3.1 随机事件的概率-2020-2021学年高一数学(人教A版必修3)(解析版)

第三章概率
3.1 随机事件的概率
班级：________________ 姓名：________________
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是
A．至少有1个红球与至少有1个黑球
B．至少有1个红球与都是黑球
C．至少有1个红球与至多有1个黑球
D．恰有1个红球与恰有2个红球
【答案】D
【解析】对于A，至少有1个红球的对立事件是都是黑球，故选项A错误；
对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，为互斥事件，且其中必有一个发生，为对立事件，故选项B错误；
对于C，不是互斥事件，例如，取出2个红球和1个黑球，故选项C错误；
对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，例如，3个都是红球，故选项D正确．
故选D．
2．口袋中有若干红球，黄球与蓝球，每次摸一个球．若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或蓝球的概率为
A．0.22B．0.38C．0.6D．0.78
【答案】D
【解析】口袋中有若干红球，黄球与蓝球，每次摸一个球．
摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，
则摸出黄球的概率为：0.620.40.22
-=，
P=-=．
∴摸出红球或蓝球的概率为10.220.78
故选D．
3．某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率7
10
，则甲、乙均被选中的概率是 A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
【答案】B
【解析】根据题意，记“甲、乙均被选中”为事件A ，
则A 为甲、乙没有都被选中，即甲、乙至多有一人被选中，则7()10
P A =， 则P （A ）310
=， 故选B ．
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是 A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立
C ．2
()3
P A B +=
D ．5()6
P A B +=
【答案】C
【解析】抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”， 对于A ，事件A 与事件B 能同时发生，故A 错误； 对于B ，事件A 与事件B 能同时发生，故B 错误； 对于C ，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数6n =，
A B +包含的基本事件个数为4m =，
42
()63
m P A B n ∴+=
==，故C 正确； 对于D ，2
()3
P A B +=，故D 错误． 故选C ．
5．下列命题中正确的是
A ．事件A 发生的概率P （A ）等于事件A 发生的频率n f （A ）
B ．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是
1
6
，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点 C ．掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则P （A ）2P =（B ） D ．对于两个事件A 、B ，若()P A
B P =（A ）P +（B ），则事件A 与事件B 互斥
【答案】C
【解析】频率与试验次数有关，总在概率附近摆动，故选项A错误；
概率是指这件事发生的可能性，故选项B错误；
P（A）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，P（B）=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}，所以P（A）=2P（B），故选项C正确；
因为P(A\bigcup B)=P（A）+P（B），则P(A\bigcap B)=0，
若是在同一试验下，说明事件A与事件B一定是互斥事件，
但若在不同试验下，事件A和B不一定互斥，故选项D错误．
故选C．
6．袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是
A．不互斥但对立B．不互斥也不对立
C．互斥且对立D．互斥但不对立
【答案】D
【解析】取出一个球不能即是红球又是黄球，
故A与B不能同时发生，A，B互斥，
又因为袋中还有白球，
故A与B互斥但不对立，
故选D．
7．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为
A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等
【答案】C
【解析】根据题意，事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，
两个事件可以同时发生，也可以都不发生，
A事件发生与否对B事件没有影响，是相互独立事件，
故选C．
X=表示的基本事件是
8．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么4
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
【答案】D
【解析】根据题意，4
X=即甲乙两颗骰子的点数之和为4，
包含3个基本事件：甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点，
故选D．
二．多选题
9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则
A．事件A与事件B是互斥事件B．事件A与事件B不是对立事件
C．事件A B发生的概率为11
20
D．事件A B发生的概率为
2
5
【答案】BCD
【解析】由题意知：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含11
4520
C C=个基本事件；事件A包含的基本事件有：
(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，
(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个基本事件；
事件B包含的基本事件有：
(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，
共8个基本事件，
即事件B是事件A的子事件，故A错；
且事件A与事件B不是对立事件，故B正确；
事件A B包含的基本事件为：
(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，
(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，
所以事件A B发生的概率为11
20
，故C正确；
事件A B包含的基本事件为：
(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个基本事件，
所以事件A B发生的概率为82
205
=，故D正确，
故选BCD．
10．下列说法错误的有
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率P（A）满足0P
<（A）1
<
D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
【答案】CD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，A正确，
对于B，基本事件是互斥的，在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，B正确，对于C，任意事件A发生的概率P（A）满足0P（A）1，C错误，
对于D，不可能事件的概率为0，D错误，
故选CD．
11．下列说法正确的是
A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C．连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于1 2
【答案】AC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确，
对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误，
对于C，连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，若骰子是均匀的，这是一个概率很小的事件，故有理由认为这枚骰子质地不均匀，C正确；
对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于1
2
，D错误，
故选AC ．
12．已知A ，B 是随机事件，则下列结论正确的是 A ．若A ，B 是互斥事件，则()P AB P =（A ）P （B ） B ．若事件A ，B 相互独立，则()P A B P +=（A ）P +（B ） C ．若A ，B 是对立事件，则A ，B 是互斥事件
D ．事件A ，B 至少有一个发生的概率不小于A ，B 恰好有一个发生的概率 【答案】CD
【解析】对于A ，若A ，B 是互斥事件，则()0P AB =，故A 错误；
对于B ，若事件A ，B 互斥事件，则()P A B P +=（A ）P +（B ），故B 错误； 对于C ，对立事件一定是互斥事件，
∴若A ，B 是对立事件，则A ，B 是互斥事件，故C 正确；
对于D ，事件A ，B 至少有一个发生包含A ，B 恰好有一个发生和A ，B 同时发生两种情况，
∴事件A ，B 至少有一个发生的概率不小于A ，B 恰好有一个发生的概率，故D 正确．
故选CD ． 三．填空题
13．已知随机事件A 和B 相互独立，若()0.36P AB =，()0.6(P A A =表示事件A 的对立事件），则P （B ）
= ．
【答案】0.9
【解析】随机事件A 和B 相互独立，()0.36P AB =，()0.6(P A A =表示事件A 的对立事件），
P ∴（A ）10.60.4=-=， P ∴（B ）()0.36
0.9()0.4
P AB P A =
==． 故答案为：0.9．
14．在本届秋季运动会中，同学们热情高涨，踊跃报名，有不少同学报了多个项目．高三（四)班有50名学生，报了100米短跑或1500米长跑的有16人，其中报了100米短跑的同学有10名，报了1500米长跑的同学有12名，则该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的学生数占该班学生总数的比例是 ． 【答案】12%
【解析】该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的学生数1012166=+-=人，
占该班学生总数的比例
6
12% 50
==．
15．随着网络技术的发展，电子支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是常用的两种电子支付．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.2，则不用现金支付的概率为．
【答案】0.6
【解析】电子支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是常用的两种电子支付．
某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.2，
则不用现金支付的概率为：
10.20.20.6
P=--=．
故答案为：0.6．
16．某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为．
【答案】0.39
【解析】某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，
其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，
则不中奖的概率为10.050.160.400.39
P=---=．
故答案为：0.39．
四．解答题
17．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄
球的概率是5
9
，得到黄球或绿球的概率是
2
3
，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）124
,,
399
；（2）
13
18
.
【解析】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，
根据已知得
()()()1
5
()()
9
2
()()
3
P A P B P C
P A P B
P B P C
⎧
⎪++=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
⎪
+=
⎪⎩
，
解得
1
()
3
2 ()()
9
4 ()()
9 P A
P A P B
P B P C
⎧
=
⎪
⎪
⎪
+=⎨
⎪
⎪
+=⎪
⎩
∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是124 ,, 399
．
（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，
得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，
所以所求概率为3165
3618
++
=，
则得到的两个球颜色不相同的概率是
513
1
1818
-=．
18．某中学高一年级由1000名学生，他们选着选考科目的情况如表所示：
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；C=“该生选了生物”；
D=“该生选了政治”；E=“收生选了历史”；F=“该生选了地理”．（Ⅰ）求P（B），()
P DEF．
（Ⅱ）求()P C E ，()P B F ．
（Ⅲ）事件A 与D 是否相互独立？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）1
5；（Ⅱ）1; （Ⅲ）事件A 与D 相互独立.
【解析】（Ⅰ）B = “该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：300100100500++=（名)，
P ∴（B ）5001
10002
=
=， D = “该生选了政治”
； E = “收生选了历史”； F = “该生选了地理”． 由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名)，
2001()10005
P DEF ∴=
=． （Ⅱ）C = “该生选了生物”， E = “收生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：300200200100800+++=（名)，
8004
()10005
P C E ∴=
=， B = “该生选了化学”
， F = “该生选了地理， 由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：3002001002001001001000+++++=（名)，
1000
()11000
P B F ∴=
=． （Ⅲ）A = “该生选了物理”， D = “该生选了政治”， 事件A 与D 相互独立．理由如下： 由题意得选择物理与否与选择政治无关， 选择政治与否与选择物理无关，
∴事件A 与D 相互独立．
19．在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是x ，在[80，90]的概率是0.48，在[70，80)的概率是0.11，在[60，70)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07．计算： （Ⅰ）x 的值；
（Ⅱ）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率； （Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率． 【答案】（Ⅰ）0.25；（Ⅱ）0.73; （Ⅲ）0.93.
【解析】（Ⅰ）分别记小江的成绩在90分以上，[80，90)，[70，80)，[60，70)，60分以下为事件A ，
B ，
C ，
D ，
E ，它们是互斥事件，
由条件得：P （A ）x =，P （B ）0.48=，P （C ）0.11=，P （D ）0.09=，P （E ）0.07=， 由题意得P （A ）P +（B ）P +（C ）P +（D ）P +（E ）1=， 10.480.110.090.070.25x ∴=----=．
（Ⅱ）小江的成绩在80分及以上的概率为()P A B +， ()P A B P +=（A ）P +（B ）0.250.480.73=+=．
（Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率为：
()1P E P =-（E ）10.070.93=-=．
20．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%． （1）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．（将频率视为概率）
【答案】（1）2.3；（2）1720
. 【解析】（1）由已知得25540y ++=，3060x +=，
解得30x =，10y =．
该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体，
所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计， 其估计值为13023032541055 2.3100
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟． （2）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”，
1A ，2A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”
，“该顾客一次购物的结算时间为5分钟”， 将频率视为概率得1210151(),()1001010020
P A P A ====． P （A ）1211171()()1102020
P A P A =--=--=． 故一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率为1720
． 21．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为
34，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为
12．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢． （Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】（Ⅰ）1116；（Ⅱ）732
. 【解析】（Ⅰ）第四盘棋甲赢分两种情况． 若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，13394416
P =⨯=； 若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，2111428
P =⨯=． 设事件A 为“第四盘棋甲赢”， 则第四盘棋甲赢的概率129111()16816
P A P P =+=+=． （Ⅱ）若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况． 若甲第三盘赢，33113(1)44232
P =⨯⨯-=； 若甲第四盘赢，41111(1)42216
P =⨯⨯-=；
若甲第五盘赢，51111(1)42216
P =⨯-⨯=． 设事件B 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为：
3453117()32161632
P B P P P =++=++=． 22．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A ：“两数之和为8”，事件B ：“两数之和是3的倍数”，事件C ：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A 发生的概率；
（Ⅱ）求事件B 发生的概率；
（Ⅲ）事件A 与事件C 至少有一个发生的概率．
【答案】（Ⅰ）5
36；（Ⅱ）1
3; （Ⅲ）11
36.
【解析】()I 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
{(1,1)Ω=，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个基本事件，
事件A ：“两数之和为8”，事件A 包含的基本事件有：
(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个基本事件，
∴事件A 发生的概率为P （A ）5
36=．
()II 事件B ：“两数之和是3的倍数”，
事件B 包含的基本事件有12个，分别为：
(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)， ∴事件B 发生的概率P （B ）121
363==．
()III 事件A 与事件C 至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)， ∴事件A 与事件C 至少有一个发生的概率为11()36P A C =．。