[高考]江苏省2013对口单招高考数学试卷附答案

江苏省2013年普通高校对口单招文化统考
数 学 试卷
本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分。

第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷 3页至 8 页。

两卷满分150分。

考试时间150分钟。

第Ⅰ卷（共48分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。

2．用2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑。

答案不涂写在答题卡上无效。

一 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）
1． 若集合}02|{>+=x x M ，}03|{<-=x x N ，则N M ⋂等于 （ C ） A ．（-∞，-2） B ．（-∞，3） C ．（-2，3） D ．（3，+∞） 2．如果向量)3,2(-=a ，)2,3(=b ，那么 ( B )
A ．//
B ．⊥
C ．与的夹角为0
60 D ．1||= 3．在△ABC 中，“2
1sin =
A ”是“0
30=A ”的 ( B ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．若实数c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的交点个数是 ( A ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或者2
5．若0<<b a ，则下列不等式成立的是 ( A ) A ．b
a
33< B ．
b a 11< C ．a a -->43 D ．b a )4
1()41(< 6．若直线l 的倾斜角是直线23+=x y 倾斜角的2倍，且过点（0，5）,则直线l 的方程是
( B )
A ．053=+-y x
B ．053=-+y x
C ．01533=+-y x
D ．01533=++y x
7．如果5
3
)sin(=
-απ，那么α2cos 等于 ( D ) A ．2516- B ．257- C ．2516 D ．25
7
8．若抛物线px y 22= )0(>p 的准线与圆16)3(2
2=+-y x 相切，则p 的值为( C )
A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．4 9．在二项式73
)12(x
x -
的展开式中，常数项等于 ( D )
A ．-42
B ．42
C ．-14
D ．14
10．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么其母线与底面所成角的大小是 ( C ) A ．0
30 B ．045 C ．0
60 D ．0
75 11．如函数)3
sin(2)(π
+=wx x f )0(>w 的最小正周期为π，则该函数的图像 ( A )
A ．关于点)0,3(π
对称 B ．关于直线4
π
=x 对称 C ．关于点)0,4
(
π对称 D ．关于直线3
π
=
x 对称
12．已知点M 的坐标为)2,3(，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动。

当
||||PF PM +的值最小时，点P 的坐标为 （ D ）
A ．)0,0(
B ．)1,21(
C ．)3,2
9( D ．)2,2( 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若b a ,是方程0100302
=+-x x 的两个实根，则=+b a lg lg 2 。

14．已知角α的终边过点),3(m P -，且54sin =
α，则=αcos 3
5
- 。

15．若函数⎩⎨⎧<≥=0
00
1)(x x x f ，则=))((x f f 1
16．当a 直线03:=+-y x l 被圆)0(4)2()(:22>=-+-a y a x C 截得的弦长为32。

17．设}4,3,2,1{,∈b a ，事件 =A ｛方程122
22=+b y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆｝，那么
=)(A P
3
8。

18．已知函数x x f )3
1()(=的反函数是)(1
x f -，若2)()(11-=+--b f a f ，则
2
211b a +的最小值是
2
9。

三、解答题（本大题7小题，共78分）
19．（6分）已知复数)()2|12(|)1(R m i m m ∈--+-=Z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围。

解 由题意得 102120m m -<⎧⎪⎨--<⎪⎩
-----------------------2分
由①得 1m < -----------------------1分 由②得 13
2212,22
m m -<-<-
<< -----------------------2分 由上得 1
12
m -
<< -----------------------1分 20．（10分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若
19,2,tan tan 33tan tan ==-=+c a B A B A
求：（1）角C 的值； （2）ABC ∆的面积S
解 （1）由题意得
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
==-⋅ -----------------------2分
又 0,A B π<+< 所以2,3
3
A B C π
π
+=
=
---------------------2分 （2）因为
2
2
2
2
2222cos ,21503
b b b b π=+-⨯⨯⨯+-= ----------------3分 解得 3,
5b b ==-（舍去） -------------------1分
1223sin 23S π=
⨯⨯⨯=
-------------------2分 21．（10分）已知}{n a 是各项为正数的等比数列，若1328a a a =⋅ （1）求4a
（2）设n n a b 2log =，①求证：}{n b 是等差数列；② 设91=b ，求数列}b {n 的前n 项和n S 解（1）由题意得 23114148,0,8a a a a a a a ⋅==⋅≠= --------------------------4分
（2）设数列}{n a 的公比为0q >，则
1
12122
2log log log log n n n n n n
a b b a a q a +++-=-==是一个常数，
所以数列}{n b 是等差数列 -----------------------------3分 因为4242log log 83b a ===，又19,b =设数列}{n b 的公差为d 则413,
2b b d d =+=- ------------------------------1分
2(1)
9(2)102
n n n S n n n -=+
⨯-=-+ -----------------------------2分
22．（12分）设二次函数a b x b ax x f 32)2()(2-+-+=是定义在]2,6[a -上的偶函数 （1）求b a ,的值 （2）解不等式x x f 2)
(2)
2
1
(->；
（3）若函数4)()(++=mx x f x g 的最小值为4-，求m 的值
解 （1）由题意得 20
260b a -=⎧⎨-=⎩
-----------------------3分
解得 2,
3b a == ----------------------1分
（2）由（1）知 2()35f x x =-，于是有 x x x x x 253,)21
(2)
2
1(2225
32<-=>-- -----------------------2分
解得 5
13
x -<< ----------------------2分
（3）由题意得 2
2
12()31,
4,12
m g x x mx --=+-=- --------------------2分
6m =± -------------------2分 23．（14分）某职业学校毕业生小王参加某公司招聘考试，共需回答4个问题。

若小王答对每个问题的概率均为
3
2
，且每个问题回答正确与否互不影响 （1）求小王答对问题个数ξ的数学期望E ξ和方差D ξ；
（2）若每答对一题得10分，答错或不答得0分，求小王得分η的概率分布； （3）若达到24分被录用，求小王被录用的概率。

解 （1）28
433
E ξ=⨯
= -----------------------2分
228
4(1)339
D ξ=⨯⨯-= -----------------2分
（2）由题意得η的取值为40,30,20,10,0 ----------------1分
44
4216(40)()381
P C η=== -----------------1分
33
42232(30)()(1)3381
P C η==-= -----------------1分
22
242224(20)()(1)3381
P C η==-= -----------------1分
11
34228(10)()(1)3381P C η==-= -----------------1分
4421(0)(1)381
P C η==-= -----------------1分
所以η的概率分布为
分 （3） 16
(24)(40)(30)27
P P P ηηη≥==+==
-------------------------------3分 24.（12分）在正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为2，侧棱长为3，D 是AC 的中点
（1） 求三棱锥ABC A -1的体积 （2） 求证：直线//1C B 平面BD A 1 （3） 求二面角A BD A --1的大小
解：(1)∵正三棱柱111C B A ABC -底面边长为2
∴360sin 222
1
0=⨯⨯⨯=∆ABC S 又311=A A
∴1..3
1
11==
∆-AA S V ABC ABC A -----------------------------4分 （2）连结1AB ，交1AB 于O ∵正三棱柱111C B A ABC -
∴O 为1AB 的中点，又D 为AC 的中点 ∴OD 为C AB 1∆的中位线，∴C B OD 1//
又⊂OD 平面BD A 1
∴C B 1平行平面BD A 1 -------------------------------4分 (3) ∵正三棱柱111C B A ABC -，∴AD BD ⊥ 又⊥1AA 平面ABC ∴1ADA <为三面角A BD A --1的平面角
又31=AA ，
1=AD ，∴0
160=<ADA -------------------4分 25.（14分）设双曲线22
213
y x a -
=的焦点分别为12,F F ,离心率为2 （1）求双曲线的标准方程及渐近线12,l l 的方程；
（2）若A,B 分别是12,l l 上的动点，且1225AB F F =.求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解 （1）设焦点坐标分别为12(0,),
(0,)F c F c -,则
222
3c
a
a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
---------------------------2分 解得 2,
1c a ==
双曲线的标准方程2
2
13
x y -= ----------------------2分 渐近线12,l l 的方程分别为
0,
0x x == --------------------2分
（2）因为124FF =，所以122520,10AB F F AB === ---------------1分
设1122,),
(,)A y B y
10= ① -----------2分 设AB 的中点(,)M x y ，则
12
2
y y x y +=
=
所以
1212,2y y x y y y -=
+= ② -------------2分
把②带人①，得
22
1
25
75
3
x y
+=------------------2分
因此AB的中点M轨迹为同学。

------------------1分。