x x x x =-=≤≤≤.
由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，
即a 的取值范围是(2)+∞，. （五）不等式及函数的综合
例 5. 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,若对于任意
[],1,1x y ∈-,都有()()()f x y f x f y +=+且x ＞0时,有()f x ＞0
（1）用单调性的定义证明()f x 在[]1,1-上为单调递增函数； （2）解不等式1()2
f x +＜1()1
f x -；
（3）设(1)1f =,若()f x ＜221m am -+ ,对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.
解：（1）证明略
（2）312x x ⎧⎫
-
≤<-⎨⎬⎩
⎭
（3）(,2)(2,)m ∈-∞-+∞∪
（六）含参数不等式中的参数的取值范围问题
例6. 已知关于x 的方程220x ax --=的两根为12,x x ，问：是否存在实数m ，使得不等式2121m lm x x ++≥-对任意实数[1,1]a ∈-及[1,1]l ∈-恒成立？若存在，求m 的范围，若不存在，说明理由
答案：存在。

2 2.m ≥≤-或
（七）不等式在函数应用题中的应用
例7. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）及汽车的平均速度v （千米/小时）之间的关系为2920(0)31600
v
y v v v =
>++。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1）
（2）若要求在该时段内车流超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围？
解：（1）依题意，,83
920
1600
23920)1600(3920=+≤++=
v
v y
当v =40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.
（2）
292010256431600
v
v v v >⇒<<++
（八）不等式及数列、几何的综合
例8. 数列{a n }的前n 项和S n =na +（n─1）nb ,（n =1,2,…）,a ,b 是常数，且b ≠0,
①求证{a n }是等差数列；
②求证以（a n ,S n n
）为坐标的点P n 都落在同一直线上，并求出
直线方程；
③设a =1,b =12
,C 是以（r ,r ）为圆心，r 为半径的圆（r >0）,
求使得点P 1,P 2,P 3都落在圆外的r 的取值范围
证明：①根据⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)
1(,11n S S n a a S n n
n n 得
a n =a+（n─1） 2b,
∴{a n }是等差数列，首项为a,公比为2b ②由x=a n =a+（n─1）
2b, y=
S n n
=a+（n─1）b
两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一种办法） （3）P 1（1,0）,P 2（2,32
）,P 3（3,2）,它们都落在圆外的条件是：
∴ r 的取值范围是523022r r >+<或＜（九）不等式及导数，向量，数列的综合题
例9. 设平面上的动向量2(,),(1,)a s t b t k →
→
==--,其中,s t 为不同时为0的两个实数,实数0k ≥,满足a b →
→
⊥
（1）求函数关系式()s f t =
；
（2）若函数()f t 在(1,)+∞上单调递增,求k 的范围； （3）对上述
()
f t ,当0k =时,存在正项数列{}n a 满足2
12()()()n n f a f a f a S ++⋅⋅⋅+=,其中
12n n
S a a a =++⋅⋅⋅+,证明:
222
1212n n a a a ++⋅⋅⋅+＜3
解：（1）3(),(,0)s f t t kt t R k =
=-∈≥
（2） '2()3f t t k =-∵，∴'()0f t =时3
k
t =
()f t 的递增区间为(,)3
k
-∞-
和(,)3
k
+∞ 又()f t 在(1,)+∞递增1033
k
k ≤⇒≤≤ （3）0k =∵时212()()()n n S f a f a f a =
++⋅⋅⋅+
又1n n n S S a --=，∴311()()n n n n n S S S S a ---⋅+=
又2121n n n S S a ---+=，两式相减得111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+⋅- 又0n a ≥，∴11n n a a --=(3)n ≥
又211a a -=，∴{}n a 等差且公差为1,首项为1，∴n a n = 又
2
2
122n n n a n nn nn
=== 【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题 1、（上海理13）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 （ ）
A. 22a b <
B.
22
11
ab a b
< C. 22ab a b < D. b
a a b
<
2. （2019年江西卷）若不等式x 2
＋ax ＋1
0对于一切x （0，
1
2
）成立，则a 的取值范围是（ ）
A. a ≤0
B. a ≤–2
C. a ≥-3
D. 5
2
a ≥-
3. （2019年上海春卷）若b a c b a >∈,R 、、，
则下列不等式成立的是（ ） A. b
a
11<. B. 22b a >. C.
1
12
2+>+c b
c a . D. ||||c b c a >.
4. （2019年江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．
的是（ ）
A. ||||||c b c a b a -+-≤-
B. a
a a a 112
2+
≥+ C. 21
||≥-+
-b
a b a D.
a a a a -+≤+-+213
5. （山东文7）命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）
A. 不存在3210x R x x ∈-+，≤
B. 存在3210x R x x ∈-+，≤
C. 存在3210x R x x ∈-+>，
D. 对任意的
3210x R x x ∈-+>，
6. （2019年安徽卷）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题
2
22:22a b a b
q ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则p 是q 成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充
分也不必要条件
7. （）已知不等式1()(
)9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 2 二、填空题
8. 设函数()|21|3,f x x x =-++则(2)f -=_____；若()5f x ≤，则x 的取值范围是________； 9. （山东理16）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则
12
m n
+的最小值为
____________。

10. （上海理5）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为______________。

11. 设0,1a a >≠，函数2
lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式()2log 570a x x -+>的解集为 。

12. （重庆理13）若函数f （x ）的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.
13. 已知数列{}n a 中, 1140,n n a a a na b +=-=+,其中,a b 为常数,且
,,n N a N b **∈∈为负整数.
（1）用,a b 表示n a ；
（2）若7a ＞0,8a ＜0,求通项n a
14. （2019年湖北卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标
原点，其导函数为()26-='x x f .数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
3+=n n n
a a
b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20
m T n
<
对所有*N n ∈都成立的最小正整数m .
试题答案
1. B
2. D
3. C
4. C
5. C
6. B
7. A
8. 6 1 1.x -≤≤
9. 8 10.
116
11. （2,3） 12. 10a -≤≤
13. （1）∵1n n a a na b +-=+ ∴2132431,23,,(1)n n a a a b a a a b
a a a
b a a n a b
--=+-=+-=+⋅⋅⋅-=-+
将 n-1个等式相加
得1(1)[123(1)](1)(1),2
n n n a
a a a n n
b n b --=+++⋅⋅⋅+-+-=
+- （2） ∵780,0a a ><，∴0a 21b 640>++且0a 28b 740<++ ∴40216
a
b -->
且40287a b --<
14. （1）23265n n S n n a n =-⇒=- （2）m ＝10。