安徽六校2019届高三第二次联考数学(文)试卷(含答案)

安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考
数学试题（文）
考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合{M x =∈R 2||}x x =，{1,0,1}N =-，则M
N =( )
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}
1,0,1-
2．设z =
1i
1i +-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=( ) A ．1- B ．i C ．1
D ．4
3． 钝角三角形ABC 的面积是1，且AB =
AC = 2，则BC =( )
A B C ．1 D 1
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =( )
A ．23
B ．32
C ．35
D ． 38
5．将函数x y cos =的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y =sin ()6
x π
-的图象，则ϕ等于( )
A ．
6π B ．56
π
C ． 34π
D ．35π
6．两个非零向量,a b 满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量b 与-a b 夹角为( )
A. 56π
B. 6π
C. 23
π D. 3π
7．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49 元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则
甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )
A ．
25 B ．12 C ．34 D ．56 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．38
π B ．
4π C ．524π D ．724π
（第8题图） （第10题图）
9．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=,＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆
222x y b +=相交的弦长为a 3，则双曲线的离心率为( )
A ．3
B ．73
C D ．
5
5 10．执行如图所示的程序框图，若输出的p 的值等于11，那么输入的N 的值可以是( )
A ．121
B ．120
C ．11
D ．10
11．下列命题是假命题．．．
的是( ) A ．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人
B ．用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K 2
的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大
C ．已知向量a (1,2)x =-，b (2,1)=，则2->x 是0⋅>a b 的必要条件
D ．若
()()12321-222++=++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹为抛物线
12．若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数
x x
x a x g -=2
c o s 2s i n 2)(的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为
( )
A
．(,[2,)-∞+∞ B
．1⎡
-⎢⎣
⎦
C ．12122⎛⎡⎤
--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦
⎣
⎦
，
，
D ．112⎤⎥⎣⎦，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设,x y 满足不等式组1030,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪∈⎩
N ，则2x y -的所有值构成的集合中元素个数为____个．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线22y px =（0p >），如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点
Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，
则抛物线的方程为 ．
（第14题图） （第16题图）
15．已知等比数列{}n a 的首项为
32，公比为1
2
-，前n 项和为n S ，且对任意的n ∈N *，都有1
2n n
A S
B S ≤-
≤恒成立，则B
A -的最小值为______________． 16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点
B 的距离始终等于P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为_____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin cos 0a B b A -=．
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）已知函数t
x x f -=1
)(，且方程0)cos 3()(sin =+B f B f
有解，求实数t 的取值范围．
D
A
18．(本小题满分12分)詹姆斯·哈登（James Harden ）是美国NBA 当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球
（Ⅰ）根据表中数据，求y 关于t 的线性回归方程
a t
b y
ˆˆˆ+=（110t ≤≤，t ∈N *）； （Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．
【附】对于一组数据1122(,),(,),
(,)n n t y t y t y ，其回归直
线a t b y
ˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：∑∑==---=n
i i
n
i i i
t t
y y t t
b 1
2
1
)()
)((ˆ，t b y a
ˆˆ-=． (参考数据:
6.17))((6
1
=--∑=i i i
y y t t
，计算结果保留小数点后一
位）
19、(本小题满分12分)如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且
BAE AFB ∠=∠=90°．
（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面 BCF ⊥平面ADF ；
（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得 BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G-ABE 与三棱锥G-ADF 的体积之比．
20．(本小题满分12分)已知函数()21x f x e x ax =---． （Ⅰ）若f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的范围；
（Ⅱ）设函数()()3x g x xf x e x x =-++，若()g x 至多有一个极值点，求a 的取值集合．
21．(本小题满分12分)如图，C 、D 是离心率为
1
2
的椭圆的左、右顶点，1F 、2F 是该椭圆的左、右焦点， A 、B 是直线x =-4上两个动点，连接AD 和BD ，它们分别与椭圆交于点E 、F 两点，
且线段EF 恰好过椭圆的左焦点1F . 当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨=-⎩（t 为参数，0απ<<）. 以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为2
4sin cos θ
ρθ
=
． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若AB ≥16，求角α的取值范围．
23．已知关于x 的函数()f x =|1|||x x m ++-．
（Ⅰ）若()3f x ≥对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．
安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）
参考答案
13、7 14、23y x =
15、
136 16 17、解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．……………（2分）
即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以sin cos 0A A -=，tan （4分）
又因为A ………………………………（6分）
（2）)(x f 的图像关于)0,(t 对称，由0)cos 3()(sin =+B f B f ，可得t B B 2cos 3sin =+，)3
sin(π
+
=B t ，……………（9分）
又ABC △为锐角三角形，所以
2
4
π
π
<
<B ，……………（10分）
653127πππ<+<B ，4
26)3sin(21+<+<πB ，
所
以
)426,21(+∈t ．………………………………（12分）
18、解：（1）由题意可知：5.3=t ，……………（1分）
9.27=y ，……………（2分）
6
2
2222221
()
( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i t t =-=-+-+-+++=∑，……………（4分）
∴0.15
.176
.17^==
b ，………………………………（6分） 又4.245.30.19.27^^=⨯-=-=t b y a
， ∴y 关于t 的线性回归方程为 1.024.4y t =+. （010t ≤≤，*
t ∈N ）………（8分）
（2）由（1)可得，年份代码8t =，……………（9分） 此时 1.0824.4
32y =⨯+=，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为
32.4. ………………………………（12分）
19、证明：（1）∵ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，
又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面AEBF=AB ， ∴BC ⊥平面AEBF ， ……………（2分）
又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC ⊥AF. ……………（3分）
∵∠AFB=90°，即AF ⊥BF ，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC∩BF=B ， ∴AF ⊥平面BCF. ……………（5分）
又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF. ………………………………（6分） （2）∵BC ∥AD ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF.
∵ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°， ∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF ∥BE ，又AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ， ∵BC∩BE=B ，∴平面BCE ∥平面ADF.
延长EB 到点H ，使得BH =AF ，又BC //AD ，连CH 、HF ，易证ABHF 是平行四边形， ∴HF //AB //CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH ∥DF.
过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG ∥CH ∥DF ，（DF ⊂平面CDF ） ∴BG ∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点. ………………………………（9分） 又
22AF BH ==，∴EG=
2
3EC ，又2ABE ABF S S ∆∆=， 24
444
33333
G ABE C ABE C ABF
D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====， 故4
3
G ABE G ADF V V --=..………………………………（12分） 20、解：(1)由02)('≥--=a x e x f x
，……………（1分）
得x e a x 2-≤， 令x e x h x 2)(-=，02)('=-=x
e x h .……………（3分）
得2ln =x ，当2ln <x 时，0)('<x h ，当2ln >x 时，0)('>x h ．故当2ln =x 时，
2ln 22)2(ln )(min -==h x h ．2ln 22-≤∴a ．………………………………（6分）
(2) x
x
e ax xe x g --=2
)(，)2()('a e x x g x
-=．……………（7分）
当0≤a 时，由0)(',0>>x g x 且0)(',0<<x g x ，故0是)(x g 唯一的极小值点；……………（9分）
令,0)('=x g 得)2ln(,021a x x ==. 当
2
1=
a 时，
21x x =，
0)('≥x g 恒成立，)(x g 无极值点．故
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≤∈210或a a a ．………………………………（12分）
21. 解（1）∵当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点，
∴4a c c +=-，又1
2
c e a ==，联立解得：1c =，2a =
，b =……………（3分）
∴椭圆的方程为22
143
x y +=.………………………………（4分） （2）设EF 的方程为：1x my =-，E （11,x y ）、F （22,x y ），
22
14
31x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
联立得：22(34)690m y my +--= ∴22(6)36(34)0m m ∆=-++>，
∴122122634934m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
……（*） ………………………………（6分） 又设(4,)A A y -，由A 、E 、D 三点共线得11116623A y y y x my --==
--，同理可得2
263
B y y my -=-. ……………（8分） ∴
22121212221212122296236623()34346()6(
)696333()9393434
A B m
m
y y my y y y m m y y m m my my m y y m y y m m m m -----++++=+=-=-=----++-+++
∴
1212221212122266||||18()333()9393434
A B y y y y y y my my m y y m y y m m m m ----=-===---++-+++.
………………………………（10分）
设AB 中点为M ，则M 坐标为（4,
2
A B
y y +-）即（4,-3m ）， ∴点M 到直线EF
的距离211
||||22A B d y y AB ===-=.
故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切. ………………………………（12分）
22. 解：（1）∵2
4sin cos θρθ
=
，∴2cos 4sin ρθθ=，∴22
cos 4sin ρθρθ=，……………（2分） 即24x y =. 故曲线C 的直角坐标方程为2
4x y =. ………………………………（4分）
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 中得 2
2
cos
4(1sin )t t αα=-，
∴22
cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=，由题意cos 0α≠，
22122
12216sin 16cos 164sin cos 4cos t t t t ααααα⎧
⎪∆=+=⎪
-⎪
+=⎨⎪
-⎪
=⎪⎩
……………（6分）
∴1224
||||16cos AB t t α
=-==≥，……………（7分）
∴2
1cos 4α≤，∴11cos 22
α-≤≤且cos 0α≠，
又0απ<<， ∴角α的取值范围为{|32ππαα≤<或2}23
ππ
α<≤
. ………………………………（10分）
23. 解：（1）()|1||||1|3f x x x m m =++-≥+≥，∴13m +≥或13m +≤-， ∴2m ≥或4m ≤-.
故m 的取值范围为(,4][2,)-∞-+∞. ………………………………（5分） （2）∵2
()2f m m x x -≥-的解集非空，∴2min |1|2()m m x x +-≥-，
∴1
|1|24m m +≥-
，……………（7分） ①当18m <时，1204m -<，1
|1|24m m +≥-恒成立，即18m <均符合题意；
②当18m ≥时，1
204
m -≥，10m +>，
∴不等式1|1|24m m +≥-可化为1
124
m m +≥-，解之得1584m ≤≤.
由①②得，实数m 的取值范围为5
(,]4
-∞. ………………………………（10分）。