2019年1月20日广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试文科数学答案

揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第1页（共6页）
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学
（文科）参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.
解析:
11.三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r ,母线的长为l ,则2284r l r l +=⇒+=, S 侧=2
(
)42
r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12.由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥,知()f x 在R 上单调递增,
且3
1()422()3
x x f x x x e e f x --=-
++-=
-,即函数()f x 为奇函数, 故2
(1)(2)0f a f a -+≤2
(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2
210a a ⇔+-≤,
解得112
a -≤≤
. 二、填空题
解析:16.由181n n n a a +=
+得
18n n n n a a a +==+18n n
a a +⇒-=, 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列,故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-,所以1
817
n a n =-, 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时,0n a >,数列{}n a 递减,故最大项的值为31
7
a =.
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第2页（共6页）
O
H
C
B A
P
三、解答题
17.解:（1）由正弦定理
sin sin a b
A B
=
得sin sin 0a B b A =≠,----------------------------------2分 又2sin cos sin 0a B A b A -=,
∴2cos 1A =,即1
cos 2
A =,------------------------------------------------------------------------4分
∵0A π<< ∴3
A π
=
.-----------------------------------------------------------------------------6分
（2）解法一:∵3
A π
=
∴23C B π=
-,从而62
C B ππ
-=-, ------------------------------7分
∴()sin sin(
)2
f x B B π
=
-sin B B =------------------------------------------8分
12(sin )2B B =+2sin()3
B π
=+---------------------------------------------10分
∵
3
3
B π
π
π<+
<,∴当6
B π
=
时,函数()f x 取得最大值,
这时6
3
2
C π
π
π
π=--
=
,即ABC ∆是直角三角形.-------------------------------------------12分
【解法二:∵3
A π
=
∴23
B C π
=
-, -----------------------------------------------------------------7分
∴2()sin(
))36f x C C ππ=-+-
11sin cos )22
C C C C =+- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵203C π<<,∴当2
C π
=时,函数()f x 取得最大值,
∴ABC ∆是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】
18.解:（1）∵AB ＝BC ,O 是AC 中点,
∴ BO ⊥AC , -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ,
且BO ⊂平面ABC ,平面P AC ∩平面ABC ＝AC,
∴ BO ⊥平面P AC ,----------------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ,------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ,BO ∩OH ＝O ,
∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第3页（共6页）
（2）解法1:∵△HAO 与△HOC 面积相等,
∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==,
∵BO ⊥平面P AC , ∴1
3
B HO
C OHC V S OB -∆=⋅, -------------------------------------------------8分
∵OH =,∠HOC=30° ∴1HC =,
∴12OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分
∴1132B OCH
V -==,即12
A BOH V -=.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】
19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ,则
120525*********
1060
t ⨯+⨯+⨯+⨯=
=（小时） ----------------------------------------2分
2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分
据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时,因1010.9<,据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分 （2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,
则这6人中来自甲组的人数为:6
10230
⨯=,--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为:
6
20430
⨯=,----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为:a b 、；来自乙组的4人为:c d e f 、、、,则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数
有:(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ,(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ,(,),(,),(,)c d c e c f ,
(,),(,),(,)d e d f e f ,共15种,----------------------------------------------10分
其中至少有1人来自甲组的有:(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ,(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f 共9种,故所求的概率93
155
P =
=.----------------------------------------------------------------------12分 20.解:（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB 为直角三角形,∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点,
∴
12222
a b =-=-,
即1a b ==,--------------------------------3分
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第4页（共6页）
∴椭圆的方程为2
213
x y +=.-----------------------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -,依题意知直线BN 的斜率存在且小于0,
设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<,
则直线BM 的方程为:1
1y x k
=--,------------------------------------------------------------5分
由2233,1.
x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22
(13)60k x kx +-=,----------------------------------------------6分
解得:2
613N k
x k
=+,1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分
∴||BN =
|N x ==
∴|||N B BN x x =
-2
6||
13k k =+,------------------------------------------------8分
【注:学生直接代入弦长公式不扣分！】
在1
1y x k
=-
-中,令0y =得x k =-,即(,0)M k -
∴||BM =分 在Rt △MBN 中,∵∠BMN=60°,
∴|||BN BM =,
2
6||13k k
=+
整理得23|10k k -+=,
解得||k =,∵0k <,
∴k =,------------------------------------------------------11分
∴点M
的坐标为3
.---------------------------------------------------------------------------12分 21.解:（1）()()()
21x f x x e '=--,-----------------------------------------------------------------1分
令()0f x '<,得2010x x e -<⎧⎨->⎩或20
10x x e ->⎧⎨-<⎩,-----------------------------------------------------2分
由2010x x e -<⎧⎨->⎩得02x <<,而不等式组20
10
x x e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分 ∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分 （2）依题意得()()()()()
221x
g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-,显然()20g '=,---5分
记()1x
h x e ax =+-,x R ∈,则()00h =,
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第5页（共6页）
当0a =时,()110h e =->；当0a ≠时,1
10a h e a ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
；
由题意知,为使2x =是函数()g x 唯一的极值点,则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分
只须()min 0h x ≥,因'()x
h x e a =+,
①当0a ≥时,'()0x
h x e a =+>,即函数()h x 在R 上单调递增,
而()1
110h a e
-=
--<,与题意不符； --------------------------------------------------------8分 ②当0a <时,由()0h x '<,得()ln x a <-,即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减,
由()0h x '>,得()ln x a >-,即()h x 在()()
ln ,a -+∞上单调递增,
故()()()
min ln h x h a =-, ------------------------------------------------------------------------10分 若1a =-,则()()min ()00h x h x h ≥==,符合题意；------------------------------------11分 若1a ≠-,则()()()
min 00()ln h h x h a =≥=-,不合题意；
综上所述,1a =-.----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由()min 0h x ≥,及(0)0h =,得()min (0)h h x =,
∴()ln 0a -=,解得1a =-.-----------------------------------------------------------------12分】 22.解:（1）由曲线C 的参数方程,得普通方程为2
4y x =,
由cos x ρθ=,sin y ρθ=,得2
24sin cos ρθρθ=, 所以曲线C 的极坐标方程为2
cos 4sin ρθθ=,[或2
4sin cos θ
ρθ
=
] --------------------------3分 2l 的极坐标方程为2
π
θα=+
；----------------------------------------------------------------------5分
（2）依题意设(,),(,
)2
A B A B π
ραρα+,则由（1）可得2
4sin cos A α
ρα
=
, 同理得2
4sin()
2cos ()
2
B π
αρπα+=+,即24cos sin B αρα=,--------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |
cos sin αααα⋅=⋅
∵02πα<<∴0απ<<,∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16
sin 2α
=16≥, ----------------9分
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)答案 第6页（共6页）
△OAB 的面积的最小值为16,此时sin21α=, 得22
π
α=
,∴4
π
α=
.-------------------------------------------------------------------------10分
23.解:（1）①当2x <-时,()22(2)62f x x x x =-+++=+<,
解得4x <-,-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时,()22(2)322f x x x x =-+-+=--<, 解得4
23
x -
<<,--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时,()22(2)62f x x x x =--+=--<
解得2x ≥,---------------------------------------------------------------------------------------------3分
上知,不等式()2f x <的解集为4
(,4)
(,)3
-∞--+∞；-----------------------------------5分 （2）解法1:当[2,2]x ∈-时,()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-,------------6分 设()()g x f x x =-,则[2,2]x ∀∈-,()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立,
只需(2)0
(2)0
g g -≥⎧⎨
≥⎩,-------------------------------------------------------------------------------------8分
即60420
a ≥⎧⎨
--≥⎩,解得1
2a ≤---------------------------------------------------------------------10分 【解法2:当[2,2]x ∈-时,()2(2)f x x a x =--+,----------------------------------------------6分
()f x x ≥,即2(2)x a x x --+≥,即(2)2(1)x a x +≤----------------------------------7分
①当2x =-时,上式恒成立,a R ∈；------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时,得2(1)2x a x -≤+6
22x =-+
+恒成立, 只需min
6
1(2)2
2
a x ≤-+=-+,
综上知,1
2
a ≤-
.----------------------------------------------------------------10分】。