2019大一轮高考总复习文数课时作业提升7 指数与指数函数 含解析 精品
高三大一轮复习讲义数学文课时作业：指数与指数函数北师大 含解析
课时作业(八) 指数与指数函数A 级1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2D ．|a |< 23．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．114．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定5．函数y ＝的值域为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]6．当x ∈[－2,0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.9．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是________． 10．化简下列各式(其中各字母均为正数)．11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．B 级1．(2011·湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 22．若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．答案课时作业(八) A 级1．B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．C ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1， ∴a 2－1>1，∴a 2>2，∴|a |> 2. 3．B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9， 即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7，选B.4．A 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2， ∴f (－4)>f (1)，故选A.5．A ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝≥⎝⎛⎭⎫121＝12，即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 6．解析： ∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数， ∴3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1.答案： ⎣⎡⎦⎤－53，1 7．解析： ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n . 答案： m >n8．解析： f (x )＝ax 2＋2x －3＋m ，在x 2＋2x －3＝0时，过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.答案： 99．解析： 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案： (－1,1)10．解析： (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .11．解析： (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级1．B ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.2．解析： 由y ＝2|1－x |与y ＝－m 的图像知m ≤－1.答案：(－∞，－1]．3．解析：方法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝2x ln 2·(－2·2x＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.。
高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第五节 指数与指数函数
a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足
题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不
能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
3.f(x)=ax与g(x)=a-x=
1
x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.指数函数的图象以x轴为渐近线.
5.函数y=
-1
+ 1
(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数
y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.
6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
根式的概念
n=a
x
如果
,那么x叫做a的n次方根
符号表示
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个 负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这
2023年一轮复习《指数函数》提升训练(含解析)
2023年一轮复习《指数函数》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.2.（5分）已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a+ b=( )A. −12B. −32C. −52D. −12或−523.（5分）已知A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−2,0]4.（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|⩽1,x∈R}，集合B={x|2x⩾1,x∈R}，则集合A∪B=()A. (−∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞)5.（5分）函数y=ln(5−x)+√2x−8的定义域是()A. [2,3)B. [3,5)C. (−∞,3)D. (2,3)6.（5分）设集合A={ x|e x>1}，B={ x||x|>2}，则A∩B=()A. (−2,0)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (1,+∞)7.（5分）已知实数a，b，c满足不等式0<a<b<c<1，且M=2a，N=5−b，P=(17)c，则M、N、P的大小关系为()A. M>N>PB. P<M<NC. N>P>MD. P>N>M8.（5分）若2x+5y⩽2−y+5−x，则有()A. x+y⩾0B. x+y⩽0C. x−y⩽0D. x−y⩾09.（5分）设集合A ={ x |2x ⩾4)，集合B ={ x |−1⩽x ⩽5)，则A ∩B =( )A. { x |−1⩽x ⩽2}B. { x |2⩽x ⩽5}C. { x |x ⩾−1}D. { x |x ⩾2}10.（5分）函数y =3|log 3x|的图象是( )A. B. C. D.11.（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)=f(−x)，当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，则f(x)在区间(1,32)内是( )A. 减函数且f(x)>0B. 减函数且f(x)<0C. 增函数且f(x)>0D. 增函数且f(x)<012.（5分）已知a =log 23+log 2√3，b =log 29−log 2√3，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a =b <cB. a =b >cC. a <b <cD. a >b >c二 、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知实数x ，y 均大于零，且x +2y =4，则log 2x +log 2y 的最大值为______． 14.（5分）已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x)+2，则f(≶3)+f(≶13)= ______ ．15.（5分）已知存在实数x ，y ∈(0,1)，使得不等式1x +11−x <2y 2−y+t 成立，则实数t的取值范围为__________.16.（5分）设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，若f(12)=0，若f(log 14x)>0，那么x 的取值范围是 ______ .三 、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知函数f(x)=3x ，且f(a +2)=18，g(x)=3ax −4x 的定义域为[－1，1].（1）求3a 的值及函数g(x)的解析式； （2）试判断函数g(x)的单调性；（3）若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围. 18.（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a.(1)若a >0，判断并证明函数f(x)的单调性；(2)若a ≠0，函数f(x)在区间[m,n ](m <n)上的取值范围是[k2m ,k2n ](k ∈R)，求ka 的范围．19.（12分）已知函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ，集合B={x |2⩽2x ⩽16}，非空集合C={x |m +1⩽x ⩽2m −1}，全集为实数集R. (1)求集合A ∩B 和∁R B;(2)若A ∪C =A ，求实数m 取值的集合．20.（12分）f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，a>0在区间[−1,2]上最大值9，最小值0．(1)求a，b的值(2)求不等式f(x)⩾1的解集．21.（12分）已知奇函数f(x)=12x−1+a．(1)求f(x)的定义域；(2)求a的值；(3)证明x>0时，f(x)>0．22.（12分）已知函数f(x)=2xa +a2x−1(a>0)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)解方程f(x)=134.答案和解析1.【答案】B;【解析】这道题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．2.【答案】B;【解析】当a>1时，f(x)单调递增，有f(−1)=1a+b=−1，f(0)=1+b=0，无解；当0<a<1时，f(x)单调递减，有f(−1)=1a+b=0，f(0)=1+b=−1，解得a=12，b=−2，所以a+b=−32．故选B．3.【答案】D;【解析】该题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩(∁R B)即可．解：A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}={ x|x>0}，∴∁R B={ x|x⩽0}，∴A∩(∁R B)=(−2,0]．故选：D ．4.【答案】D;【解析】【试题解析】此题主要考查集合的并集及其运算，考查指数不等式的求解，属于基础题. 先分别求出集合A 、B ，再根据集合的并集定义求解即可.解：集合A =\left{ x ||x|⩽1,x ∈R }=\left{ x |−1⩽x ⩽1,x ∈R }， 集合B =\left{ x |2x ⩾1,x ∈R }=\left{ x |x ⩾0,x ∈R }， 所以A ∪B =[−1,+∞). 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了函数的定义域及其求法，属基础题． 根据对数的真数大于0，和偶次根式被开方非负列式解得．解：由{5−x >02x −8⩾0，解得：3⩽x <5，故选B.6.【答案】C; 【解析】此题主要考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={ x |x >0}，B ={ x |x <−2或x >2}； ∴A ∩B =(2,+∞). 故选C.7.【答案】A;【解析】解：∵0<a <b <c <1， ∴1<2a <2，15<5−b <1，17<(17)c <1， 5−b =(15)b >(15)c >(17)c ， 即M >N >P ， 故选：A根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．这道题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键8.【答案】B;【解析】此题主要考查指数幂的运算性质，函数的单调性，是中档题．由已知构造函数f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，利用单调性即可得解.解：由已知可得2x−5−x⩽2−y−5y，令f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，因为2x−5−x⩽2−y−5y，即2x−5−x⩽−(5y−2−y)，所以f(x)⩽f(−y)所以x⩽−y，即x+y⩽0.故选B.9.【答案】B;【解析】此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.解：由A={ x|2x⩾4}={ x|x⩾2}，集合B={ x|−1⩽x⩽5}，则A∩B={ x|2⩽x⩽5}.故选：B.10.【答案】B;x|>0，则y>1，【解析】解：当0<x<1，|log3x|⩾0，则y⩾1，当x⩾1时，|log3故选：B根据对数函数和指数函数的图象的性质即可判断．该题考查了函数图象的识别和对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(−x)，所以f(x+1)=−f(x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，所以函数的周期是2，则f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同， 设x ∈(−1,−12)，则x +1∈(0,12)， 又当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，所以f(x +1)=log 12(−x)，由f(x +1)=f(−x)得，f(−x)=log 12(−x)，所以f(x)=−f(−x)=−log 12(−x)，由x ∈(−1,−12)得，f(x)=−log 12(−x)在(−1,−12)上是减函数，且f(x)<f(−1)=0，所以则f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0， 故选：B ．根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论． 此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．12.【答案】B;【解析】解：∵a =log 23+log 2√3=log 23√3，b =lo g 29−lo g 2√3=lo g √3=lo g 23√3>1，∴a =b >1，又0<c =log 32<1， ∴a =b >c ． 故选：B ．利用对数的运算性质可求得a =log 23√3，b =log 23√3>1，而0<c =log 32<1，从而可得答案．该题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．13.【答案】1; 【解析】该题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题． 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解：∵实数x ，y >0，且x +2y =4，∴4⩾2√2xy ，化为xy ⩽2，当且仅当x =2y =2时取等号． 则log 2x +log 2y =log 2(xy )⩽log 22=1． 因此log 2x +log 2y 的最大值是1．故答案为：1．14.【答案】4;【解析】解：∵f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=ln1+4=4，∴f(≶3)+f(≶13)=f(≶3)+f(−≶3)=4．故答案为：4．利用f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=4，即可得出．该题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】(3,+∞);【解析】此题主要考查基本不等式的运用，不等式恒成立问题，属于中档题.求出1x +11−x的最小值为4，得到t>4−2y2−y，由0<y<1得到4−2y2−y>3，即可得到答案.解：∵1x +11−x=(x+1−x)(1x+11−x)=2+1−xx+x1−x⩾2+2√1−=4，当x=0.5时，显然等号成立，∴1x +11−x的最小值为4，∴只需存在实数y∈(0,1)，使得2y2−y+t>4成立即可，即t>4−2y2−y，易知当0<y<1时，y²−y<0，∴4−2y2−y>3，∴t>3，∴实数t的取值范围为(3,+∞).故答案为：(3,+∞).16.【答案】（12，2）;【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∴f(log14x)=f(|log14x|)，又∵f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，∴f(|log14x|)>0=f(12)，∴|log14x|<12，∴−12<12log2x<12，∴−1<log2x<1，∴12<x<2，故答案为：(12,2).首先，根据偶函数的性质，得到f(log 14x)=f(|log 14x|)，然后，根据函数的单调性得到∴−12<12log 2x <12，从而得到相应的范围．此题主要考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．17.【答案】解：（1）f (a +2)=3a+2=32⋅3a =18，所以3a =2，所以g (x )=(3a )x −4x =2x −4x . （2）g (x )=2x −4x =−(2x )2+2x ， 令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 又t =2x 为单调递增函数， 所以g (x )在x ∈[−1,1]上单调递减.（3）由（2）知g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 所以g (x )∈[−2,14]，即m ∈[−2,14].;【解析】（1）将a +2代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得3a =2，再代入即可得g (x )的解析式；（2）令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14，根据二次函数的性质可得μ(t )单调递减，t =2x 为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果； （3）利用二次函数的性质求出g (x )的范围即可.18.【答案】解：(1)当a >0时，因为2x >0，所以2x +a >0 所以函数f(x)=2x −a 2x +a 的定义域为R ， 结论：函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)是增函数.证明：设对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则：f(x 1)−f(x 2)=2x 1−a2x 1+a −2x 2−a2x 2+a ， =(2x 1−a)(2x 2+a)−(2x 2−a)(2x 1+a)(2x 1+a)(2x 2+a)，=2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)，因为x 1<x 2，所以2x 2>2x 1，即2x 1−2x 2<0，又因为2x 1+a >0，2x 2+a >0，a >0，所以2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，即证.(2)因为m <n ， 所以2m <2n ，从而12m >12n . 又由[k 2m,k 2n]知，k2m<k 2n，所以k <0，因为a ≠0，所以a <0或a >0. ①当a >0时，由(1)知，函数f(x)=2x −a 2x +a是增函数.因为函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是 [k 2m,k 2n](k ∈R)，所以{f(m)=k2m ,f(n)=k 2n ，即： {2m −a2m +a =k2m2n −a 2n+a=k2n， 从而关于x 的方程2x −a 2x +a=k 2x有两个互异实根.令t =2x ，则t >0，所以方程t 2−(a +k)t −ak =0(k <0)有两个互异正根， 所以 \matrixLatexcasesFa+k2>0,a+k)^{2}+4ak>0,\\-ak>0\end{cases}从而：-3+2\sqrt{2}< \frac{k}{a}< 0.<br/>②$当a <0时，函数$f(x)=1-\frac{2a}{2^{x}+a}在区间(-\infty,\log_{2}(-a))，(\log_{2}(-a),+\infty)上均单调递减，<br/>若[m,n]⊆(\log_{2}(-a),+\infty)，则f(x)>1，于是\frac{k}{2^{m}}>0$，这与k <0矛盾，故舍去$;<br/>若[m,n]\subseteq(-\infty,\log_{2}(-a))，则f(x)< 1，<br/>于是\left{ \begin{array}{l}f(m)=\frac{k}{{2}^{n}}\\ f(n)=\frac{k}{{2}^{m}}\end{array}\right.,\;\;\;\;\;即：\;\left{ \begin{array}{l}\frac{{2}^{m}-a}{{2}^{m}+a}=\frac{k}{{2}^{n}}\;\;\;\;➀\\ \frac{{2}^{n}-a}{{2}^{n}+a}=\frac{k}{{2}^{m}}\;\;\;\;\;②\end{array}\right.,.<br/>所以\left{ \begin{array}{ll}{2}^{n}({2}^{m}-a)=k({2}^{m}+a)\\ {2}^{m}({2}^{n}-a)=k({2}^{n}+a)\end{array}\right.，两式相减并整理得，(k-a)(2^{n}-2^{m})=0，<br/>又2^{m}< 2^{n}，故2^{n}-2^{m}>0，从而k-a=0.$因为a <0，所以$\frac{k}{a}=1.<br/>综上，\frac{k}{a}的范围是(-3+2\sqrt{2},0)∪{ 1}.$;【解析】此题主要考查函数的单调性，函数定义域与值域以及指数函数的性质，属于难题.(1)利用函数单调性的定义求证即可；(2)依题意，函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是[k 2m ,k 2n](k ∈R)，分别讨论a的范围即可求解.19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ， ∴\mathopA={x |−x 2+5x −6⩾又由2⩽2x ⩽16得B=[1,4].∴ A ∩B =[2,3]，∁R B =(−∞,1)∪(4,+∞). (2)∵A ∪C =A. ∴C ⊆A则{&m +1⩾2 2m −1⩽3 ，即1⩽m ⩽2.又要使集合C={ x|m+1⩽x⩽2m−1}为非空集合，则必须m+1⩽2m−1即m⩾2，综上可得m=2，所以实数m的取值集合为{2}.;【解析】此题主要考查集合的运算以及集合中参数的取值范围问题．属于基础题.(1)首先求出集合A与集合B，再求交集、补集；(2)由题意可知C⊆A，因此可建立不等式组，即可解出实数m的取值集合．20.【答案】解：（1）f（x）=a•4x-a•2x+1+1-b，a＞0，设t=2x（12≤t≤4），则g（t）=a t2-2at+1-b=a（t-1）2-a-b+1，当t=1时，取得最小值1-a-b，即有1-a-b=0，①又t=4时，取得最大值8a-b+1=9，②由①②解得a=1，b=0；（2）f（x）≥1，即为4x-2x+1+1≥1，即有2x（2x-2）≥0，由于2x＞0，则2x≥2，解得x≥1，则解集为{x|x≥1}．;【解析】(1)可令t=2x(12⩽t⩽4)，则g(t)=at2−2at+1−b=a(t−1)2−a−b+1，考虑对称轴和区间关系，可得t=1取得最小值，t=4取得最大值，解a，b的方程组，即可得到所求值；(2)由指数不等式的解法，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．该题考查指数函数的性质和运用，考查可化为二次函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及不等式的解法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2x-1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+a∴f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0∴a=12（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x-1＞0∴12x−1+12＞0，即x＞0时，f（x）＞0;【解析】(1)根据2x−1≠0，即2x≠1，求解．(2)根据奇函数的概念，f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0，求解．(3)根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．该题考查了函数的概念，性质，属于容易题．22.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立，∴2xa +a2x=2−xa+a2−x恒成立，即(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，∴1a−a=0，解得a=±1，∵a>0，∴a=1.(2)由(1)知f(x)=2x+2−x−1=134，∴4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，解得2x=4或14，∴x=±2，所以原方程的解为x=±2.;【解析】【试题解析】此题主要考查了偶函数的定义，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据f(x)为偶函数可得出f(−x)=f(x)恒成立，从而可得出(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，从而可求出a=1；(2)根据(1)即可得出4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，然后解出x的值即可．。
2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业 七
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课时分层作业七指数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·揭阳模拟)函数f(x)=x2-的大致图象是( )【解析】选B.由f(0)=-1可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,可排除A,C.2.(2018·沈阳模拟)函数y=的值域为()A. B.C. D.(0,2]【解析】选A.u=f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,函数y=是减函数,由复合函数的单调性可知,y≥,即函数的值域是.3.某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化,开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的( )A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选 D.设第一个月的点击量为1,则4个月后点击量y=(1+50%)4=∈(5,6).该网站的点击量和原来相比,增长为原来的5倍以上,但不超过6倍.4.(2018·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.[1,+∞)【解析】选 B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.5.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为 ( )【解析】选A.因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,取等号.所以a=2,b=1.因此g(x)=2|x+1|,该函数图象由y=2|x|的图象向左平移一个单位得到,结合图象知A正确.【变式备选】(2018·安阳模拟)已知函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于( ) A.1 B.a C.2 D.a2【解析】选A.因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=a x,所以f(x1)f(x2)===a0=1.6.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2},且y=f(x+2)是偶函数,当x<2时,f(x)=|2x-1|,那么当x>2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,+∞)C.(2,4]D.(2,+∞)【解析】选C.因为y=f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),则f(x)关于x=2对称,则f(x)=f(4-x).若x>2,则4-x<2,又当x<2时,f(x)=|2x-1|,所以当x>2时,f(x)=f(4-x)=|24-x-1|.当x≥4时,4-x≤0,24-x-1≤0,f(x)=|24-x-1|=1-24-x=1-16·,此时函数递增,当2<x<4时,4-x>0,24-x>1,此时f(x)=|24-x-1|=24-x-1=16·-1,此时函数递减区间为(2,4].7.若f(x)=,g(x)=,则下列等式不正确的是( )A.f(2x)=2g2(x)+1B.f2(x)-g2(x)=1C.f2(x)+g2(x)=f(2x)D.f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)【解析】选D.f(2x)=,2g2(x)+1=2+1=,即f(2x)=2g2(x)+1,A正确;f2(x)-g2(x)=-=1,B成立;f2(x)+g2(x)=+=f(2x),C成立;f(x)f(y)-g(x)g(y)=×-×=,f(x+y)=,显然不等,所以D不正确.【题目溯源】本题源于教材人教A版必修1P83习题B组T4,“设f(x)=, g(x)=,求证:(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;(2)f(2x)=2f(x)g(x);(3)g(2x)= [g(x)]2+[f(x)]2”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·保定模拟)函数f(x)=的定义域是________.【解题指南】根据使函数f(x)=的解析式有意义的原则,构造不等式,解得函数的定义域.【解析】若使函数f(x)=的解析式有意义,自变量x须满足:-2≥0,解得:x∈(-∞,-1],故函数f(x)=的定义域为:(-∞,-1].答案:(-∞,-1]【变式备选】函数f(x)=+的定义域为( )A.{x|x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x>1}【解析】选B.由已知得解得0<x<1.9.(2018·日喀则模拟)函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,则a的值为________.【解析】因为函数f(x)=a x(0<a<1),所以函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内是减函数,因为函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,所以f(1)-f(2)=a-a2=,解得a=,或a=0(舍).答案:10.函数y=的单调递增区间是________.【解析】使函数y=有意义,则-x2+2x+3≥0,得函数定义域为[-1,3],又因为函数t=-x2+2x+3在[-1,1]上递增,在[1,3]上递减,又因为函数y=可认为是由y=与t=-x2+2x+3复合而成的,所以函数y=的单调递增区间为[1,3].答案:[1,3]【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略函数的定义域,得出错误结论;二是对复合函数的理解错误造成错解.1.(5分)已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围是( ) A.[-2,1] B.[,+∞)C.[-2,1]∪[,+∞)D.[0,1]∪[,+∞)【解析】选C.若x≤0,则f(f(x))=f(2x)=log22x=x≥-2,所以-2≤x≤0.若0<x≤1,则f(f(x))=f(log2x)==x≥-2,所以0<x≤1.若x>1,则f(f(x))=f(log2x)=log2log2x≥-2,即x≥4.综上所述,x的取值范围是[-2,1]∪[,+∞).2.(5分)(2018·长春模拟)若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当a>1时,函数y=在[0,1]上单调递减,所以解得a=2,此时log a+log a=log a4=2;当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单调递增,所以解得:a∈∅.综上可知:log a+log a=2.3.(5分)已知函数f(x)=,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )A.一定等于零B.一定大于零C.一定小于零D.正负都有可能【解题指南】可先探究函数奇偶性、单调性,利用这两个性质再求解.【解析】选B.显然函数f(x)=为奇函数,且f(x)在R上是增函数,由x1+x2>0得,x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0.同理可得f(x2)+f(x3)>0,f(x3)+f(x1)>0,所以f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.4.(12分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明.【解题指南】(1)根据题意,f(x)在原点有定义,并且f(x)为奇函数,从而有f(0)=0,这样即可求出a=-1.(2)可分离常数得到f(x)=1-,设任意的x1<x2,然后作差,通分,便可得出f(x1)<f(x2),从而得出f(x)的单调性.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a=-1.(2)f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.理由:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2,所以<,所以-<0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.【变式备选】已知+=3(a∈R),求值:.【解析】因为+=3,所以a+a-1=7,所以a2+a-2=47,所以==6.5.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-(舍),因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).关闭Word文档返回原板块。
(三管齐下)贵州省高三数学 复习试题7 指数与指数函数 理(含解析)新人教A版
7 指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(1)________值域(2)________性质(3)过定点________(4)当x>0时，______；当(5)当x>0时，________；当x<0时，______ x<0时，______(6)在(－∞，＋∞) 上是______(7)在(－∞，＋∞) 上是______自我检测1．下列结论正确的个数是 ( )①当a<0时，232)(a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝21)2(-x－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1 C．2 D．32．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有 ( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ( )A．a<b<1<c<dB．a<b<1<d<cC．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值等于 ( )A. 6 B．2或－2C．－2 D．25．(·六安模拟)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1ab－1；3327a a ÷3a －8·3a 15.变式迁移1 化简3421413223)(ab b a ab b a (a 、b >0)的结果是 ( )A.b aB ．ab C.a bD ．a 2b探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 (·山东)函数y ＝e x ＋e－x e x －e－x 的图象大致为 ( )探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 (·龙岩月考)已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想的应用 例 (12分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．[3分](2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数， 所以f (x )为增函数．[5分]当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数， 所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[7分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.[10分]∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[12分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一． 【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x －a －x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝x2的值域是 ( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．[2，＋∞)2．(·金华月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是 ( )3．(·重庆)函数f (x )＝4x＋12x 的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，b a >b ，则函数f (x )＝12x的图象是( )5．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)题号 1 2 3 4 5 答案6．(·嘉兴月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．7．(·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x－1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(12分)(·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)(·东莞模拟)函数y ＝1＋2x ＋4xa 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a －n a ±na ③a ⑤a 2.(1)①na m ②nma11na m③0 (2)①ar ＋s②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1(5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数自我检测1．B [只有④正确．①中a <0时，232)(a >0，a 3<0，所以232)(a ≠a 3；②中，n 为奇数时且a <0时，nan＝a ；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．]2．C [∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，∴a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)．] 3．D [y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c >d >1,1>a >b >0.]4．D [(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝4，∵a >1，b >0，∴a b >1,0<a －b <1，∴a b －a －b＝2.]5．D [由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0<a <1；函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.] 课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1ab －1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab 1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝3127⨯a ·3123⨯-a÷ (21)38(⨯-a·21315⨯a)＝)2534(2167+---a＝21-a.∵a ＝19，∴原式＝3.变式迁移1 C [原式＝31312316123ba ab ba b a -••＝3123113116123--++-+•b a＝ab －1＝a b.]例2 解题导引 在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一 由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x <0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x <－1)． 如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x－1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．]例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解 设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.(1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1；(2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]，∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解 由2x－1≠0⇒x ≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x＋122x－1·x 3， 则f (－x )＝2－x＋122－x－1(－x )3＝2x＋122x－1x 3＝f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．(3)证明 当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区1．B [由y ＝x2中x ≥0，所以y ＝x2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数a 满足0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x的图象关于x 轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R ，关于原点对称，∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．]4．A [当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x；当x ≥0时，2x≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx <0，1 x ≥0.]5．D [方程|a x－1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x－1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x－1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.]6．[13，1)解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析 设g (x )＝e x ＋a e －x，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0， ∴a ＝－1. 8. 3解析 当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意； 当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解． ∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a 、b 的值分别为2、1.……………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(6分) 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．……………………………………………………………………………(8分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.………………………………………………(12分)10．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数， 所以g (x 1)－g (x 2)＝)22)(22(1221x x x x ---λ>0恒成立，……………………………(8分)即λ<1222xx+恒成立．由于0222212+>+xx＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(12分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.……………………………………………………………………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x＋λ)≤0成立，…………………………(8分)所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(12分)11．解 由题意得1＋2x ＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x4x ＝－(12)2x －(12)x，设t ＝(12)x，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x4x 的最大值为－34，………………………………………(12分) ∴a >－34.…………………………………………………………………………………(14分)。
2019年高三理科数学一轮复习：指数函数(解析版)
2019年高三理科数学一轮复习：指数函数（解析版）1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ． ③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n ＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (4)负分数指数幂：a -m＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.自查自纠1．(1)n 次方根 ①正 负 n a②两 相反数na －n a ±n a ④0 n0＝0(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1a n (3)na m (4)1n a m(5)0 没有意义 (6)a r ＋s a rs a r b r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数－(0.01)－0.5＋0.2－2＝( )A ．－15B ．10C ．15D ．25解：原式＝－(10－2)－12＋(5－1)－2＝－10＋52＝15.故选C .函数y ＝a x －3＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点( )A ．(3，3)B ．(3，4)C ．(0，3)D ．(0，4)解：当x ＝3时，无论a 取何值y ＝4，故过定点(3，4)．故选B .(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x 单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0⇔x >y .故选C .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 12，x ≥1， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln2，得x ≤1＋ln2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上，x ≤4.故填(－∞，4]．(2015·山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.解：若0<a <1，则f (x )在区间[－1，0]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.若a >1，则f (x )在区间[－1，0]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．所以a ＋b ＝12－2＝－32.故填－32.类型一 指数幂的运算(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002) －12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)211113322---（）(3)已知a 12＋a -12＝3，则a ＋a 2＋1a ＋a －1＋1＝________. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝111111111533223262361566·····ab a baba b-----+-=＝1a. (3)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.故填6. 【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：4a 23b －13÷113323a b --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，则a －ba ＋b＝________. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝21113333·a b+-+（-6）＝－6a .(3)由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－46＋4＝15. 因为a ＞b ＞0，所以a ＞b ，所以a －b a ＋b ＝55.故填55.类型二 指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，所以0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b ＜1，即－b ＞0，所以b ＜0.故选D .(2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解：令|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b ，令y ＝|2x －2|，y ＝b ，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．故填(0，2)．【点拨】①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解：f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．故选A .(2)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ， 则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )解：因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0， 图象A 满足．故选A .类型三 指数函数的综合问题已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立可化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．令g (x )＝⎝⎛⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等；对于底数a 与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是________．(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)要使函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2， 只需f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的最大值小于2.当a >1时，f (x )max ＝a 2<2，解得1<a <2；当0<a <1时，f (x )max ＝a －2<2，解得22<a <1. 所以a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．故填⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． (2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－[⎝⎛⎭⎫14x＋⎝⎛⎭⎫12x]．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ≥14，⎝⎛⎭⎫12x ≥12，所以⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34.故a >－34.故填⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝⎛⎭⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )．1．计算1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42－⎝⎛⎭⎫2323＝( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解：原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2.故选D .2．(2016·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)解：当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过点P (1，6)．故选A .3．(2017·德州一模)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D .4．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解：当x >1时，0<a ＝⎝⎛⎭⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .故选A .5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B .6．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解：因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1，所以f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．所以a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．故选A .7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x .故填－2x (x<0)．8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解：作y ＝|x |与y ＝|x －2|的图象知两图象交于点(1，1)，从而易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.故填e .9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.解得a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－15舍去. ②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． 所以f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，所以只需讨论x >0时的情况．当x >0时，要使f (x )>0，即⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x >1. 又因为x >0，所以a >1.因此a >1时，f (x )>0. 故a 的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x，所以f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，所以f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， 所以f (x )在R 上是增函数．又因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，所以⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，所以t ＝－12. 所以存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1， 设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.故填⎣⎡⎭⎫34，2.。
2019-2020年高考数学一轮总复习 1.7指数与指数函数课时作业 文(含解析)新人教版
2019-2020年高考数学一轮总复习 1.7指数与指数函数课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·河北唐山二模)已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝( )A.12 B ．－12C.14D ．－14解析：∵f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e－a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e －a ＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 答案：A2．(xx·成都七中期中)若函数f (x )＝1＋3x ＋a ·9x ，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a ＜0答案：A3．(xx·广东四校联考)已知log 12 a ＞1，⎝⎛⎭⎫12b＞1,2c＝3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 解析：∵log 12 a ＞1⇒0＜a ＜12，⎝⎛⎭⎫12b ＞1⇒b ＜0,2c＝3＞2＝2 12 ⇒c ＞12，∴c ＞a ＞b .答案：B4．(xx·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )A BC D解析：因为当x ≤0时，2x ≤1； 当x ＞0时，2x ＞1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0，故选A.答案：A5．(xx·陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x解析：把握和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B.答案：B6．(xx·北京东城期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ，x ≥0，－e x ＋1，x ＜0.若f (x )≥kx ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，5]C ．(0,5]D ．[0,5]解析：当x ≥0时，x 2＋5x ≥kx .当x＝0时，不等式显然成立；当x≠0时，k≤x＋5，因为(x ＋5)min ＝5，所以k ≤5.当x ＜0时，－e x ＋1≥kx ，即e x ≤－kx ＋1， 由数形结合(图略)可知－k ≤0，即k ≥0， 综上可知0≤k ≤5. 答案：D 二、填空题7．(xx·山东威海期中)化简求值：(32×3)6＋(22) 43 ＋lg500－lg0.5＝__________. 解析：(32×3)6＋(22) 43 ＋lg500－lg0.5 ＝(2 13 ×3 12 )6＋(2 34 ) 43 ＋lg 5000.5＝(22×33)＋2＋lg1 000＝108＋2＋3＝113. 答案：1138．(xx·江苏南通期末)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14 x 2－2x 的值域为__________． 解析：令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t ，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象可得0＜y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0＜y ≤4. 答案：(0,4]9．已知log a 12＞0，若a x 2＋2x －4≤1a ，则实数x 的取值范围为__________．解析：由log a 12＞0得0＜a ＜1.由a x 2＋2x －4≤1a得a x2＋2x －4≤a －1，∴x 2＋2x －4≥－1， 解得x ≤－3，或x ≥1.答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)当x ＜0时，f (x )＝0； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .1由条件，可知2x－2x＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2. ∵2x ＞0，∴2x ＝1＋ 2. ∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t (22t －122t )＋m (2t －12t )≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)．∵t ∈[1,2]，∴22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∴t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]． 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．11．(xx·山东济南期末)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围． 解析：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点． 即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2＞0，解得a ≥2.所以a 的取值范围为[2，＋∞)．12．(xx·潍坊联考)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x .∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]， 令t ＝2x ，t ∈[1,2]， ∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1＜a 2＜2，即2＜a ＜4时，g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4； 综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1， 当2＜a ＜4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4. (2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln2·2x －ln4·4x ＝2x ln2(a －2·2x )≥0， ∴a －2·2x ≥0恒成立，即a ≥2·2x ， ∵2x ∈[1,2]， ∴a ≥4.即a 的取值范围是[4，＋∞)．.。
2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课堂达标7 指数、指数函数 文 新人教版
课堂达标(七) 指数、指数函数[A 基础巩固练]1．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8abC ．－6abD ．－6ab[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ，故选C.[答案] C2．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析] 由0.2＜0.8，底数0.4＜1知，y ＝0.4x在R 上为减函数，所以0.40.2＞0.40.8，即b ＞c .又a ＝40.2＞40＝1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .[答案] A3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ≥12，故选D.[答案] D4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )[解析] 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．[答案] D5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [解析] 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a ＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.[答案] C6．(2018·安徽阜阳第二次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x，x ＜0log 2x ＋＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＞4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)[解析] 当x ＜0时，2e x＞4，解得：x ＞ln 2，不合题意； 当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2＞4，解得：x ＞3，综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．本题选择C 选项． [答案] C7．(2018·合肥质检)不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为 ________ .[解析] 原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4，又函数y ＝2x为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4. [答案] (－1,4)8．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是______．[解析] 曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为 ________ .[解析] 令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.[答案] 13或310．(2018·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2. ②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数， 故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.[B 能力提升练]1．(2018·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)[解析] 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立，等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. [答案] C2．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)[解析] 令t ＝f (x )，则方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)可化为t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)，作出函数y ＝f (x )的图象如图，结合图象可以看出：方程t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)在区间(0,1)，(1,2)内各有一个解时，方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个实数根，所以问题转化为函数h (t )＝t 2－at ＋b 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，在平面直角坐标系中，画出其表示的区域如图，结合图象可以看出：当动直线u ＝3a ＋b 经过点A (1,0)，B (3,2)时，u 分别取得最小值u min ＝3·和最大值u max ＝11，即3＜u ＜11，应选答案D.[答案] D3．(2018·日照模拟)已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 为常数，且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为 ________ . [解析] 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ∈[－1,0]．①若a ＞1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0＜a ＜1，函数f (x )在a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[答案] 2,2或23，324．(2018·北京朝阳4月模拟)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度，已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是______．[解析] 令f (x )＝y ＝2|x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤a ，2－x－2≤x ＜(1)当a ＝0时，f (x )＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]． (2)当a ＞0时，f (x )在[－2,0)上递减，在[0，a ]上递增， ①当0＜a ≤2时，f (x )max ＝f (－2)＝4，值域为[1,4]； ②当a ＞2时，f (x )max ＝f (a )＝2a＞4，值域为[1,2a]． 结合(1)(2)，可知[m ，n ]的长度的最小值为3. [答案] 3 5．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． [解] (1)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数． 所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[C 尖子生专练]已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x ＞0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x ＞0时，f (x )＝3x－13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x ＞0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t ＞0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即(32t －1)(32t＋1＋m )≥0，∵32t－1＞0，∴32t＋1＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。
2019版文科数学一轮复习高考帮全国版试题：第2章第4讲
第四讲 指数与指数函数考点1指数与指数运算1.3 a ·a 45(a>0)的值是( )A.1B.aC.a 1D.a 172.计算:a 43-8a 13ba 23+2 ab 3+4b 23÷(1-2 ba3)× a 3.考点2指数函数的图象与性质3.若函数f (x )=2x +b -1(b ∈R)的图象不经过第二象限,则 ( )A.b ≥1B.b ≤1C.b ≥0D.b ≤04.函数f (x )=2|x -1|的图象是( )A BC D5.如图是指数函数①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系为( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c6.函数f (x )=(12)x 2-x -1的单调递增区间为( )A.(-∞,1- 52]B.(-∞,12) C.[1+ 52,+∞) D.(12,+∞)7.[2018邢台市模拟]如图,过原点O 的直线与函数y =2x 的图象交于A,B 两点,过点B 作y 轴的垂线交函数y =4x 的图象于点C ,若AC 平行于y 轴,则点A 的坐标是答案1.D3a · a 45=a 3a 12·a 45=a3-1-4=a 17.故选D.2.令a 13=m ,b 13=n ,则原式=m 4-8mn 3m +2mn +4n ÷(1-2nm)×m=m (m 3-8n 3)m +2mn +4n ·m 2m -2n=m 3(m -2n )(m 2+2mn +4n 2)(m +2mn +4n )(m -2n )=m 3=a .3.D 因为y =2x ,当x <0时,y ∈(0,1),且函数f (x )=2x +b -1(b ∈R)的图象不经过第二象限,所以b -1≤-1,解得b ≤0.故选D.4.B f (x )=2x -1,x ≥1,(12)x -1,x<1,故选B. 5.B 由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x =1(图略),在第一象限内分别与各曲线相交,由图象可知1<d <c ,b <a<1,从而可得a,b ,c ,d 与1的大小关系为b <a <1<d <c .故选B.6.A 由x 2-x -1≥0,可得函数f (x )的定义域为{x |x ≤1- 52或x ≥1+ 52}.令t = x 2-x -1,则y =(12)t ,该指数函数在定义域内为减函数.根据复合函数的单调性,要求函数f (x )=(12)x 2-x -1的单调递增区间,即求函数t = x 2-x -1的单调递减区间,易知函数t = x 2-x -1的单调递减区间为(-∞,1- 52].所以函数f (x)=(12)x 2-x -1的单调递增区间为(-∞,1- 52],故选A.7.(1,2) 设C (a ,4a ),则A (a ,2a ),B (2a ,4a ).因为O,A,B 三点共线,所以2a a =4a2a ,故4a =2·2a ,所以2a =0(舍去)或2a =2,即a =1,所以点A 的坐标是(1,2).。
2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标8指数与指数函数 含解析 精品
课时达标 第8讲[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，分值为5分，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c 解析 b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5＝2－2.5， 则2－2.5<1<22.5，即c <b <a .2．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( B )解析 |f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，32. 又|f (x )|≥0，所以B 项正确．故选B ．3．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( C ) A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 项正确．故选C ． 4．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( B )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数解析 由f (－x )＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )，知f (x )为奇函数，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上增函数，又y ＝3x 在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．故选B ．5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x .∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.故选C ． 6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c ＜2解析 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图．∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.故选D ．二、填空题7．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__(0,1)__. 解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1. 8．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝__14__. 解析 因为g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14. 若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上单调递增，最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m <14矛盾； 当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116. 综上知a ＝14. 9．已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是__(0,1)∪(2，＋∞)__.解析 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)； (2)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10×(5－2)－1＋(2－3)0. 解析 (1)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b 13＝a 32＋16＋13－1·b 1＋13－2－13＝ab －1. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10×(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，当a ＝0时，g (x )＝－4x ＋3在R 上不存在最小值，即f (x )不存在最大值，不合题意．当a ≠0时，∵g (x )＝ax 2－4x ＋3＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a 2＋3－4a ，∴g (x )min ＝3－4a(a >0)，∴f (x )max ＝⎝⎛⎭⎫133－4a ＝3，∴3－4a＝－1，∴a ＝1. 12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13.。
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 七 2.4指 数 函 数 含解析
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课时分层作业七指数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简[(-2)6 -(-1)0的结果为( )A.-9B.7C.-10D.9【解析】选B.原式=(26-1=7.2.若函数f(x)=(2a-5)·a x是指数函数,则f(x)在定义域内( )A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增【解析】选A.由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.【变式备选】若函数y=(a2-3a+3)a x是指数函数,则有( )A.a=1或a=2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠1【解析】选C.由已知即得a=2.3.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )【解析】选D.当0<a<1时,函数y=a x-是减函数,且其图象可视为是由函数y=a x的图象向下平移个单位长度得到的,结合各选项知选D.【巧思妙解】选 D.因为函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选D.4.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则( )A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2【解析】选 D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5.因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.【方法技巧】在幂的大小比较中,常用的构造方式有两种(1)构造幂函数,该方法适合“同指不同底”的两个实数的大小比较.(2)构造指数函数,该方法适合“同底不同指”的两个实数的大小比较. 在此基础上,借助该函数的性质(单调性等)比较两个数值的大小. 5.已知奇函数y=若f(x)=a x(a>0,a≠1)对应的图象如图所示,则g(x)= ( )A. B.-C.2-xD.-2x【解析】选D.由图象可知,当x>0时,函数f(x)单调递减,则0<a<1,因为f(1)=,所以a=,即函数f(x)=,当x<0时,-x>0,则f(-x)==-g(x),即g(x)=-=-2x,故g(x)=-2x,x<0.6.若函数y=a2x+2a x-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值是 ( )A.3B.C.3或D.5或【解析】选C.设a x=t,则原函数的最大值问题转化为求关于t的函数y=t2+2t-1的最大值问题.因为函数图象的对称轴为t=-1,且开口向上,所以函数y=t2+2t-1在t∈(0,+∞)上是增函数.当a>1时,a-1≤t≤a,所以t=a时,y取得最大值14,即a2+2a-1=14,解得a=3(舍去-5);当0<a<1时,a≤t≤a-1,所以t=a-1时,y取得最大值14,即a-2+2a-1-1=14,解得a=.综上,实数a的值为3或.7.已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围为( )A.[-2,1]B.[,+∞)C.[-2,1]∪[,+∞)D.[0,1]∪[,+∞)【解析】选C.因为f(f(x))≥-2,结合f(x)的图象可知f(x)的取值范围是(-∞,0]∪,故x的取值范围为[-2,1]∪[,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.化简:(x<0,y<0)=________.【解题指南】将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.【解析】====-1.答案:-19.函数y=a x-2 018+2 018(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.【解析】令x-2 018=0,得x=2 018,此时,y=a0+2 018=2 019,所以图象恒过定点(2 018,2 019).答案:(2 018,2 019)【变式备选】若函数y=(a2-1)x在 (-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________.【解析】由题意知0<a2-1<1,即1<a2<2,得-<a<-1或1<a<.答案:(-,-1)∪(1,)10.函数y=-+1在x∈[-3,2]上的值域是________.【解题指南】解答本题可利用换元法,即令t=,把函数化为y=t2-t+1,其中t∈,然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域.【解析】y=-+1=-+1=+,因为x∈[-3,2],所以≤≤8.当=时,y min=;当=8时,y max=57.所以函数的值域为.答案:【误区警示】对于含a x,a2x的表达式,通常可以令t=a x进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.1.(5分)函数y=(0<a<1)图象的大致形状是( )【解析】选 D.函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y==当x>0时,函数是一个指数函数,因为0<a<1,所以函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=a x(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称,在(-∞,0)上是增函数.2.(5分)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,所以a=,即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-≦,2]上递减,在[2,+≦)上递增,所以f(x)在(-≦,2]上递增,在[2,+≦)上递减.3.(5分)(2018·金华模拟)若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0,a≠1) 的图象有两个公共点,则实数a的取值范围为________.【解析】分底数0<a<1与a>1两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图,从图中可以看出,只有当0<a<1,且0<2a<1,即0<a<时,两函数才有两个交点.所以实数a的取值范围为.答案:【变式备选】若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a=________.【解析】当a>1时,y=在[0,1]上单减,依题设知:解得:a=2,此时log a+log a=log2+log2=log2=log24=2.当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单增,所以解得a∈∅,此时,无解.综上可知:log a+log a=2.答案:24.(12分)已知函数y=b+(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间上有y max=3,y min=,试求a,b的值.【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1,因为x∈,所以t∈[-1,0].(1)若a>1,函数f(x)=a t在[-1,0]上为增函数,所以a t∈,则b+∈,依题意得解得(2)若0<a<1,函数f(x)=a t在[-1,0]上为减函数,所以a t∈,则b+∈,依题意得解得综上,所求a,b的值为或【方法技巧】(1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a>1和0<a<1两种情况讨论.(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.5.(13分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=.(1)判断函数的奇偶性.(2)证明:f(x)在定义域内是增函数.(3)求f(x)的值域.【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)===1-,令x2>x1,则f(x2)-f(x1)=-=2×.因为x2>x1,所以1-1>0,又1+1>0,1+1>0,f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数.【一题多解】解答本题(2)还可以用如下的方法解决:f(x)==1-.因为y1=10x为增函数,所以y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=1-为增函数.所以f(x)=在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=,解得102x=,因为102x>0,所以-1<y<1,即函数f(x)的值域是(-1,1).【变式备选】已知函数f(x)=1- (a>0且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.(1)求a的值.(2)求函数的值域.(3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(0)=0,即1-=0.解得a=2.(2)因为y=,所以2x=.由2x>0知>0,所以-1<y<1.即f(x)的值域为(-1,1).(3)不等式tf(x)≥2x-2等价于≥2x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-2≤0.令2x=u,因为x∈(0,1],所以u∈(1,2].又u∈(1,2]时,u2-(t+1)u+t-2≤0恒成立.所以解得t≥0.故所求t的取值范围为[0,+≦).关闭Word文档返回原板块。
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第4讲 指数与指数函数【2019年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)． ③⎝⎛⎭⎫n a n ＝a . ④当n 为奇数时，na n ＝a ；当n 为偶数时，na n＝ |a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ＜0).⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·an个(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝1a p(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质R分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 双基自测1．(2019·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )． A ．0 B.33 C ．1 D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2019·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B 3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t ，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 因此y ＝1t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． 答案 A4．(2019·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3 103，∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(2019·天津一中月考)已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7 又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 47考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32 ＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.考向二 指数函数的性质【例2】►已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1， ∴a x －1＞0，1a x －1＋12＞0. 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0， 即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立． 当0＜a ＜1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1).当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意； 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，f (x )f (－x )来判断． (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解． ∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e－x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2 ＝(e x 1－e x 2)(e x 1＋x 2－1)e x 1＋x 2，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，∴e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，∴e x 1＋x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．考向三 指数函数图象的应用【例3】►(2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性． 解析 y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x－1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x －e －x2，y ＝lg(10x －1)等．【训练3】 已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析 作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x ＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10. 答案 10难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (2019·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥K ，K ，f (x )＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________． 二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＞f 2(x )，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．。
2019年高考数学一轮复习课时作业第8讲指数与指数函数文
课时作业(八)第8讲指数与指数函数时间/ 30分钟分值/ 80分基础热身1.若3x=a,5x=b,则45x等于 ()A. a2bB. ab2C. a2+bD. a2+b22.函数f(x)=的大致图像是()A B C D图K8-13.[2017·南平模拟]已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A. c<a<bB. a<b<cC. b<a<cD. c<b<a4.计算= .5.不等式>的解集为.能力提升6.下列函数中,满足“f(x-y)=f(x)÷f(y)”的单调递减函数是()A. f(x)=x3B. f(x)=4xC. f(x)=D. f(x)=7.[2017·福州模拟]已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为()A. B.C. D.8.[2017·安阳模拟]已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于()A. 1B. aC. 2D. a29.已知函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则a的取值范围为()A. (-∞,3]B. (-∞,6]C. [3,+∞)D. [6,+∞)10.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A. (-1,2)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)11.若f(x)=,g(x)=,则下列等式不正确的是 ()A. f(2x)=2[g(x)]2+1B. [f(x)]2-[g(x)]2=1C. [f(x)]2+[g(x)]2=f(2x)D. f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)12.已知函数f(x)=a2x-4+n(a>0且a≠1)的图像恒过定点P(m,2),则m+n= .13.[2017·安徽江淮十校联考]已知max{a,b}表示a,b两数中的较大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.14.设f(x)=则f= .难点突破15.(5分)已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a 的取值范围是()A. -2<a<4B. -2<a<6C. -6<a<2D. -6<a<416.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[2,+∞),则实数a的取值范围是.课时作业(八)1. A[解析] 45x=9x×5x=(3x)2×5x=a2b,故选A.2. D[解析] 因为f(x)==结合图像可知选项D正确.3. D[解析] 由指数函数y=的性质及-<-,可得a=>b=>1.由指数函数y=的性质及-<0,可得c=<1,所以c<b<a.故选D.4.[解析] 原式===.5. {x|-1<x<4}[解析] 不等式>化为>,因为y=是减函数,所以x2-2x<x+4,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4.6.D[解析] 验证可知,指数函数f(x)=4x,f(x)=满足f(x-y)=f(x)÷f(y),因为f(x)=4x 是增函数,f(x)=是减函数,所以选D.7. B[解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=;当a>1时,4a-1=22a-1,无解.故选B.8. A[解析] 因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=a x,所以f(x1)·f(x2)=·==a0=1.9. D[解析] 函数y=是由函数y=2t和t=-x2+ax+1复合而成的.因为函数t=-x2+ax+1在区间上单调递增,在区间上单调递减,且函数y=2t在R上单调递增,所以函数y=在区间上单调递增,在区间上单调递减.又因为函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,所以3≤,即a≥6.故选D.10. A[解析] 原不等式变形为m2-m<,因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以≥=2,当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.故选A.11. D[解析] f(2x)=,2[g(x)]2+1=2×+1=,即f(2x)=2[g(x)]2+1,A中等式正确;[f(x)]2-[g(x)]2=1,B中等式正确;[f(x)]2+[g(x)]2==f(2x),C中等式正确;f(x)f(y)-g(x)g(y)=×-×==,f(x+y)= ,显然不相等,所以D中等式不正确.故选D.12. 3[解析] 当2x-4=0,即x=2时,y=1+n,即函数图像恒过点(2,1+n),又函数图像恒过定点P(m,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3.13. e[解析] f(x)=当x≥1时,f(x)=e x≥e(当x=1时,取等号);当x<1时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e.因此f(x)的最小值为f(1)=e.14. 2+2016[解析] f=f+2=f+4=…=f+2016=+2016=2+2016.15. B[解析] 因为y=2x,y=2-x在R上分别为增函数、减函数,所以f(x)=2x-2-x为增函数.因为f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为f(x2-ax+a)+f(3)>0,所以f(x2-ax+a)>-f(3)=f(-3),得x2-ax+a>-3,所以x2-ax+a+3>0恒成立,所以(-a)2-4×1×(a+3)<0,所以a2-4a-12<0,解得-2<a<6.16. (1,][解析] 当x≤2时,f(x)≥=2,此时函数的值域为[2,+∞);当x>2且a>1时,f(x)>log a2,此时函数值域为(log a2,+∞),由(log a2,+∞)⊆[2,+∞),得log a2≥2,解得1<a≤;当x>2且0<a<1时,f(x)<log a2,不合题意.所以实数a的取值范围是(1,].。
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课时作业提升(七) 指数与指数函数A 组 夯实基础1．(2018·张家口模拟)下面式子中， ①4(3－π)4＝3－π；②无理数e 是自然对数的底数，可以得log π 1＋ln e ＝1； ③若a ＞b ，则a 2＞b 2； ④若a ＞b ，则⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b . 正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 对于①，∵3＜π，∴4(3－π)4＝|3－π|＝π－3，命题错误；对于②，∵无理数e 是自然对数的底数，∴log π 1＋ln e ＝0＋1＝1，命题正确；对于③，∵0＞a ＞b 时，a 2＜b 2，∴命题错误；对于④，y ＝⎝⎛⎭⎫13x是R 上的减函数，∴a ＞b 时，⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b ，命题正确．综上，以上正确的命题有②④两个．故选B.2．化简()a 12b －1－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1a解析：选D 原式＝a－13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a.3．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.4．(2018·柳州模拟)设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)＞f (－1)B ．f (－1)＞f (－2)C ．f (1)＞f (2)D ．f (－2)＞f (2)解析：选A 由a －2＝4，a ＞0，得a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |.又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f (－2)＞f (－1)．5．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 方法一(排除法) 当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，函数y ＝a x －a 的图象可以看作是把y ＝a x 的图象向下平移a 个单位，且过(1,0)，故A ，B 均不符合；当0<a ＜1时，y ＝a x 是减函数，把y ＝a x 的图象向下平移a 个单位，又0<a <1，观察图象可知D 不正确．方法二(特殊值法) 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以y ＝a x －a 的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C.6．(2018·山西联考)设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >bD ．c >b >a解析：选A ∵a ＝21.6，b ＝21.38，c ＝21.2，函数y ＝2x 在R 上单调递增，且1.2<1.38<1.6，∴21.2<21.38<21.6，即c <b <a .7．(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A 由题知A (1,1)．把点A (1,1)代入四个选项，选项A ，y ＝1－x 的图象不经过点A .8．(2018·广西百色月考)614－(π－1)0－⎝⎛⎭⎫33813＋⎝⎛⎭⎫164－13＝____________.解析：原式＝52－1－⎝⎛⎭⎫27813＋(4－3)－23＝32－32＋42＝16.答案：169．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为____________.解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n10．(2018·赣州模拟)函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是____________.解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)11．求不等式a2x－7＞a4x－1(a＞0，且a≠1)中x的取值范围．解：设y＝a x(a＞0且a≠1)，若0＜a＜1，则y＝a x为减函数，∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＜4x－1，解得x＞－3；若a＞1，则y＝a x为增函数，∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＞4x－1，解得x＜－3.综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是(－3，＋∞)；当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－3)．12．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．∴(1＋k)(2x＋2－x)＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k>0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．B组能力提升1．函数y＝2x－2－x是()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：选A根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x －2－x是R上的增函数，故选A.2．(2018·绵阳月考)已知函数f(x)＝a x，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.3．(2018·兰州模拟)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}解析：选B f (x )＝1＋2x －11＋2x－12＝12－11＋2x .∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是⎝⎛⎭⎫－12，12.∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．4．(2018·济宁模拟)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝____________.解析：若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案：145．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是____________.解析：f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x－2|，y ＝b ，有两个交点(如图)，可知0<b <2. 答案：(0,2)6．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为R.又f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，只需b≤－1. 故b的取值范围是(－∞，－1]．。