高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义练习 新人教A版必修4-新人教A版高

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课时分层训练
‖层级一‖|学业水平达标|
1.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →
等于( ) A ．BC → B ．DB → C ．BD →
D ．CB →
解析：选A BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →
.故选A ．
2．(2019·某某某某十校高一期末)如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 边的中点，则( )
A ．AE →＝A
B →＋12AD →
B.AE →＝AB →－12AD →
C ．AE →＝12AB →＋A
D →
D.AE →
＝－12
AB →＋AD →
解析：选C 因为点E 为CD 边的中点，所以AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AB →
，故选C ．
3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →
|等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 3
解析：选B 由正六边形知FE →＝BC →
. 所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，
所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →
|＝2.故选B.
4．点O 是▱ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →
等于( ) A ．AB → B ．BC → C ．CD →
D ．DA →
解析：选A 因为点O 是▱ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →
.故选A ．
5．在▱ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →
|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形
D ．不确定
解析：选B ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|，|BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，∴|BD →|＝|AC →
|，∴▱ABCD 是矩形．
6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →
＝________.
解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →
. 答案：AC →
7．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →
|＝________. 解析：在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →
|＝1. 答案：1
8．小船以10 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
解析：
如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2
＋|v 2|2
＝|v 0|2
，得(103)2
＋102
＝|v 0|2
，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
9．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →
|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解：如图，∵|OA →|＝|OB →
|＝3，
∴四边形OACB 为菱形．
连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，AD ＝BD ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →
|＝3. ∴在Rt △BDC 中，CD ＝33
2.
∴|OC →
|＝|a ＋b |＝332
×2＝3 3.
10．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点． 求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.
证明：∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →
＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋O D →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →
＋0＋0 ＝4PO →，
∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. ‖层级二‖|应试能力达标|
1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( ) A ．PA →＋PB →
＝0 B ．PC →＋PA →
＝0 C ．PB →＋PC →
＝0
D ．PA →＋PB →＋PC →
＝0
解析：选B 因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，则PC →＋PA →
＝0.故选B. 2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD 必为平行四边形．故选D.
3．已知▱ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →
＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是( )
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．①②
解析：选A 因为在▱ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →
＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．故选A ．
4．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →
＋DO →
＝( )
A ．CD →
B ．D
C → C ．DA →
D ．DO →
解析：选B OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →
.故选B. 5．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，则|OA →＋OB →
|＝________.
解析：∵|OA →|＝|OB →|，且∠AOB ＝90°，∴|OA →＋OB →|是以OA →，OB →
为两邻边的正方形的对角线长，∴|OA →＋OB →
|＝3 2.
答案：3 2
6．若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →
＝________.
解析：延长AG 至E 交BC 于D ，使得AG ＝GE ，则由重心性质知D 为GE 中点，又为BC 中点，故四边形BGCE 为平行四边形．
∴GE →＝GB →＋GC →.又GA →＝－GE →，∴GA →＋GB →＋GC →
＝0. 答案：0
7．(2018·某某某某七中期中)在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →
＝d ，则下列等式中成立的是________(填序号)．
①a ＋b ＝c ；②a ＋d ＝b ；③b ＋d ＝a ；④|a ＋b |＝|c |.
解析：由向量加法的平行四边形法则，知a ＋b ＝c 成立，故|a ＋b |＝|c |也成立；由向量加法的三角形法则，知a ＋d ＝b 成立，b ＋d ＝a 不成立．
答案：①②④
8．(2019·某某某某一中月考)雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2 3 m/s ，现有东风
且风速为2 m/s ，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？ 解：
如图，AB →表示无风时雨滴的下落速度，AD →
表示东风的风速． 由平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为AC →＝AB →＋AD →
. 又|AB →|＝23，|BC →|＝|AD →
|＝2，
所以|AC →|＝(23)2＋22
＝4，∠BCA ＝60°.
故雨滴沿向下偏西、与地面成60°角的方向，以4 m/s 的速度着地．。