几何-空间几何-正四面体专题
几何体的正四面体
几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。
一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。
它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。
在正四面体中，任意两条边的长度和相等。
这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。
二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。
它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。
这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。
2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。
这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。
而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。
3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。
其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。
4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。
这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。
三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。
2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。
例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。
3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。
通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。
总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。
它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
专题10第一章空间几何体知识点与综合提升题—(解析版)高一数学复习巩固练习(人教A版)
A．6B．32C．12D．62
【答案】C
【分析】
结合斜二测法的画法原理求出 ， ，再结合面积公式求解即可.
【详解】
由斜二测画法特点得 ，
为直角三角形，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题.
3．如图所示的几何体是（）
A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系 （尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系 ，使 =450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【答案】(1) f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2) SR= = (0≤x≤4)，(3) f(4)=32.
【解析】试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝ ×360°＝ ×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
故选：A
【点睛】
已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，即可将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球是解题的关键.
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点在空间几何学中，平行四面体和正四面体是两种常见的多面体。
它们具有不同的特点和性质，下面将详细介绍这两种多面体的知识点。
一、平行四面体平行四面体是指四个面中的任意两个面平行的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 对角线平行性质：平行四面体的任意两条对角线都是平行的。
这是因为平行四面体的两个相对面平行，因此连接相对顶点的对角线也是平行的。
2. 面积比例性质：平行四面体的相邻两个面之间的面积比等于相邻两个对角面的面积比。
具体而言，如果平行四面体的两个相邻面的面积分别为S1和S2，而另外两个对角面的面积分别为S3和S4，则有S1/S2 = S3/S4。
3. 体积计算公式：平行四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中V表示体积，S表示底面积，h表示底面到顶点的距离。
4. 平行四面体的类型：根据底面形状的不同，平行四面体可以分为正方形底面四面体、长方形底面四面体和菱形底面四面体等多种类型。
二、正四面体正四面体是指四个等边等角的三角形构成的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长和面积：正四面体的边长相等，每个面都是等边三角形。
正四面体的面积可以通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a2) / 4，其中S表示面积，a表示边长。
2. 高度和体积：正四面体的高度可以通过以下公式计算：h = (sqrt(6) * a) / 3，其中h表示高度，a表示边长。
正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (sqrt(2) * a3) / 12，其中V表示体积，a表示边长。
3. 正四面体的特殊点：正四面体有四个特殊的点，分别为顶点、底心、重心和垂心。
顶点是四个面的交点，底心是底面三角形三个高线的交点，重心是四个面重心连线的交点，垂心是底面三角形三条垂线的交点。
4. 对称性：正四面体具有四个三角对称面和六个对称轴。
四个三角对称面将正四面体分为等价的四个部分，而六个对称轴则是通过连接各个面的中点和顶点形成的。
空间几何的性质四面体的性质及其应用
空间几何的性质四面体的性质及其应用四面体是空间中常见的立体图形，它具有一些独特的性质和应用。
本文将介绍四面体的性质及其应用。
一、四面体的定义和性质四面体是由四个三角形面组成的立体图形。
它具有以下性质：1. 定义：四面体是由四个不在同一平面上的点及连接这些点的边组成的立体。
2. 面积和体积：四面体的表面积和体积可以通过一定的公式计算得出。
其中，表面积等于四个三角形面积之和，体积等于底面积乘以高的一半。
3. 棱和顶点：四面体有六条棱和四个顶点。
任意两个顶点之间可以连接一条棱。
4. 高、中线和外接球：四面体的高是从一个顶点到相对的底面的垂直距离。
每个面的中线是连接该面上的两个中点的线段。
四面体还可以围绕外接球，外接球的球心与四面体的顶点都在同一平面上。
二、四面体的分类根据四面体的性质，我们可以将其分为以下几类：1. 正四面体：如果四面体的四个面都是等边三角形，那么它就是正四面体。
正四面体具有对称性，在空间几何学中起到重要作用。
2. 正交四面体：如果四面体的三个互相垂直的棱对同时相等，那么它就是正交四面体。
正交四面体具有一些特殊的性质，常用于计算几何和物理学中。
3. 锐角四面体和钝角四面体：根据四个顶点形成的凸四面体的内角是锐角还是钝角，可以将四面体分为两类。
在实际应用中，这些分类有助于确定四面体的稳定性和结构特征。
三、四面体的应用四面体不仅具有美学价值，还在许多领域有实际应用：1. 建筑与工程学：在建筑设计和工程施工中，四面体的结构特性可以用于设计和计算支撑结构的强度和稳定性。
2. 化学与结晶学：在化学和结晶学研究中，四面体被广泛用于分子和晶体的描述和分析。
3. 三维造型与动画：计算机图形学中，四面体被用于表示和生成三维模型和动画效果。
4. 数学与几何学：四面体是数学和几何学中研究的重要对象之一，对于解决空间几何问题和推导数学定理有重要意义。
总结：四面体是空间几何中重要的立体图形，具有独特的性质和应用。
立体几何基础立方体与正四面体的性质与计算
立体几何基础立方体与正四面体的性质与计算立体几何基础：立方体与正四面体的性质与计算立方体是一种具有六个相等的正方形面的立体几何体，它有一些特殊的性质和计算方法。
与之相似的还有正四面体，它有四个相等的等边三角形面。
在本文中，我们将探讨立方体和正四面体的性质，并介绍一些与它们相关的计算方法。
一、立方体的性质与计算方法立方体具有以下性质：1. 六个面积相等的正方形面：立方体的所有面都是正方形，且这六个面的面积都相等。
2. 八个顶点、十二条棱和六个面：立方体由八个顶点、十二条棱和六个面组成。
3. 所有的内角都为直角：立方体的六个顶点都是直角，即内角为90度。
4. 对角线相等：立方体的对角线相等，可以通过勾股定理进行计算。
计算方法：1. 立方体的体积计算：立方体的体积公式为V = a^3，其中a为立方体的边长。
通过将边长三次方即可得到立方体的体积。
2. 立方体的表面积计算：立方体的表面积公式为S = 6a^2，其中a 为立方体的边长。
通过将边长平方乘以6即可得到立方体的表面积。
二、正四面体的性质与计算方法正四面体具有以下性质：1. 四个边相等的等边三角形面：正四面体的四个面都是等边三角形面，且这四个面的边长都相等。
2. 四个顶点、六条棱和四个面：正四面体由四个顶点、六条棱和四个面组成。
3. 所有的内角都小于180度：正四面体的所有内角都小于180度，但不是直角。
4. 对角线相等：正四面体的对角线相等，可以通过勾股定理进行计算。
计算方法：1. 正四面体的体积计算：正四面体的体积公式为V = (a^3) / (6√2)，其中a为正四面体的边长。
通过将边长的立方除以6乘以根号2即可得到正四面体的体积。
2. 正四面体的表面积计算：正四面体的表面积公式为S = √3a^2，其中a为正四面体的边长。
通过将边长的平方乘以根号3即可得到正四面体的表面积。
结论：立方体和正四面体作为常见的立体几何体，具有各自独特的性质和计算方法。
空间几何中的四面体与四面体的性质
空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。
本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。
一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。
这四个面彼此相邻，共享边。
通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。
构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。
2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。
这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。
无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。
二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。
其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。
四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。
设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。
2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。
这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。
3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。
同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。
4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。
对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。
中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。
5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。
四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。
正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。
几何-空间几何-正四面体专题
几何-空间几何-正四面体专题几何-空间几何-正四面体专题一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为_________．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为_________．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为_________．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为_________．12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为_________．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．15．正四面体的棱长为a，它的体积为_________．16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF 截球O所得截面的面积是_________．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=_________．20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值_________．几何-空间几何-正四面体专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。
正方体和正四面体
第 1 页 共 4 页高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。
本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。
第一节 正方体与正四面体在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。
正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。
那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧：【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示）【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－……它们的键角都是109º28’，那么这个值是否能计算出来呢？如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交BG 于O ，那么∠AOB 就是所求的键角。
我们只要找出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。
当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度的。
先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题：【例题2】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图1-3所示为一个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为 ①【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。
空间立体几何知识点
空间立体几何知识点1. 空间几何基础- 点、线、面在空间中的关系- 空间直角坐标系- 向量的概念与运算- 向量的加法、数乘、向量积（叉乘）、点积（内积） - 向量的模、方向余弦、单位向量- 向量方程及其应用2. 平面与直线- 平面的方程- 点法式方程- 一般式方程- 截距式方程- 直线的方程- 点向式方程- 两点式方程- 一般式方程- 投影与斜线- 平面与直线的关系- 平面内直线的方程- 平面与直线的交点- 平面与直线的夹角- 直线与直线的关系- 异面直线- 相交直线- 平行直线3. 多面体- 多面体的定义与分类- 棱柱、棱锥的结构与性质- 多面体的表面积与体积计算- 正多面体- 正四面体- 正六面体- 正十二面体、正二十面体4. 旋转体- 旋转体的定义与分类- 圆柱、圆锥、圆台的结构与性质 - 球的结构与性质- 旋转体的表面积与体积计算5. 空间曲线- 空间曲线的方程- 空间曲线的参数方程- 空间曲线的切线与法线- 螺旋线的性质与方程6. 坐标系变换与二次曲面- 坐标变换- 旋转变换- 平移变换- 二次曲面的一般方程- 常见二次曲面- 椭球面- 抛物面- 双曲面- 椭圆锥面7. 空间几何的度量- 空间中的距离公式- 点到直线、点到平面的距离- 直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的距离- 空间角的计算- 两条直线间的夹角- 直线与平面的夹角- 两个平面间的夹角8. 空间几何的应用- 空间几何在建筑学中的应用- 空间几何在工程学中的应用- 空间几何在物理学中的应用- 空间几何在计算机图形学中的应用以上是空间立体几何的主要知识点概述。
在实际应用中，这些知识点需要通过具体的数学公式和图形来深入理解和掌握。
教学时，通常会结合图形演示、实际测量和计算练习来加深学生对空间立体几何概念的理解。
在解决具体问题时，还需要运用逻辑推理和空间想象能力，以及熟练掌握相关的数学工具和计算方法。
正四面体的高考考法原创力
正四面体的高考考法原创力
正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭几何体，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。
正四面体是最简单的正多面体。
正四面体是五种正多面体中的一种，正四面体不同于其它四种正多面体，它没有对称中心。
正四面体有六个对称面，其中每一个都通过其一条棱和与这条棱相对的棱的中点。
正四面体很容易由正方体得到，只要从正方体一个顶点A引三个面的对角线AB，AC，AD，并两点两点连结之即可。
正四面体和一般四面体一样，根据保利克-施瓦兹定理能够用空间四边形及其对角线表示。
正四面体的对偶是其自身。
正四面体的高考考法考点有以下这些
1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然。
2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。
3.正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。
4.正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的
倍，反之亦真。
5.正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点。
6.正四面体的全面积是棱长平方的倍，体积是棱长立方的倍。
7.正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
8.正四面体的内切球与各侧面的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
9.正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
10.正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
高一数学正四面体知识点
高一数学正四面体知识点正四面体是一种特殊的多面体，具有一些独特的性质和特点。
在高一数学中，正四面体是一个重要的几何概念，学习正四面体的知识点对于理解空间几何关系和解决相关问题至关重要。
本文将为大家介绍高一数学中与正四面体相关的知识点。
一、正四面体的定义和性质正四面体是由等边三角形组成的四面体。
其定义需要满足以下条件：1. 四个面均为等边三角形；2. 任意两个面的交线是一个点，称为顶点；3. 任意两个顶点之间的线段相等。
正四面体具有以下性质：1. 所有边长相等，所有的面都是等边三角形；2. 任意两个面之间的夹角为60度；3. 所有的侧面都与底面平行；4. 顶点到底面的距离是底边的一半。
二、正四面体的体积和表面积计算1. 体积计算：正四面体的体积计算公式为V = (√2/12) * a³，其中a为边长。
证明过程：设A为底面中心点，连接A与顶点B，由于正四面体对称性，三角形ABC是等边三角形。
连接O为AB上的中线，连接C为底面上的点到顶点B的垂线，由勾股定理，AB²=BO²+AO²，得到AB²= (1/4)a²+a²，即AB=√2/2 * a。
由底面AB与顶点C的连线构成一个立体角∠ABC，因此这个角是等角，其大小为60°，同时，BC与底面上任意一条边都是垂直的，也即与该底面平行，所以这个三面角是一个锐角。
我们先求出这个三角形底边的长度，设为h，可知tan60°=h/AB,即h=AB*√3=√2/2 * a * √3=a√6/2，所以a*h= (1/4)*a²√6。
故正四面体的体积为V= (1/3)*底面面积*高= (1/3)* (1/4)*a²√3 * a√6/2 = (1/12)*a³√2。
2. 表面积计算：正四面体的表面积计算公式为S = √3 * a²，其中a为边长。
几何-空间几何-正四面体专题教程
点评： 本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．
二．填空题（共 14 小题） 7．已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O，经过该棱锥 A﹣BCD 三侧棱中点的截面为α，则 O 到平面α的距离 为
．
考点： 点、线、面间的距离计算。 1455213
专题： 计算题。 分析：
，
BO2﹣OE2=BE2，
所以 OE= 球的表面积为：4π•OE2= 故答案为：
点评： 本题考查正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是
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为（ ）
A．4π
B．2π
C．
D．
3．已知球 O 在一个棱长为 的正四面体内，如果球 O 是该正四面体的最大球，那么球 O 的表面积等于（ ）
A．
B．
C．2π
D．
4．半径为 1 的球面上的四点 A，B，C，D 是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．正四棱锥 P﹣ABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两个正四面体的棱长也都等于 a．当这两个正四面体各有
又∵球的半径 R=1 ∴正四面体棱长 l 与外接球半径 R 的关系
l=
得 l=
故选 D 点评：
注意牢记：边长为 1 的正三角形，高为 ，内切圆的半径为 ，外接圆半径为 ；棱长为 1 的正四面体，
侧高为 ，侧面内切圆的半径为 ，侧面外接圆半径为 ；高为 ，内切球半径为 ，外接球半径为
5．正四棱锥 P﹣ABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两个正四面体的棱长也都等于 a．当这两个正四面体各有
什么是正四面体？
什么是正四面体？正四面体，又被称为四面体，是一种特殊的多面体。
它由四个等边三角形组成，四个顶点的三条边都相交于同一点。
正四面体在数学和几何领域具有重要的地位，它是一种简单而又有趣的几何形体。
下面将从不同的角度，向您介绍什么是正四面体。
一、数学定义及性质1.1 等边三角形的构成正四面体的每个面都是等边三角形，这意味着每个三角形的三条边相等。
等边三角形具有很多特殊的性质，如内角为60度，边长相等等。
正四面体中，这四个等边三角形共同构成了这个立体。
1.2 顶点及边的关系正四面体的四个顶点都与其他三个顶点相连，形成了正四面体的四条边。
任意两个顶点的连线即为正四面体的一条边。
由于每个顶点都与其他三个顶点相连，所以正四面体共有6条边。
这些边的相互关系使得正四面体具有固定的形状和结构。
二、正四面体的特征与应用2.1 基本特征正四面体是一种简单而又对称的几何形体。
它具有以下几个基本特征：（1）所有的面都是等边三角形，每个面的三个内角都为60度；（2）四个顶点和边的关系符合特定的几何规律，具有一定的对称性；（3）正四面体是四面体中最简单的一种，较易于理解和分析。
2.2 造型设计正四面体的对称结构使得它在造型设计领域具有广泛的应用。
许多建筑和雕塑作品中都采用了正四面体作为设计元素，它不仅能够增加艺术品的美感，还能够展示出一种简洁而又有力的结构空间感。
2.3 数学探索正四面体在数学领域有着广泛的应用。
它与立体几何、计算几何和线性代数等学科有着密切的关系。
例如，在三维坐标系中，正四面体的顶点坐标可以由特定的向量表示，这种表示方式能够简化数学计算，并且可以应用于各种数学问题的求解。
三、正四面体的变形与扩展3.1 正四面体的变形正四面体可以进行各种形态的变形。
例如，通过改变等边三角形的边长和角度，可以得到不同大小和形状的正四面体。
这种变形可以改变正四面体的外观，但无论如何变形，正四面体的基本结构和特征仍然保持不变。
3.2 正四面体的扩展正四面体还可以通过延长或缩短其边的长度，使得正四面体的形状发生改变。
空间几何中的平行四边形与四面体
空间几何中的平行四边形与四面体在空间几何中，平行四边形和四面体是常见的几何形体，它们具有独特的性质和特点。
本文将从定义、性质、公式推导以及应用等方面，探讨空间几何中的平行四边形与四面体。
一、平行四边形平行四边形是由四条平行的线段所组成的四边形。
它具有以下的性质：1. 对角线分割：平行四边形的对角线互相平分。
2. 对边平行：平行四边形的对边互相平行。
3. 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。
4. 相邻角补角：相邻角的补角之和为180°。
5. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度关系为对角线互相等分。
根据上述性质，我们可以推导出平行四边形的面积和周长的计算公式。
设平行四边形的一条边长为a，另一条边长为b，两条对角线的长度分别为d1和d2，则平行四边形的面积S可计算为S = a * d2 或 S = b * d1，周长P可计算为P = 2 * (a + b)。
平行四边形在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑工程中，平行四边形的性质常常被用于确定平行线和平行面的关系，以确保建筑的结构稳定和坚固。
同时，平行四边形也是数学教学中的一个重要概念，通过学习平行四边形的性质，可以培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、四面体四面体是由四个三角形面构成的多面体，它具有以下的性质：1. 顶点数与边数的关系：四面体的顶点数为4，边数为6。
2. 边长关系：四面体的任意两条边之间都有共享的顶点。
3. 面积与体积计算：四面体的面积和体积的计算公式较为复杂，可以利用海伦公式和三棱锥的体积公式进行推导和计算。
根据四面体的性质，我们可以进一步研究三种特殊的四面体：正四面体、直角四面体和正规四面体。
正四面体的四个面都是等边三角形，直角四面体有一个直角，正规四面体的所有面都相等。
在实际应用中，四面体可以用于测量物体的体积和表面积。
例如，通过测量一个房间的长、宽和高，可以计算出房间的体积，从而指导家具的摆放和空间的利用。
总结起来，在空间几何中，平行四边形和四面体是重要的几何形体，它们具有独特的性质和特点。
正四面体的性质及应用
正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是 ② ．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是 ①③ ．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为 BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为 ②③④ ．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。
正四面体空间余弦定理
正四面体空间余弦定理
首先，让我们来回顾一下余弦定理。
在三角形中，余弦定理表
示为，c^2 = a^2 + b^2 2abcos(C)，其中a、b、c分别表示三角形
的边长，C表示夹角。
这个定理可以帮助我们计算三角形中各个边
长之间的关系。
现在，我们将余弦定理推广到正四面体中。
假设我们有一个正
四面体，其边长分别为a、b、c、d，我们可以使用余弦定理来描述
这个正四面体中各个边长之间的关系。
正四面体空间余弦定理表示为，d^2 = a^2 + b^2 + c^2 2abcos(α) 2accos(β) 2bccos(γ)，其中α、β、γ分别表示三个不同的夹角。
这个定理告诉我们，在正四面体中，任意一个边长的平方等于
其余三个边长的平方和减去这三个边长两两之间夹角的余弦乘积。
这个定理的应用非常广泛，可以帮助我们计算正四面体中各个边长
之间的关系，从而更好地理解和分析正四面体的结构和性质。
正四面体空间余弦定理的意义在于帮助我们深入理解正四面体
的空间结构，并且为我们解决实际问题提供了有力的工具。
通过这
个定理，我们可以更好地理解正四面体的性质，从而在工程、建筑、
几何学等领域中得到应用。
总之，正四面体空间余弦定理是一个非常重要的几何定理，它
为我们理解正四面体的空间结构提供了重要的数学工具。
通过深入
研究和应用这个定理，我们可以更好地理解和分析正四面体的性质，从而为实际问题的解决提供帮助。
新高考二轮专题之空间几何体外接球模型专题02 正四面体模型
专题02 正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为236224R a a =⋅=，即正四面体外接球半径为64R a =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A ．22 B ．32 C ．2 D ．3例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( )A ．64B ．34C ．1D ．332．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如图所示，在正四面体A BCD-中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A．6πB．6πC．3632πD．32π4．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为()A．43πB．12πC．8πD．46π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为() A．6πB．8πC．6πD．11π6．在棱长为2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为22，则两圆的公共弦长是()A．34B．34C．1D．127．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是()A．12πB．32πC．8πD．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是()A．24πB．18πC．12πD．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是()A．4πB．6πC．12πD．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD∆的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥M BCD-的外接球的表面积为()A．πB．32πC．64πD．68π11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为46，则这个四面体的棱长为．312．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为14，则该正四面体的外接球的体积是．。
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几何-空间几何-正四面体专题一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为_________．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为_________．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为_________．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为_________．12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为_________．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．15．正四面体的棱长为a，它的体积为_________．16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF 截球O所得截面的面积是_________．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=_________．20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值_________．几何-空间几何-正四面体专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．故选C．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．解答：解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为1∴正方体的棱长为∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为∴球O的表面积为故选C点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2由此知顶点到底面的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==球O的表面积等于4×π×=2π故选C点评：本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球O是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．解答：解：∵正四面体是球的内接正四面体，又∵球的半径R=1∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系l=得l=故选D点评：注意牢记：边长为1的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为1的正四面体，侧高为，侧面内切圆的半径为，侧面外接圆半径为；高为，内切球半径为，外接球半径为5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体考点：棱锥的结构特征。
专题：探究型。
分析：由正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），可知得到的新多面体为五面体．解答：解：正四面体每相邻二个面所成的二面角为arccos，题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），所以得到的新多面体为五面体．故选A．点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答．6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定考点：球内接多面体。
专题：计算题；综合题。
分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．解答：解：连OA、OB、OC、OD，则V A﹣BEFD =V O﹣ABD+V O﹣ABE+V O﹣BEFD+V O﹣AFDV A﹣EFC =V O﹣AFC+V O﹣AEC+V O﹣EFC又V A﹣BEFD=V A﹣EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF公共，故S ABD+S ABE+S BEFD+S ADF=S ADC+S AEC+S EFC故选C点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为．考点：点、线、面间的距离计算。
专题：计算题。
分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O 到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．解答：解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：a；所以OE为内切球的半径，BF=AF=BE=，所以AE=，BO2﹣OE2=BE2，所以OE=球的表面积为：4π•OE2=故答案为：点评：本题考查正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为．考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面积．解答：解：正四面体的棱长为：a，底面三角形的高：a，棱锥的高为：=，设外接球半径为R，R2=（a﹣R）2+解得R=a，所以外接球的表面积为：4πa2=a2；故答案为a2．点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为（π﹣arcos）（或arcos （﹣））．考点：球面距离及相关计算；球内接多面体。