2022高三数学高考最后30天冲刺练习：不等式

2022高考数学最后30天冲刺练习：不等式
例1、不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪
⎨+->⎪⎩的解集为__________________．
2
22301313,13(2)(1)01020x x x x x x x x x x ⎧--<-<<-<<⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎨+->->+->⎪
⎪⎩⎩⎪⎩．
例2、若不等式组2
220
2(52)50
x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有，则的取值范围是 ．
[3,2)- 由220x x -->，得1x <-，或；由22(52)50x k x k +++=，得5
2
x =-，
或x k =-，当52k -<-，即5
2
k >时，不在不等式的解集内；
当5
2
k <时，则根据题意得23k -<-≤，即32k -≤<．
例3、若三条直线123:0,:20,:5150l x y l x y l x ky -=+-=--=围成三角形，则的取值范围是（ ）．
A ．k R ∈
B ．1,1,0k R k k k ∈≠-≠≠,且
C ．5,5,1k R k k k ∈≠-≠≠,且
D ．5,5,10k R k k k ∈≠-≠≠-,且 D 直线的斜率不能等于的斜率，即
55
1,1k k
≠-≠；且直线不能经过的交点，即10k ≠-． 例4、若实数0,0x y >>，且3412x y +=，则lg lg x y +的最大值是_______________． 2
113434()312122
x y xy x y +=
⨯⨯≤=，lg lg lg()lg3x y xy +=≤． 例5、已知实数满足330
00
x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩,则21y z x +=-的取值范围为______________．
(,2][1,)-∞-+∞ 做出可行域,把2(2)
11
y y z x x +--=
=-- 看作可行域上的动点(,)x y 到定点(1,2)-的斜率，易知两个临界的点为(3,0),(0,0)，所以1,2z z ≥≤-或
例6、不等式组⎩⎨⎧>-<-1
)1(log ,
2|2|2
2x x 的解集为 （ ）A ．)3,0( B )2,3( C ．)4,3( D ．
把=3代入不等式组验算得=3是不等式组的解，则排除A 、B, 再把=2代入不等式组验算得
=2是不等式组的解，则排除D ，所以选C
例7、若满足⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+,
0,0,2432,3692,123y x y x y x y x ，则使得y x z 23+=的值最小的),(y x 是 （ ）
A 、（，3）
B 、（3，6）
C 、（9，2）
D 、（6，4）
把各选项分别代入条件验算，易知B 项满足条件，且y x z 23+=的值最小，故选B 。

例
8
、
若
1
>>b a ，
b
a lg lg ⋅()
b a lg lg 21
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2lg b a 2
310003025
⎪⎩
⎪
⎨⎧+->+->x x x x x 22330x
x
x x +-=
+-2233x
a x x )1(42->-}
20|{<<⊆x x A 24x x y -=x
a y )1(-=[)
+∞∈,2a 01,
a <<(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>(1)(1)log (1)log (1)
a a a a +--<+(1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++(1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)
a a a a a a a a +-+---+>--+2
1132
log 21log )1(log 2
32
3
)1(-=<=-+a a 12log 23
log )1(log 2
12
1
)1(-=>=+-a a 113x <+<()0,2()()2,02,4-()4,0-()()4,20,2--,1
11b a <<a
b b a log log >2
|log log |>+a b b a 1
)(log 2<a b |
log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+,1
11b
a <<
0log log 1log log >>==>a b a b b b a a 1
log log =⋅a b b a =
x sgn 101⎧⎪⎨⎪-⎩
00<=>x x x x
x x sgn )
12(2->+0221
x x x >⎧⎨
+>-⎩03
x <<()10221x x x -<⎧⎪⎨+>-⎪⎩33333344
x +-+-<<
()00
221x x x =⎧⎪⎨+>-⎪⎩
}34
33
3|{<<+-
x x ||||||c b c a b a -+-≤-a
a a
a 112
2+
≥+
2
1||≥-+-b a b a a
a a a -+≤+-+21321
≥-+
-b
a b a )
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 1x
1
b －
1a 1a 1b 1a 1b
1b －
1a
1232,2,log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩23log (1)
x -.4
C
1a x y +1y ax a x y
+++21a a ++1
x =-21x k )1(2+2,0x x ==x
k )1(2+4
22min 222455(1)2[(1)2]252
111
k x k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=-+++2a
,,0
a b c >()423,a a b c bc +++=-2423
a a
b a
c bc +++=-2222211
423(44422)(4442)44
a a
b a
c bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=
+++++++++≤22
(232)(2)a b c -++≤2a b c ++232-b a c b a >∈,R 、、b
a 1
1<
22b a >1
122+>
+c b
c a |
|||c b c a >3)61
(log 2≤++
x
x 1(6)
82
2
log
3log x x ++≤=1
68x x
+
+≤12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨
⎪++>⎪⎩
{}
(322,322)1x ∈---+⋃01
21>+-x x
11
a -≤≤()f x ()2f k k ≥()()
2
11f k k +≥+()39
f ≥()2f k k ≥()416f ≥4k ≥()2f k k <()749f ≥7k <()2f k k <()425f =4k ≥()2f k k ≥()2f k k ≥()2f k k ≥()2f k k ≥7k <()2
f k k <()42516,f =≥∴
11bx
b 0
01x
x b
a 11ax x
a 0
0x x 1x 0x x bx 101
1b
x x
x 1ax 01b
a
x
x 0
a
⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨
⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪
⇔⇔⇒⎨⎨
⎩⎪⎪⎩
＋＋－－－或－（＋）－或（－）或
4k ≥()2
f k k ≥||2||2b a ab +155242552
22
22214414||.a b a b ab =-⇒+=≥1
||.
4
ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.
a b a b ab +=+-
=2||2||ab a b ∴=≤=+
=
=
11||4,
4||
ab
ab ≤∴
≥=1(01)x y a a a -=>≠，10(0)mx ny mn +-=>11m n +1(01)x y a a a -=>≠,(1,1)A 1110m n ⋅+⋅-=1
m n +=,
m n >2m n
+≥⇒
≥11224m n +≥
⋅=1111()()22 4.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=(12)
x ∈，240x mx ++<5
m ≤-2()4,f x x mx =++[12]x ∈，
(12)x ∈，240x mx ++<(1)0,(2)0
f f ≤≤140,4240m m ++≤ ++≤5m ≤-lo
g (3)1(0,1)a y x a a =+->≠10mx ny ++=0
mn >12
m n
+log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠(2,1)A --(2)(1)10
m n -⋅+-⋅+=21m n +=,0
m n
>12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+
⋅+=++≥+=[]
10-，2
20212x
ax a
--≥=220
x ax a ⇒--≥2(2)40(1)010.a a a a a ⇒∆=+≤⇒+≤∴-≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0
,00
20
63y x y x y x 23a b +62538311
4a2a
23a b
+2323131325()()26666a b b a a b a b ++=++≥+=03434
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
43y kx =+
7337433
4
3434x y x y +=⎧⎨+=⎩43144(4)12
33-⨯=y kx =34x y +=1223BCD S S ABC ∆=∆=1
2D
x =52D y =
5147
,2233
k k =⨯+=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤+≤+>>18
3213300y x y x y x y
x z 35+=20
30
x y x y -≥⎧⎨
+≥⎩224
x y +=4π2π34π32
π
1,213-11|()|
2
3tan 1111|23
α--==+⋅-（）4πα=2
π
0,0.
a b >>11
333a b a b
+
是与的等比中项，则 4
C
14
333=⋅b a 1
=+b a 4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a b a a b =2
1
=
=b a a b +<<102()x b -01<<-a 10<<a 31<<a 63<<a 2()x b -02)1(222<-+-b bx x a 0
4)1(4422222>=-+=∆b a a b b 11+<<--a b x a b 110--<<+<a b x a b 11+<<--a b x a b a b +<<101
1
0<+<a b
21
3-<--<-a b
31
2<-<
a b
101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
1
C 0
10101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与2
3
2313x x a a
+--≤-(,1][4,)-∞-+∞(,2][5,)-∞-+∞(,1][2,)
-∞+∞24314313x x x x a a
-≤+--≤+--≤-对22343041a a a a a a -≥-≥≥≤-即，解得或0212<---x x 221(2)0
x x x ≥⎧
⎨
---<⎩
12221(2)0x x x ⎧
<<⎪
⎨⎪-+-<⎩12(2
1)(2)0
x x x ⎧
≤⎪
⎨
⎪--+-<⎩1
12
x <<112
x -<≤
11
x -<<{|11}x x -<<{|11}x x -<<}
1|{},102|{},73|{a x x C x x B x x A <<=<<=<≤=B
A a
B A 求,φ≠ }
102|{},73|{<<=≤≤=x x B x x A }102|{<<=∴x x B A φ≠C b
a S 11+=
41
.12=⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≤+≥+Z y x y x y x ,8611216,200420260max =⋅+⋅=Z 2a 246426)42)(11(11+=++=++=+=
a
b b a b a b a b a s 2
21:200,:
0||2
x
p x x q x ---><-22
:200,:5, 4.1:0,1,2, 2.||2
p x x p x x x q x x x x -->><--<-<<<->-即即1或2()(1)2ln(1)f x x x =+-+1[1,1]x e e
∈--恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于的方程2()f x x x a =++在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
解：（1）函数的定义域为（-1, ∞），∵ /12(2)()2[(1)]11x x f x x x x +=+-=++，由/()0f x >，
得>0；由/()0f x <，得10x -<<
∴ f 的递增区间是(0,)+∞，递减区间是（-1, 0）
（2）∵ 由/2(2)()01
x x f x x +==+，得=0,=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f 在1[1, 0]e
-上递减，在[0, 1]e -上递增
又 211(1)2f e e -=+， 2(1)2f e e -=-, 且22122e e ->+
∴ 当1[1,1]x e e
∈--时，f 的最大值为
故当22
m e >-时，不等
式 f
2()f x x x a
=++12ln(1)0
x a x -+-+=()12ln(1)
g x x a x =-+-+/21
()111
x g x x x -=-=
++/()0g x >1或<-1（舍去） 由/()0g x <, 得11x -<<
∴ g 在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增
为使方程2()f x x x a =++在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根， 只须g=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有(0)0,
(1)0,(2)0.g g g ≥⎧⎪<⎨
⎪≥⎩
∵ 22ln 232ln 3-<-, ∴ 实数a 的取值范围是 22ln 232ln 3a -<≤-
点评：与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识，通过推理来解决问题．
例5、在△ABC 中，O 为中线AM
上的一个动点，若AM
＝2，则OA(OB
+OC)的最小值
是
解法一：如图,-
≥-=⋅⋅=+⋅2)(
=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:－2
解法二：选取如图等腰直角三角形ABC ，由斜边上的中线AM=2， 则A0,0 ,B2,0, C0,2, M )2,2,
设O,, 且=, ]2,0[∈，则
)(+⋅=)]22,(),22)[(,y x y x y x --+----
=)222,222)(,(y x y x ----
=）
y x y y x x 得由=-+-(22222222x x 2442-=
设f=42
-4,]2,0[∈x ,结合二次函数图像知:当=
2
2
时, f min =4.2422
22421-=-=⨯-⨯
例6、已知函数x a x x f ln )(2-=在是增函数,x a x x g -=)(在0,1为减函数．（I ）求、的表达式；（II ）求证:当时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解；III ）当1->b 时,若2
1
2)(x bx x f -
≥在∈内恒成立,求的取值范围．
解：（I ）22()2a x a
f x x x x
-'=-=，依题意()0f x '>在]2,1(∈x 上恒成立
即 22x a <在]2,1(∈x 上恒成立，∵2
22x > （]2,1(∈x ，∴①
又()1g x '==
依题意()0g x '<在)1,0(∈x 时恒成立, 即x a 2>,)1,0(∈x 恒成立
∵
2>（)1,0(∈x ），∴ ②，由①、②得
∴
2()2ln ,()f x x x g x x =-=-（II ）由1可知,方程2)()(+=x g x f
,2
2ln 20x x x --+=即
设22ln 2)(2-+--=x x x x x h
,2()21h x x x '=-
-则 令0)(>'x h ,并由,0>x
得1)(222)0x > 解得 令,0)(<'x h 由0,01x x ><<解得 列表分析:
知在处有一个最小值0，当10≠>x x 且时,＞0 ∴ 0)(=x h 在0,∞上只有一个解
即当＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解． （III ）设2
2
1
()2ln 2x x x bx x ϕ=--+ 则 322
()220x x b x x
ϕ'=-
--< ∴ 在上为减函数，∴
min ()(1)1210x b ϕϕ==-+≥ 又1b >-
所以11≤<-b 为所求范围．
例7、数列的首项=1，前项和为满足n 2S k =n+1（a -1）（常数，*
N n ∈）．（1）求证：数列是等比数列（2）设数列的公比为，作数列，使13b =，1
1
(
)n n b f b -=（2，3，4，…）
，求数列的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*
N m ∈，且m n <；
使（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1
<
2007
，试求的最小值． 解：（1）n 2S k =n+1（a -1）①，当时，n-12S k =n （a -1） ②
①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）
由①，1112a k =+
，∴1211122n a k a k k ++==+,又211
12a a k
=+符合上式，
∴是以1为首项，1
12k
+
为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k +
，∴111()112
n n n b f b b -==+-（），∴112(2)2n n b b --=-又13b =，即121b -=，11
22
n n b b -=-，∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数
列．∴1
1
2()
2
n n b --=，∴1
12()
2n n b -=+． （3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则21
11()2
n n n c c -+⋅=
∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111
1
11
lim (222)
m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣
⎦
222n （）（）（） =1111141122lim 132200714
m m x --→∞-=<-
22n+2（）（）（） ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22 ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥ 又∵*
N m ∈，∴的最小值为7．
例8、在Rt ABC ∆中，0
4390AC BC C ==∠=，，，D E ，分别为AC AB ，边上的点，且//DE BC 。

沿将ADE ∆折起（记为1A DE ∆），使二面角1A DE B --为直二面角．⑴当点在何处时，的长度最小，并求出最小值；⑵当的长度最小时，求直线与平面1A BC 所成的角的大小；⑶当的长度最小时，求三棱锥1A BCA -的内切球的半径．
解法一：⑴连接，设()04CD x x =<<，则14A D AD x ==-。

因为//DE BC ，所以AD DE ⊥，故1AD DE ⊥，从而1AD BCDE ⊥平面，故1AD BD ⊥。

又因为
229BD x =+，所以
1A B ==，当且仅当取等
号。

此时为边的中点，为边的中点。

故当为边的中点时，的长度最小，其值为；
⑵连接，因为此时D E ，分别为AC AB ，的中点，故1111
,2
2
A E A
B A D A
C =
=
，所以11AA B AAC ∆∆，均为直角三角形，从而11AA A BC ⊥平面，所以1A BA ∠即为直线与平面1A BC 所成的角。

因为11cos 5A B A BA AB =
=
，所以1arccos 5
A BA ∠=即为所求； ⑶因1AD BCDE ⊥平面，又CD BC ⊥，所以1BC
AC ⊥．又11AC A A ==故
三
棱
锥
1A BCA
-的表面
积
为
1111
34234102222
S =
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+。

因为三棱锥1A BCA -的体积11342432V =⋅⋅⋅⋅=
，所以3V r S =
=。

法二：⑴因1AED BCDE ⊥平面平面，故119
cos cos cos 25
A E
B A ED BED =⋅=-． 设BE x =，则5AE x =-．
所以
1A B ==，当且仅当5
2
x =
取等号。

此时为边的中点。

故当为的中点时，的长度最小，其值为； ⑵因1AD BCDE ⊥平面，又CD BC ⊥，所以1BC AC ⊥。

记点到平面1A
BC 的距离
为，因
1
1AC A A =
=，故
1111
33223232
d ⋅⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅，解得
d =。

因sin 5d
BE θ=
=
，故sin 5
arc θ=； ⑶同“法一”．
法三：⑴如图，以为原点建立空间直角坐标系，设
()04CD x x =<<，则()()10,,43,0,0A x x
B -，，所以
1A B ==，当且
仅当取等号。

此时为边的中点，为边的中点。

故当为边的中点时，的长度最小，其值为；
⑵设()1,,n x y z =为面1A BC 的法向量，因()()10,2,2,3,0,0A B ，
故
300220x x y z y z
==⎧⎧⇒⎨⎨
+==-⎩⎩．取，得()10,1,1n =-。

又因13,2,022BE BA ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，故5||||2,22BE n BE n ==⋅
=-，。

因此cos ,5||||
BE n BE n BE n ⋅==-
⋅，从
而2sin cos ,BE n θ=-=
，所以arc θ= ⑶由题意可设()1,,O
r y r 为三棱锥1A BCA -的内切球球心，则
111|
|||||CO n r n ⋅==，可得
)
1y r =。

与⑵同法可得平面1A AB 的一个法向量
()24,3,3n =
，又)(
)
13,
1,BO r r r =-，故12
21012||||||
r BO n r n -⋅==，解
得r =
r =例9、为宣传2022年北京奥运会，某校准备成立由4名同学组成的奥运宣传队，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选奥运会宣传队队员的机会是相同的（1）记ξ为女同学当选人数，求ξ的分布列并求E ξ；（2）设至少有n 名男同学当选的概率为2
1
,≥
n n P P 求时n 的最大值 解：（1）ξ的取值为0、1、2、3、4
;
126
1
)4(;6310
12620)3(;211012660)2(;6320
12640)1(;1265)0(494
44
93
4154924254
9
1
4354945==================C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ ξ的分布列为
6321
63
126
.9
;
2
126)0(4<===ξP P
;2
114563201265)1()0(3<=+=
=+==ξξP P P .21652110145)2()1()0(2>=+==+=+==ξξξP P P P n P n ,2
1
≥∴要使－1＞f 1m －
2
＞fm 2恒成立，求实数m 的取值范围
解 由已知得0＜a ＜1，由f 3m －1＞f 1m －2＞fm 2，∈0，1恒成立 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔211132
2
m x mx x
mx mx 在∈0，1恒成立 整理，当∈0，1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2
x x m x
x 恒成立， 即当∈0，1时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+>-<11212
2x x m x
x m 恒成立， 且=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2
x x m x
mx 恒成立， ∵2121212-=-x x x 在∈0，1上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212
-恒成立m ＜0
又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在∈0，1上是减函数，∴11
2-+x x ＜－1 ∴m ＞1
1
2-+x x 恒成立m ＞－1
当∈0，1时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+>-<11212
2x x m x
x m 恒成立m ∈－1，0 ① 当=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1
)1(122
2
x x m x
mx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②
∴①、②两式求交集m ∈－1，0）,使∈0，1时，
f 3m －1＞f 1m －2＞fm 2恒成立，m 的取值范围是－1，0
例11、奇函数)0[)(∞+，，且在的定义域为
R x f 上是增函数，当2
0π
θ≤≤时，是
否存在实数m ，使)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对所有的]2
0[π
θ，∈均成
立若存在，求出适合条件的所有实数m ；若不存在，说明理由。

解：易知0)0()(=f R x f 上递增，且在，
)2cos 24()32(cos >-+-θθm m f f
22cos cos 4cos 232cos )
4cos 2()32(cos )cos 24()32(cos 2>-+-⇒->-⇒->-⇒-->-⇒m m m m m m f f m m f f θθθθθθθθ。

故或或恒成立，从而
上，不等式，。

由题设，在，则令224022112
022020)22(4022]10[10cos 2
2->⎪⎩⎪⎨⎧>-+->⎪⎩⎪⎨⎧>-<<--=∆>-+-≤≤=m m m m m m m m m mt t t t θ 因此，满足条件的实数m 存在，它可取)224(∞+-，内的一切值。

例12、已知函数1
3
)(++=
x x x f ,数列满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n 1设3-=n n a b 证明:n n b b <+1 （2）证明：n b b b +++ 2113+ 证明：（1）因为1
3
)(++=x x x f ,数列满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n 所以1
)
3)(13(313311+--=-++=
-=++n n n n n n a a a a a b =
31
1
3-+-n n a a 33)13(-<--<n n a a （)0>n a 所以 ：n n b b <+1 （2）由（1）得
<-=3n n a b n n n b b )13()13()13(21-<<-<---
所以n n b b b )13()13()13(221-++-+-<+++
3
213)
13(1]
)13(1)[13(--<
-----=
n 13+=
即n b b b +++ 2113+。