(2021年整理)勾股定理拓展提高题

(完整版)勾股定理拓展提高题
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（完整版）勾股定理拓展提高题
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B A
6cm
3cm
1cm
C
B
A
勾股定理拓展提高题
1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．
①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．
2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数
_________
图1 图2 图3
3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积
4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2
-10的立方根为
5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为
图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2
b a +的值为（ ）
（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169
• •
A
B
A
D
E
B
C
7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形
8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，
则E 站应建在离A 站多少km 处？
9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，
且3
2
=
EFGH S 正方形。

求：a b -的值。

10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜
边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。

（1)说明：222EF CF BE =+
(2)若BE=12，CF=5，试求DEF ∆的面积。

勾股定律逆定理应用
考点一 证明三角形是直角三角形
例1、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2
=AD·BD。

H
G
F
C
B
求证：△ABC 是直角三角形。

针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2
+b 2
+c 2
+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.
2（如图） 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点,E 为BC 上一点，且EC=41
BC,
求证：ÐEFA=90°。

3、如图，已知:在ΔABC 中，ÐC=90°，M 是BC 的中点，MD^AB 于D ，求证:AD 2
=AC 2
+BD 2。

4、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm ，CD=4cm 。

⑴若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点，若4
15
AQ =时, QP' 与C P '垂直吗?为什么？
A
B D
C
F
E A
B
C
M
D
D
A
考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰△ABC 中,底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，
求△ABC 的周长。

针对训练：1、。

已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积.
3。

已知:如图，DE=m,BC=n ，ÐEBC 与ÐDCB 互余，求BD 2+CD 2。

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例1.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，试判断△ABC
B
E
C
D
的形状.
解：∵a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，（A)∴c 2
（a 2
－b 2
）=（a 2
+b 2
)(a 2
－b 2
)，（B)∴c 2
=a 2
+b 2
，(C ）∴△ABC 是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________;③本题的正确结论是__________.
例2。

学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”。

让我们来做一个实验！ （1)画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是=a
______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较222_____c b a + (填写“＞"，“＜”，或“＝”）；
（2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较222_____c b a + (填写“＞"，“＜”,或“＝”）；
（3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是： ； 。

⑷对你猜想22a b +与2c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

(1)
B
A
(2)
C
B A
(3)
C
B
A
例3。

如图,南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海。

上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意。

反走私艇A 通知反走私艇B:A 和C 两艇的距离是13海里,A 、B 两艇的距离是5海里.反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
针对训练:1观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102;152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．
2、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝,宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF
的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合)并在AD上平行移动：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不
能,请说明理由。

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一
直角边PF与DC的延
长线交于点Q，与BC交于点E,能否使CE=2㎝?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道，如图所示，山的高度AC为800 m，从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m，一游客从山下索道口坐缆车到山顶,
知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.
延伸训练:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点,且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力，如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由。

（2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。