湖北省八校高三数学下学期第二次联考试题 理-人教版高三全册数学试题

湖北省八校2017届高三数学下学期第二次联考试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数(1)(2)
i i z i
-++=
-，则z 在复平面内对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B =∩ A ．{7} B ．{3,5} C ．{1,3,6,7} D ．{1,3,7}
3.下列选项中说法正确的是
A ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件.
B ．若向量,a b 满足0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角.
C ．若2
2bm am ≤，则b a ≤.
D ．“0,02
00≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2
≥-∈∀x x R x ”.
4.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于
A. 7
B. 6
C.5
D.4
5.过双曲线
22
2
1(0)4x y b b -=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是
A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．
D ．(
6.已知若1e ，2e 是夹角为
90的两个单位向量，则213e e a -=，212e e b +=的夹角为
A ．120
B ．60
C ．45
D ．30
7.()20cos a x dx π
=-⎰，则9
12ax ax ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，3x 项的系数为 A ．212-
B ．638-
C ．638
D ．63
16
8.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为
A.S =S +n x
B.S =S +
n
x n C.S =S + n D.S =S +
10
n
x 9.设F 为抛物线2
4x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若
0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++的值为
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
10.函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是
11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3
V kd =。

与此类似，我们可以得到：
(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V ma =； (2)正方体的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V na =；
(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V ta =；
那么::m n t =
A ．1:62:4
B ．2:12:16
C ．
2
:1:212
D ．2:6:42 12.记)(n f 为最接近
)(*∈N n n 的整数，如：1)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，2)4(=f ，
2)5(=f ，……，若
1111
4034(1)(2)(3)
()
f f f f m ++++
=，则正整数m 的值为 A. 20172016⨯ B. 2
2017 C. 20182017⨯ D.20192018⨯
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点)0,3
2(π中心对称，那么|φ|的最小值为 . 14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|P B A 为 .
15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为 .
16.已知动点),(y x P 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++-+≥≤+1
)1)(1(04222y y x x x y x ，则x y x 62
2-+的最小值
为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B =3b . （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若0<A <
2π，a =6，且△ABC 的面积7
33
S =，求△ABC 的周长. 18. （本小题满分12分）
某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行
统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组（岁） 频数
[25，30） x [30，35） y
[35，40） 35 [40，45） 30 [45，50] 10 合计
100
（Ⅰ）求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数
X ，
求 X 的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；
（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小 为β，求sin α·cos β的值.
20.（本小题满分12分）
设椭圆22
22
:18x y E a a +=-（a >0）的焦点在x 轴上.
（Ⅰ）若椭圆E 的离心率2
5
e a =
，求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为直线x +y =22与椭圆E 的一个公共点; 直线F 2P 交y 轴于点Q ，连结F 1P .问当a 变化时，1F P 与1F Q 的夹角是否为定值，若是定值，
求出该定值；若不是定值，说明理由.
21.（本小题满分12分）
设函数f (x )=x 2
-a x
（a >0，且a ≠1），g (x )=()f x '，（其中()f x '为f (x )的导函数）. （Ⅰ）当a =e 时，求g (x )的极大值点； （Ⅱ）讨论f (x )的零点个数.
请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
将圆x 2+y 2
=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13
，得曲线C .
（Ⅰ）写出C 的参数方程；
（Ⅱ）设直线l ：3x +y +1=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
已知0,0,0,a b c >>>函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10. （Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求
()()()222
11234
a b c -+-+-的最小值，并求出此时,,a b c 的值.
2017届八校二联理数参考答案 一、选择题
CDABD CADBB AC
二、填空题 13.
6π 14.4
1 15. π41 16.40
9
-
17.解：（1）由正弦定理得2sin A sin B
sin B A ⇒=（3分） ∵0<A <π，∴3A π
=
或2
3
π；……………………（5分） （2
）∵1sin 2S bc A == ∴28
3
bc =
，（7分） 由余弦定理得，2222362cos
()33
a b c bc b c bc π
==+-=+-8.b c ⇒+=（11分）
故△ABC 的周长l =a+b+c =14………………..(12分)
18.由图知，P (25≤x <30)=0.01×5=0.05，故x =100×0.05=5；（2分）
P (30≤x <35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2
故y =100×0.2=20， （4分） 其
0.2
0.045
==频率组距…………（6分） （2）∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人， ∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人. （8分）
X 可取0，1，2，21113137622
2020
7891
(0),(1)190190C C C P X P X C C ======， 272
21
(2),190
C P X C ===
故X 的分布列为 （10分） 故9121133
12190190190
Ex =
⨯+⨯=
（12分） 19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， 故PB ∥平面ACM ；（4分）
（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角. ∵1122MN PO =
=，在Rt △ADO
中，DO =
12AN DO ==，在Rt △AMN 中，
3,4AM = ∴2
sin 3
MN AM α==， （8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,2
2
NR MN ==
∴cos()cos πββ-=-， （11分）
∴sin cos αβ= （12分） 20. 解：（1）由题知2
2
2
2
(8)28c a a a =--=-
，由e ==得
a 4
- 25a 2
+100=0，故a 2
=5或20（舍），故椭圆E 的方程为22
153
x y +=；（4分）
（2）设P (x 0，y 0)，F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，则c 2=2a 2
-8，
联立2
2
2
2
2
2
(8)(8)
x y a x a y a a ⎧+=⎪
⎨
-+=-⎪⎩ 得8x 2
2x +a 4
=0，
即22)0a -=
，故2
0x =
，20y =， （7分） 直线PF 2的方程为00()y y x c x c =--，令x =0，则00cy y x c -=-，即点Q 的坐标为0
0(0,)cy x c
--，
故0
1
1000(,),(,)cy FQ c F P x c y x c
-==+-， （9分）
故4222222
20
1
100001[(28))]
[()]84()0c a a cy c x c y FQ F P c x c x c x c x c
-----=+-===---（11分） 故1F Q 与1F P 的夹角为定值2
π
. （12分）
21.（1）g (x )=2x -e x ，()g x '=2-e x
=0ln 2x ⇒=，
当x <ln2时，()g x '>0；当x >ln2时，()g x '<0，故()g x 的极大值点为ln2；（4分） （2）(Ⅰ)先考虑a >1时，f (x )的零点个数，当x ≤0时，f (x )为单减函数，（5分） ()1
110f a
-=-
>；f (0)=-1<0，由零点存在性定理知f (x )有一个零点； 当x >0时，由f (x )=0得
22ln 2ln ln ln x x x a x x a a x =⇔=⇔=
，令2
2ln 2(1ln )
(),()x x h x h x x x -'==则. 由()h x '=0得，x =e ，当0<x <e 时，()h x '>0；当x >e 时，()h x '<0， 故h (x )max =h (e )=2
e
， ()10,h =且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图，
由数形结合知，
①若2
ln a e >即2
e a e >时，当x >0时，
f (x )无零点，故x ∈R 时，f (x )有一个零点；
②若2
ln a e
=即2
e a e =时，当x >0时，
f (x )有一个零点，故x ∈R 时，f (x )有2个零点；
③若2
0ln a e
<<即2
1e a e <<时，当x >0时，f (x )有2个零点，故x ∈R 时，f (x )有3个零点.（9分）
（Ⅱ）再考虑0<a <1的情形，若0<a <1，则
1
1a
>，同上可知， 当21e
e a >即0<a <2
e e -时，
f (x )有一个零点；
当21
e e a
=即a =2
e e -时，
f (x )有2个零点；
当211e
e a
<<即2
e e -<a <1时，
f (x )有3个零点.（11分）
综合上述，
①当2e
a e >或0<a <2e
e -时，
f (x )有一个零点； ②当a =2e
e 或a =2e
e -时，
f (x )有2个零点；
③当1<a <2
e
e 或2e
e -<a <1时，
f (x )有3个零点.（12分）
22.解：（1）由坐标变换公式13x x y y ⎧
'=⎪⎨⎪'=⎩ 得3,x x y y ''==代入x 2+y 2=1中得22
91x y ''+=，
故曲线C 的参数方程为1cos 3
sin x y θ
θ
⎧
=⎪⎨⎪=⎩；（5分） （2）由题知，11(,0)3P -，P 2(0，1)，P 1 P 2线段中点11
(,)62
M --，
12
3P P k =-，故P 1 P 2线段中垂线的方程为111
()236
y x +
=+（8分） 即3x -9y -4=0，即极坐标方程为3cos 9sin 40.ρθρθ--=（10分） 23.解：（1）
()(),f x x a x b c b a c b a c =+--+≤--+=++当且仅当x b ≥时等号成立，又
()0,0,,a b a b a b f x >>∴+=+∴的最大值为,a b c ++又已知()f x 的最大值为10，所以10.a b c ++=（4
分）
（2）由（1）知10,a b c ++=由柯西不等式得
()()()()()()2
2222222112321122131616,22a a b c b c a b c ⎡⎤-⎡-⎤⎛⎫⎛⎫+-+-++≥⋅+-⋅+-⋅=++-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
即
()()()222
18123,43
a b c -+-+-≥（7分） 当且仅当123411a b c ---==即11811
,,333
a b c ===时等号成立。

（10分）。