空间几何体专题复习

空间几何体专题

第1讲 空间几何体(文/理)

热点一 三视图与直观图

例1 (1)(·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π

(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

答案 (1)C (2)D

解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S

锥侧

＝1

2

×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧

＝4π×4＝

16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.

(2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到

的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()

(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()

答案(1)D(2)B

解析(1)由俯视图，易知答案为D.

(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．

热点二几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割

成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧． 例2 (1)(·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

A.16

B.13

C.1

2

D ．1 (2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点

E ，

F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，BD ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )

A ．66

B ．68

C ．70

D ．72

答案 (1)A (2)A

解析 (1)由三视图知，三棱锥如图所示：

由侧视图得高h ＝1， 又底面积S ＝12×1×1＝12.

所以体积V ＝13Sh ＝1

6.

(2)如图，连接DF ，DC 1，

那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×1

2

×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．

跟踪演练2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

答案45 2

解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF(置于长方体ABCD—MNFG中去观察)，且点E为DG的中点，可得AB＝BC＝GE＝DE＝3，连接AG，所以多面体ABCDEF

的体积为V多面体ABCDEF＝V三棱柱ADG—BCF－V三棱锥A—GEF＝1

2×(3＋3)×3×3－

1

3×(

1

2×3×3)×3＝

45

2.

热点三多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．

例3(1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB ＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为()

A．4π B．12π

C．16π D．64π

(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再

向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A.500π3 cm 3

B.866π3 cm 3

C.1 372π3 cm 3

D.2 048π3

cm 3

答案 (1)C (2)A 解析 (1)在△ABC 中，

BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3， ∴AC 2＝AB 2＋BC 2， 即AB ⊥BC ， 又SA ⊥平面ABC ，

∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝3，SA ＝23为长、宽、高的长方体， ∴球O 的直径＝12＋(3)2＋(23)2＝4， 故球O 的表面积为4π×22＝16π. (2)过球心与正方体中点的截面如图，

设球心为点O ，球半径为R cm ，正方体上底面中心为点A ，上底面一边的中点为点B ， 在Rt △OAB 中，OA ＝(R －2)cm ，