湖北省夷陵中学2010届高三全真模拟数学理(附答案)

绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）模拟试题
试卷类型 A 卷
审核人：王君 校对：陈亮
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔成签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）=P （A ）P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率:
k
n k k
n n P P C k P --=)1()(
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数1i
i +在复平面内的对应点到原点的距离为
A ．12
B
C ．1
D
2．在(2n
x 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
A ． 7-
B ．7
C ．28-
D ．28
3. 在正三棱锥P ABC -中，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，有下列四个论断： ①AC PB ⊥；
②//AC 平面PDE ；
③AB ⊥平面PDE ； ④平面
PDE ⊥平面ABC ．其中正确的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知命题P:不等式()[]011lg >+-x x 的解集为
{}10<<x x ;命题Q:在三角形
ABC 中B A ∠>∠是
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos 42cos 22ππB A 成立的必要而非充分条件,则 A ．P 真Q 假
B ．P 且Q 为真
C ．P 或Q 为假
D ．P 假Q
真
5．已知双曲线221:1
169x y C -=的左准线为l ，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，若1C 与2C 的一个交点为P ，则2||PF 的值等于
A ．40
B ．32
C ．8
D ．4
6．将A 、B 、C 、D 、E 五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件.若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法共有 A ．96种 B ．97种 C ．98种 D ． 99种
7. 已知函数1,4,3,2,1,0,1,2,3,4y x x =-=----令，可得函数图象上的九个点，在
这九个点中随机取出两个点1122(,),(,)P x y P x y ，则12,P
P 两点在同一反比例函数图象上的概率是
A.1
9
B.1
18 C.536 D.112
8. 设直线10x ky +-=被圆O ：
22
2x y +=所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x-y-1=0位置关系为
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不确定 9．迄今为止，人类已借助“网络计算”技术找到了630万位的最大质数，小胡发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小胡欣喜万分，但小胡按得出的通项公式，在往后写出几个数发现它不是质数。

他写出不是质数的一个数是：
A ．1643
B ．1679
C ．1681
D ．1697
10. 若关于的方程x2-(a2+b2-6b)x+ a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2+4a 的最小值和最大值分别为
A ．和5+4 B. - 和5+4 C. - 和12 D. - 和15-4
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将答案填在答题卷相应位置上。

11. 已知函数2
,0()1,0a
b x f x x x x
x x ⎧+>⎪=+⎨⎪+≤⎩在R 上连续，则a b -=______________。

12．某次抽样调查结果表明，考生的成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为
72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，则考生成绩在60至84分之间的概率为 . （参考数据：()1Φ=0.8413，()2Φ=0.9770，()3Φ=0.9987）
13.设函数
1
1
()lim 1n n n x f x x +→∞-=+，则其值域为______________. 14
≠=，且关于x 的函数
f(x)=x
b a x ⋅++2331在R 上有极值，
则与的夹角范围为 .
15．已知函数
)22)(1(sin )(22+-+=
x x x x
x f π.
(i)那么方程0)(=x f 在区间]2009,2009[-上的根的个数是 ;
(ii)对于下列命题: ①函数)(x f 是周期函数;
②函数)(x f 既有最大值又有最小值;
③函数)(x f 的定义域是R,且其图象有对称轴; ④对于任意)0,1(-∈x ,函数)(x f 的导函数0)('<x f .
其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)
在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
31cos =
A .
（Ⅰ）求
A C
B 2cos 2cos 2
++的值； （Ⅱ）若2=a ，23
=
c ，求∠C 和ΔABC 的面积.
C 1
17．（本小题满分12分）
已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=2AC BC ==，1A 在底面ABC 的
中点D ，又知11BA AC ⊥． （１）求证：1AC ⊥平面1A BC ；
（２）求二面角1A A B C --的大小． 18．（本小题满分12分）
据宜昌市气象部门统计，宜昌地区每年最低气温在C 0
2-以下的概率为31
(1)设ξ为宜昌地区从2005年到2010年最低气温在C 0
2-以下的年数，求ξ的分
布列。

(2)设η为宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在
C 0
2-以下经过的年数，求η的分布列。

(3)求宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在C 0
2-以下的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆2
22:1(1)
+=>x C y a a 的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆
:M 22
6270+--+=x y x y 相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相 交于P 、Q 两点，且0,⋅=AP AQ 求证：直 线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．
20．(本小题满分13分)
设函数
2
()ln(1)f x x b x =++. （1若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；
（2）求证：*
33331231ln(1)()234n n n N n -+++⋅⋅⋅<+∈
21．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足：1
12312
,(3,*)n n n n k a a a a a k a n n N a -+-+====
≥∈其中0k >，数
列{}n b 满足：
2
1
(1,2,3,4,)
n n n n a a b n a +++=
=
（1）求1234b b b b 、、、； （2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）是否存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.
2010年湖北模拟卷数学（理工农医类）参考答案 一.选择题： B B B A A A D C C B
二．填空题： 11. 2 12.0.6826 13.[)1,1- 14． ],3(ππ
15． 2011；②③
三．解答题：
16.解（1）
2
21cos()
cos cos 22cos 122
B C B C A A ++++=+-
=21cos 2cos 12A A -+-=4
9-
（2
）
1cos ,0sin 33A A A π=<<∴=
3,2,sin sin sin 220,2
4
a c a
c C A C c a C
A C π
π
===∴=<∴<<<∴=
1
sin sin()sin()sin cos
cos sin
()4
4
4
233A B C B A C A A A π
π
π
π
++=∴=+=+
=+=
+
=62
32+
∴
421sin 21+==
∆B ac S ABC
17．解：（１）取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，
所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则
()
0,1,0A -，
()0,1,0C ，
()2,1,0B ，
()
10,0,A t ，
()
10,2,C t ，
()
10,3,AC t =，
()12,1,BA t =--，
()
2,0,0CB =，由
10
AC CB ⋅=，知1AC
CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而
1
AC ⊥
平面
1A BC
． …………………………6分
（２）由
1AC ⋅2130
BA t =-+
=，得t =．设平面1A AB
的法向量为(),,n x
y z =，
(1AA =，()2,2,0AB =，所以 10
220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪
⎩， 设1z =
，则
(
)3,n =
-．再设平面1
A BC 的法向量为(),,m x y z =，
(10,CA =-，()2,0,0CB =， 所以 130
20m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅==⎪
⎩
，设1z =，则(
)m =．
根据法向量的方向，可知二面角1A A B C
--的大小为
． (12)
分
几何法（略）
18. （1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在C 0
2-以下的概率
为31
，且每次实验结果是相互独立的。

故
⎪
⎭⎫ ⎝⎛31,6~B ξ，以此为基础求ξ的分布列
所以ξ的分布列为
()6
,5,4,3,2,1,0,323166
=⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P k
k
k ξ
（2）由于η表示宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在C 0
2-以下经
过的年数，显然η是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，
其中{
})5,4,3,2,1,0(==k k η表示前k 年没有遇到最低气温在C 02-以下的情况，但在第1+k 年遇到了最低气温在C 0
2-以下的情况，故各概率应按独立事件同时发
生计算。

())
5,4,3,2,1,0(,31
32=⎪⎭⎫ ⎝⎛==k k P k
η
而{
}6=η表示这6年没有遇到最低气温在C 02-以下的情况， 故其概率为
()6
326⎪
⎭⎫
⎝⎛==ηP ,因此η的分布列为：
（3）宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在C 0
2-以下的事件
为(){}6,,211====≥ξξξξ 或
所以()()()9122
.07296653210116
6
1≈=⎪⎭⎫
⎝⎛-==-===≥∑=ξξξP k P P i
19.解：（Ⅰ）将圆M 的一般方程22
6270x y x y +--+=化为标准方程
22(3)(1)3x y -+-=，
圆M 的圆心为(3,1)M ,半径r =
由(0,1)A
,(,0)(F c c =得直线
:
1x
AF y c +=,即0x cy c +-=,
由直线AF 与圆M 相切,
=,
c =
c =舍去).
当c =, 22
13a c =+=, 故椭圆C 的方程为22
: 1.3x C y +=
（Ⅱ）(解法一)由0,AP AQ ⋅=知AP AQ ⊥,从而直线AP 与坐标轴不垂直, 由(0,1)A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，直线AQ 的方程为
1
1(0)y x k k =-
+≠
将1y kx =+代入椭圆C 的方程2
213x y +=并整理得: 22
(13)60k x kx ++=, 解得0x =或2613k x k =-+,因此P 的坐标为2
22
66(,1)1313k k k k --+++,即
2
22613(,)1313k k k k --++
将上式中的k 换成1k -,得Q 22263(,)
33k k k k -++.直线l 的方程为
22
22
2222231363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=
-++++
++
化简得直线l 的方程为
21
412-
-=x k k y ， 因此直线l 过定点1(0,)2N -. (解法二)1︒若直线l 存在斜率，则可设直线l 的方程为：
(
y kx m =+(0,1),A l ∉∴)1m ≠，
代入椭圆C 的方程2
213x y +=并整理得: 222
(13)63(1)0k x mkx m +++-=,
由l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点，则,12x x 是上述关于x 的方程两个不相等的实数解，从而
22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->，
212122263(1)
,1313mk m x x x x k k -+=-=
++
由0,AP AQ ⋅=得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
222
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk
k k m m k k -+⋅+-⋅-+-=++
整理得：
2210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知1
2m =-
.
此时2
9(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点
1(0,)
2N -. 2︒若直线l 不存在斜率，则可设直线l 的方程为：x m =((0,1),A l ∉∴)0m ≠，
将x m =代入椭圆C 的方程2213x y +=并整理得:
22
13m y =-
, 当2
3m ≥时,
20y ≤,直线l 与椭圆C 不相交于两点，这与直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点产生矛盾!
当2
03m <<时, 直线l 与椭圆C 相交于1(,)P m y 、2(,)Q m y 两点，12,y y 是关于y 的
方程22
13m y =-的两个不相等实数解，从而2
12120, 1.
3m y y y y +==-
但
22
124(1)(1)03AP AQ m y y m ⋅=+--=
>,这与0AP AQ ⋅=产生矛盾!
因此直线l 过定点
1
(0,)
2N -. 注：对直线l 不存在斜率的情形，可不做证明. 20.（1）
222()()1x x b
f x f x x ++'=+，且在定义域上是单调函数，
()0()0(1,)f x f x ''∴≥≤-+∞或
在上恒成立. …………1分
2()010220(1,)f x x x x b '≥+>∴++≥-+∞若，，在上恒成立.
22111222()(1,);
222b x x x b ≥--=-++-+∞∴≥即在上恒成立. …3分
2()010220(1,)f x x x x b '≤+>∴++≤-+∞若，，在上恒成立. 22()(1,)b x x ≤-+-+∞即在上恒成立.
22()(1,)x x -+-+∞在上没有最小值，()0b f x '∴≤不存在实数使恒成立． …………5分
综上可知，实数b 的取值范围是1
[,)
2+∞． …………6分
（2）
333
3123
1
ln(1)234n n n -++++
<+
2323232
3111111
11
(
)()()(
)ln(1)223344
n n n ⇔-+-+-++-<+ …………
8分
2222333322223333
2223333
11111111ln(1)234234111111111111ln[(1)(1)(1)(1)]1231231231111111111[ln(1)][ln(1)][ln(1)]1122123n n n n n n n n n ⇔
++++-+<++++⇔++++-++++<++++⇔-++-+++-+<++++ …………9分
23231()ln(1)()()ln(1),b f x x x h x f x x x x x =-=-+=-=-+-令，则，
令 …………10分
32
2
13(1)()3211
[0,)()0()[0,)x x h x x x x x x h x h x +-'=-+-=-++'∈+∞<+∞则，
当时，，在上单调递减.
23(0)0(0,)()(0)0ln(1).h x h x h x x x =∈+∞<=-+<又，当时，恒有，即恒成立…11分
*2311111
(0,)ln(1),
k x k k k k k ∈∴∈+∞=-+<N 令，，取，则有 …12分
233333
111111231
[ln(1)],ln(1).234n
n
k k n n k k k n ==-∴-+<∴+++
+
<+∑∑ …13分
21．解：（1）经过计算可知：451,2,a k a k =+=+
4563(1)(2)24k a a k k k a k a k k ++++===++. 求得
132421
2,k b b b b k +====.…………………………………………（4分） （2）由条件可知：121n n n n a a k a a +--=+.…………①
类似地有：211n n n n a a k a a +-+=+.…………②
-②有：122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-.即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+. 因此：221
1n n n n n n a a a a a a +-+-++= 即：2,n n b b -=故132123122n n a a b b b a --+===== 242222321n n a a k b b b a k -++===== 所以：41(1)(*)22n
n k b n N k k +-=+∈.………………………………………（8分）
（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数.
则由（2）可知：21221222122(1,2,3,)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩…………③
由1a k Z =∈，及624a k Z k =++∈可知12k =或.
当1k =时，213k k +=为整数，利用123,,a a a Z ∈，结合③式，反复递推，可知4a ，
5a ，6a ，7a ，…均为整数.
当2k =时，③变为21221222122(1,2,3)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩………④
我们用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数(1,2,3,)n =
1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，
222152n n n a a a ++=-为整数，所以1n k =+时，命题成立.
故数列
{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}1,2.………………（14分）。