【好题】高一数学下期中第一次模拟试卷及答案(1)

【好题】高一数学下期中第一次模拟试卷及答案(1)
一、选择题
1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
26AD AB ==，则该球的体积为（ ）
A ．48π
B ．24π
C ．16π
D ．323π
3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-
D ．][()
,11,∞∞--⋃+
4．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（4）
C ．（1）（2）（4）
D ．（2）（4）
5．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤
C ． c a b ≤≤
D ．c b a ≤≤
6．已知圆截直线
所得线段的长度是
，则圆与
圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离 7．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10 C ．25
D ．210 8．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
①若，，则
； ②若，，则； ③若，
，
，则
④若
，
，
，则.
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
9．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段
上，直线与平面
所成的角为，则的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,
61
x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离
11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条
直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥
12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，
BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面
BDF
，则
1
AF
FA 的值为( )
A ．1
B ．
1
2
或2 C ．
2
2
或2 D ．
13
或3 二、填空题
13．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥
D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.
14．已知P 是抛物线2
4y x =上的动点，点Q 是圆2
2
:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点
R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．
15．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .
16．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．
17．已知圆2
2
:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B
两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.
18．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当
AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________
19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面
ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________
20．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥
A BEF -的体积是2，则四棱锥
B ECDF -的体积为_______________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三
点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10
B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆
C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．
22．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．
（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．
23．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；
（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．
24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；
（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．
25．如图，在ABC V 中AC BC ⊥且点O 为AB 的中点，矩形ABEF 所在的平面与平面
ABC 互相垂直.
（1）设EC 的中点为M ，求证：//OM 平面ACF ； （2）求证：AC ⊥平面CBE
26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．
（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和
Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】
设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：
由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=
ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥
OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：
22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()2
22
363x x R +-=+=
解得：3x =，3R =∴球的体积为：34
3233
V R ππ==
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.
3．D
解析：D 【解析】
分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，
∵PA 的斜率为
4031--- =﹣1，PB 的斜率为20
31
--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选：D ．
点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.
【详解】
如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；
如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，
综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.
【点睛】
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 5．D
解析：D
【解析】 【分析】
根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】
由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】 化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选B
7．A
解析：A 【解析】
22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为2
2
5521
d =
=+
22x y +5 A.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】
由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；
在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
设正方体的棱长为，则
，所以
，
.
又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.
【考点定位】
空间直线与平面所成的角.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】
根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θ
θ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为
22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为21
61x t y t =-⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即
320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==
<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】
1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以1BD CC ⊥，
又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，
1C F Q 平面11AAC C ，
所以1C F BD ⊥，
因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，
在四边形11AAC C 中，123
1AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，
由222
11C D DF C F =+得(
)()2
2
19143x
x ⎡⎤+=+++-⎣⎦
， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，
所以11
2AF FA =或者1
2AF
FA =， 故选：B.
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心
解析：
523
π
【解析】 【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：
设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=， 解得3d =
作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123
CO =
， 所以2
22
23133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以球O 的表面积为2
5243
R π
π=. 故答案为：523
π
【点睛】
本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的
解析：【解析】
根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()
22
31305CF =
--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.
15．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因
解析：1
2
【解析】
ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，
所以30BAD BCA ∠==o .
由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅
2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，
所以23AC =
设AD x =，则023t <<23DC x =.
在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
22222cos30x x =+-⋅o 2234x x =-+.
故2234BD x x =
-+
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.
由余弦定理可得2222222(234)3
cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===
⋅， 所以30BPD ∠=o .
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11
sin 22
PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 211
2342sin 3022
x x d x -+=⋅o ， 解得2
234
d x x =
-+.
而BCD ∆的面积111
sin (23)2sin 303)222
S CD BC BCD x x =
⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积
211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 2
1(23)6
234
x x x x -=-+
设22234(3)1t x x x =
-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.
则231x t -=
-
（1）当03x ≤≤
时，有2
331x x t ==-
故231x t =-
此时，221(31)[23(31)]
t t V -----=
21414
()66t t t t
-=⋅=-. 214
()(1)6V t t
=--'，因为12t ≤≤，
所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612
V t V ≤=-=. （2323x <≤2
331x x t =-=- 故231x t =-
此时，V =
21414
()66t t t t
-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141
()(1)(1)612
V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为
1
2
. 16．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系
解析：4 【解析】
试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为
5d =
=，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4
考点：直线和圆的位置关系
17．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的
解析：2
2
71416x y ⎛
⎫+-=
⎪⎝
⎭(2)y < 【解析】 【分析】
转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2
MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】
由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.
设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得
22
y x a
-=-， 由相似可得2
MQ PM BM ⋅=即
1=， 联立消去a 并由图可知2y <，可得
()2271
()2416
x y y +-=<.
故答案为：()2
2
71
()24
16
x y y +-=< 【点睛】
本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.
18．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论. 【详解】
将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上， 连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小， 正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，
在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，
AM MC ==
P ABCD -
中，AC =在ACM V 中，2
2
2
332
1
44cos 32324
AM CM AC AMC AM CM +-+-∠=
==-⋅⋅. 故答案为:1
3
-.
【点睛】
本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.
19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线
【解析】 【分析】
在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】
连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，
11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，
所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，
Q M 是1BB 的中点，111
,//2
BM DD
BM DD ∴=
， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，
正方体各棱长为1，2BN BD ∴==
，
,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，
2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠
2
321252
=+⨯⨯⨯
=，5AN ∴=. 故答案为:5.
【点睛】
本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.
20．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以
解析：【解析】 【分析】
以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】
设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD
上，且2AF FD =，所以
16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以5
6
ECDF S S =，
又A BEF V -=2，所以
⨯=11
236
Sh ，36Sh =，所以153610318
B ECDF ECDF V S h -=
=⋅=. 故答案为10. 【点睛】
本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）4340x y --=；（2）①4
，②2
. 【解析】 【分析】
（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的
1=，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答
案；
（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得224220()()339x y -++…，结合题意，线段AD 与圆224220()()339
x y -++=至多有一个公共
88||
t -t 的值，
②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】
解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，
所以圆C 方程为：()()2
2
3110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则
()
2
22
213101k k -+=+，
解得10k =，24
3
k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，4
3
k =
时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有12
x y
t +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM „，则有224220
()()339
x y -++…
依题意知，线段AD 与圆224220
()()339
x y -++=至多有一个公共点，
88
||t -
t „
或1611t +…，
因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =； ②由①的结论，圆C 的方程为2
2
(2)(1)5x y -+-=． 分2种情况讨论：
a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ；
b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，
则1l 的方程为1
(1)y x k
=--，
点1(0,)E k
，所以BE =
又圆心到2l
，
所以PQ =
故1122EPQ S BE PQ ===V g
又由
22
<， 故求三角形EPQ
的面积的最小值为2
． 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题． 22．（1）证明见解析；（2
）11
. 【解析】 【分析】
（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，得1
//,2
MN AB MN AB =，可证四边形CPMN 为平行四边形，进而有//MP CN ，即可证明结论；
（2）设2AB AE ==，由已知可得AE ⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于
Q ，得FQ ⊥平面ABCD ，过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，可证BD ⊥平面
FOQ ，得到FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，解Rt OFQ ∆即可.
【详解】
（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，又M 为AE 的中点，
1
//,2
MN AB MN AB ∴=
，在正方形ABCD 中，P 是CD 中点， //,CP MN CP MN ∴=，∴四边形CPMN 为平行四边形，
//MP CN ∴，MP ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ， //PM ∴平面BCE ；
（2）设2AB AE ==，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =， AE AB ∴⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，
平面ABCD I 平面ABEF AB =，AE ⊂平面ABEF ，
AE ∴⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于Q ， FQ ∴⊥平面ABCD ， FA FE =Q ，45AEF ∠=︒，
,45,2,45EF AF EAF AF FAQ ∴⊥∠=︒∴=∠=︒，
在Rt AFQ ∆中，1,3FQ AQ BQ ===， 过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，
FQ ⊥Q 平面,ABCD FQ BD ∴⊥，FQ OQ Q =I ，
BD ∴⊥平面,FOQ BD OF ⊥，
FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，
在Rt BOQ ∆中，32
3,45,2
BQ OBQ OQ =∠=︒∴=， 在Rt FOQ ∆中，22222
OF FQ OQ =
+=
， 22
sin 11
FQ FOQ OF ∴∠=
=
， ∴二面角F BD A --所成角的正弦值22.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求二面角，利用垂直关系做出二面角的平面角是解题的难点，要注意空间垂直间的相互转化，属于中档题.
23．（1）
；（2）. 【解析】
试题分析：
解题思路：（1）因为圆与直线x+y ﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直，再进行求解.
规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.
试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2． 圆的圆心坐标为C （1，﹣2），则过P 点的直径所在直线的斜率为﹣，
由于过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直，
∴过P 点的最短弦所在直线的斜率为2，
∴过P 点的最短弦所在直线的方程y+=2（x ﹣2），即4x ﹣2y ﹣13=0.
考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.
24．（1）750x y +-=（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34
(,)55
C -，(5,0)
D ，直线CD 的斜率4
0153755-
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=． （2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：
22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而
()()222
0,
{916340,54540.
F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．
试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分
又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55
C -， 3分
由4BD =，得(5,0)D ， 4分 所以直线CD 的斜率4
0153755-
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分 所以直线CD 的方程为1(5)7
y x =-
-，即750x y +-=． 6分 （2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分 则55AC OA OC m =-=-，
因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，
所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分
又设OCD ∆的外接圆的方程为22
+0x y Dx Ey F +++=， 则有()()222
0,
{916340,54540.
F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分
解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,
所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=， 令2243=0,{+2=0
x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分
考点：直线与圆方程
25．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN ，可知四边形ANMO 为平行四边形，从而可知//OM AN ，由线面平行的判定定理可证//OM 平面ACF .
（2）由BE AB ⊥以及平面ABEF ⊥平面ABC ，可得BE ⊥平面ABC ，从而可证BE AC ⊥，结合AC BC ⊥，即能证明AC ⊥平面CBE .
【详解】
证明：（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN .Q M 为CE 中点，//MN EF ∴且12MN EF =. 又在矩形ABEF 中，//AB EF 且AB EF =，//MN AB ∴且1
2MN AB =
. O Q 为AB 中点，//MN OA ∴且MN OA =.∴四边形ANMO 为平行四边形, ∴//OM AN ，且OM ⊄平面ACF ，AN ⊂平面ACF ，//OM Q 平面ACF . （2）由平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF I 平面ABC AB =，BE ⊂平面ABEF Q 矩形ABEF 中，BE AB ⊥，∴BE ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴BE AC ⊥ 又AC BC ⊥且BC BE B =I ，,BC BE ⊂平面CBE ，AC ∴⊥平面CBE .
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了面面垂直的性质.证明线线平行时，常结合三角形的中位线、平行四边形的对边、线面平行的性质.证明线线垂直时，常结合勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直、线面垂直、面面垂直的性质.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；
（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .
【详解】
（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，
又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，
因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；
（2）连接,OE OA ，
因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，
所以1//OE BB 且112OE BB =
， 易得1//AD BB 且112
AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，
所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，
因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，
所以//DE 平面ABC .
【点睛】
本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。