2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：（共40分）
1．（4分）以下图形中不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（4分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
3．（4分）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）计算，正确的是（）
A．B．C．D．
5．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则DC的长为（）cm
A．4B．2C．4D．2
6．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）
A．70°B．65°C．55°D．35°
7．（4分）关于二次函数y＝x2﹣6x+5下列说法中错误的是（）
A．用配方法可化成y＝（x﹣3）2﹣4
B．将它的图象向下平移5个单位，会经过原点
C．函数有最大值，最大值为﹣4
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
8．（4分）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（）（1）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
A．∠DAM＝30°B．∠MBC＝30°
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
10．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m≥B．m＜且m≠0C．m≤且m≠0D．m≤
二、填空题（共24分）
11．（4分）写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式．
12．（4分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AD边的中点，如果菱形的周长为12，那么OE的长是．
13．（4分）平行四边形ABCD对角线的交点在坐标原点，若A点坐标为（﹣2，3），则C 点的坐标为．
14．（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为．
15．（4分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣c的图象上，若﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．16．（4分）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息：
最小值中位数众数平均数
267m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是．
三、解答题
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；（用配方法）（2）2x2+x﹣15＝0．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E，F，且BE＝DF．求证：平行四边形ABCD是菱形．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，连接EC，若EC＝4，DE＝2，DC＝2．求AC的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过原点，且与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（m，2），直线l
2与x轴交于点B．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）点P（n，0）在x轴上，过点P作平行于y
轴的直线，分别与直线l1，l2交于点M，N．若MN
＝OB，求n的值．
22．（10分）已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．
23．（10分）书店经营某种读物，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书，设该读物的销售单价为x元（x＞40）．
（1）写出销售数量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）写出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式；
（3）若书店获得了10000元销售利润，求该读物的销售单价x应定为多少元？
24．（12分）若二次函数C1：y1＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求a，b满足的数量关系式；
（2）若二次函数C1过点（﹣，6a+6）；
①求a；
②将二次函数C1的图象平移，得到新的抛物线C2，其中E是点A的对应点．设点E的坐标为（m，n），若点B在抛物线C2上，且﹣3≤m≤0，求n的取值范围．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，在直线AB上方作正方形ABDE，将线段CB绕点B逆时针旋转90°至BF，连接AF，CD．
（1）补全图形，求证：AF＝CD；
（2）AC＝AB，求的值；
（3）若AC＝4，当FD取最小值时，求BC的值．
2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题：（共40分）
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，
即一次函数y＝2x﹣3不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．4．【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝+3
＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
5．【分析】首先利用矩形的性质和已知条件可以证明△AOB为等边三角形，然后利用矩形的性质和等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，AB＝CD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA，
而AC＝4cm，
∴AB＝2cm，
∴CD＝2cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，也利用了等边三角形的性质，题目比较简单．6．【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，
∴∠B1＝∠ABC＝55°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB1＝∠B1＝55°，
∴∠α＝70°，
故选：A．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
7．【分析】运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x＝0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，故A正确，不符合题意；
∴其对称轴为x＝3，开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），对称轴为x＝3，
∴函数有最小值，最小值为﹣4，当x＜3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；
令x＝0可得y＝5，
∴与y轴的交点坐标为（0，5），
∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
8．【分析】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴直线x＝﹣＝﹣＜0，
∴对称轴在y轴的左侧，
由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出开口方向，对称轴以及与y轴的交点情况．
9．【分析】由作图可知，AM垂直平分线段CD，证明∠DAM＝30°，即可一一判断．【解答】解：由作图可知，AM垂直平分线段CD，
∴∠AMD＝90°，CM＝DM，
∵四边形ABCD是菱形，AB∥CD，
∴AD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝BC＝AB＝2DM，
∴∠DAM＝30°，
∵AB＝2DM，AB∥CD，
＝2S△ADM，
∴S
△ABM
∵∠D＝60°，AD∥CB，
∴∠BCM＝180°﹣60°＝120°，
∵BC＞CM，
∴∠CMB＞∠CBM，
∵∠CBM+∠CMB＝60°，
∴∠CBM＜30°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0，且m≠0，
解得：m≤且m≠0．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
二、填空题（共24分）
11．【分析】直接利用二次函数顶点在原点得出一次项系数和常数项都为零，且开口向下则a＜0，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：y＝﹣2x2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数图象特点是解题关键．12．【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出EO的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为12，
∴AD＝3，∠AOD＝90°，
∵E为AD边中点，
∴OE＝．
故答案为：
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
13．【分析】根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，再根据关于原点对称的图形的特点求出即可．
【解答】解：∵▱ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，▱ABCD的对角线交点在坐标原点，
∴A和C关于坐标原点对称，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴点C的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，注意：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
14．【分析】根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可．
【解答】解：∵次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（1，2）在直线y＝kx+b上，
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴当x＞1时，kx+b＞2，
即不等式kx+b＞2的解集为x＞1．
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确识图是解此题的关键．15．【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣c，
∴图象开口向上，且对称轴为x＝﹣＝2，
∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离大于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．16．【分析】根据众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
【解答】解：由题意中位数为6，众数为7，
当大于6的数中，有可能有两个是7，一个是9，符合题意，故①正确，
当7个人的成绩为2，4，6，6，7，7，7，也符合题意，故②错误，
当7个人的成绩为2，4，5，6，7，7，10时，7个数的和最大，最大值41，故③错误，当7个人的成绩为2，2，4，6，7，7，7时，平均数为5，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
三、解答题
17．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣5＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2x2+x﹣15＝0，
（2x﹣5）（x+3）＝0，
2x﹣5＝0或x+3＝0，
所以x1＝，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．【分析】证△AEB≌△AFD（ASA），得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△AEB≌△AFD是解题的关键，属于中考常考题型．
19．【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，则由x1+x2+x1x2＝m2﹣4m 得到﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，
∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值为1或4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
20．【分析】由平行四边形的性质得AO＝CO，DC＝AB＝2，易证OE垂直平分AC，则EC＝AE＝4，再由CE2+DE2＝CD2，得出∠CED＝90°，推出△AEC是等腰直角三角形，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DC＝AB＝2，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴EC＝AE＝4，
∵DE＝2，
∴CE2+DE2＝42+22＝（2）2＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的性质等知识；证得∠CED＝90°是解决问题的关键．
21．【分析】（1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）先求得B的坐标，即可求得OB＝3，根据题意M（n，2n），N（n，﹣n+3），且|2n+n ﹣3|＝3，解方程即可求得n的值．
【解答】解：（1）将点A（m，2）代入y＝﹣x+3得：2＝﹣m+3，解得：m＝1，
故点A（1，2），
设直线l1的表达式为：y＝kx，
将点A的坐标代入得：2＝k，解得：k＝2，
故直线l1的表达式为：y＝2x；
（2）在直线l2：y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
∵点P（n，0）在x轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线l1，l2交于点M，
N．
∴M（n，2n），N（n，﹣n+3），
∴MN＝|2n+n﹣3|，
∵MN＝OB，
∴|2n+n﹣3|＝3，
解得n＝2或n＝0．
【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式、两直线平行和相交的问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出M、N的坐标是解题的关键．
22．【分析】（1）设一般式为y＝ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可；
（2）先得出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的对称性得出点N的对称点，最后利用二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，
得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，
∵y＝2x2﹣x﹣3＝，
∴顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，
∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），
∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，
∴﹣≤x1≤1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10本书，可知销售单价为x元时，就会少售出10（x﹣40）本书，进而表示出销售数量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）根据销售利润＝每件利润×销售量，即可得出销售利润w与销售单价x之间的函数
关系式；
（3）将w＝10000代入（2）中解析式，得到方程﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，解方程即可解答题目．
【解答】解：（1）设该读物的销售单价为x元（x＞40），则少售出10（x﹣40）本书，根据题意得，y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x；
（2）每件的利润为（x﹣30）元，
根据题意得，w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30），
化简得，w＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（3）根据题意得，﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得，x1＝50，x2＝80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
24．【分析】（1）将点A（0，2），B（﹣1，0）代入y1＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）①将点（﹣，6a+6）代入y1＝ax2+bx+c，即可求解；
②根据题意求出平移后的函数解析式y2＝﹣（x﹣1﹣m）2++n﹣2，再将B点代入，
由m的取值范围确定n的取值即可．
【解答】解：（1）将点A（0，2），B（﹣1，0）代入y1＝ax2+bx+c，
∴，
∴a﹣b＝﹣2；
（2）①将点（﹣，6a+6）代入y1＝ax2+bx+c，
∴﹣+c＝6a+6，
∴a＝﹣；
②∵a＝﹣，
∴b＝，
∴y1＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∵平移后A（0，2）点对应点E（m，n），﹣3≤m≤0，
∴向左平移|m|个单位，
∴y2＝﹣（x﹣1﹣m）2++n﹣2，
∵B（﹣1，0）在抛物线C2上，
∴0＝﹣（﹣1﹣1﹣m）2++n﹣2，
∴n＝（m+2）2﹣，
∵﹣3≤m≤0，
∴﹣≤n≤2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数平移的性质，点平移的性质是解题的关键．
25．【分析】（1）根据题意补全图形，利用旋转的性质和正方形性质可证得△CBD≌△FBA （SAS），即可证得结论；
（2）如图2，连接AD、CD、AF，运用勾股定理可得AF＝CD＝AB，即可求得答案；
（3）如图3，过点B作BG⊥AC于点G，连接AD，过点F作FK⊥AD于点K，交直线BG于点L，过点D作DH⊥BG于点H，设AB＝x，则AD＝x，AG＝BG＝x，再利用旋转的性质可证得△BCG≌△FBL（AAS），再运用勾股定理可得DF2＝DK2+FK2＝4x2﹣8x+16＝4（x﹣）2+8，根据非负数的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：补全图形如图1所示，
由旋转知：BF＝BC，∠CBF＝90°，
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝BA，∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝90°+∠ABC，∠ABF＝∠CBF+∠ABC＝90°+∠ABC，∴∠CBD＝∠ABF，
在△CBD和△FBA中，
，
∴△CBD≌△FBA（SAS），
∴AF＝CD；
（2）解：如图2，连接AD、CD、AF，
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝BA，∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝45°，AD＝AB，
∵∠BAC＝45°，AC＝AB，
∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝AB，
由（1）得AF＝CD，
∴AF＝AB，
∴＝＝；
（3）如图3，过点B作BG⊥AC于点G，连接AD，过点F作FK⊥AD于点K，交直线BG于点L，过点D作DH⊥BG于点H，
设AB＝x，则AD＝x，AG＝BG＝x，
∵∠BGC＝∠BLF＝90°，
∴∠CBG+∠C＝90°，
∵线段CB绕点B逆时针旋转90°至BF，
∴∠CBF＝90°，CB＝BF，
∴∠CBG+∠FBL＝90°，
∴∠C＝∠FBL，
在△BCG和△FBL中，
，
∴△BCG≌△FBL（AAS），
∴FL＝BG＝x，BL＝CG，
∴GL＝BG+BL＝AG+CG＝AC＝4，
∵∠CAK＝∠AGB＝∠AKL＝90°，
∴四边形AGLK是矩形，
∴LK＝AG＝x，AK＝GL＝4，
∴DK＝AD﹣AK＝x﹣4，FK＝FL+LK＝x，
在Rt△DFK中，DF2＝DK2+FK2＝（x﹣4）2+（x）2＝4x2﹣8x+16＝4（x﹣）2+8，
∵（x﹣）2≥0，
∴4（x﹣）2≥0，
∴4（x﹣）2+8≥8，
即当x＝时，DF2的最小值为8，
∴DF的最小值为2，
∴AB＝，AG＝BG＝1，CG＝3，
在Rt△BCG中，BC＝＝＝，
∴BC的值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，完全平方公式，非负数的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。