北师大版九年级下册数学 2.4二次函数的应用 同步练习

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
2.4二次函数的应用同步练习
一．选择题
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）
A．150元B．160元C．170元D．180元
2．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
3．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米．（不计重合部分）
A．253B．288C．206D．245
4．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
5．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）
A．18m2B．18m2C．24m2D．m2
6．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个
直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（）
A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm 7．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面
0.8m，水流在离喷出口的水平距离
1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个
半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）
A．0.55米B．米C．米D．0.4米
8．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：温度/℃…﹣4﹣2024 4.5…
植物每天高度
增长量/mm
…414949412519.75…
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法：
①该植物在0℃时，每天高度增长量最大；
②该植物在﹣6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm以上；
③该植物在﹣1至6℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小．
其中正确说法的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），现有四种方案供选择（如图）：
A方案为一个封闭的矩形；
B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽的门；
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽的门，已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m，
则能建成的饲养室中面积最大的方案为（）
A．B．
C．D．
10．抛物线y＝x2﹣2x﹣15，y＝4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）
A．10B．7C．5D．8
二．填空题
11．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m．
12．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是．
13．乒乓球竖直落到光滑水平的地面后会竖直弹起，假设每次弹起的最高高度会比上一次降低20%，而且乒乓球每次弹起到落地过程中，其弹起高度h是时间t的二次函数，都可以用h＝﹣5（t﹣m）2+n表示．如果乒乓球第一次弹起到落地的时间间隔为0.8s，则该乒乓球从第1次最高点到第2次最高点的时间间隔是s．
14．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．
15．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．
三．解答题
16．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学
习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．
（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；
（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
17．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件）5565
销售量y（件/天）9070（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品售价不得超过70元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
18．喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：
（1）试确定点A的坐标；
（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？
参考答案
一．选择题
1．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
2．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
3．解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OC于点H．依题意知K（x，2）．
易求开口向上抛物线的解析式：y＝x2，
所以2＝x2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴OH＝HG＝，
∴BC＝BO+OH+HG+GC＝3+++3＝6+3，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×（6+3）＝24+12（平方厘米）．
如图3，S矩形A′B′C′D′＝6BC＝6×（6+3）（平方厘米）．
所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB•AE＝178+80（平方厘米）．
2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6＝168+60≈253（平方厘米）．故选：A．
4．解：设销售单价降低x元，每天获得利润为y元．根据题意，得
y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
因为﹣2＜0，当x＝15时，y有最大值为1250，
所以销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元．
所以A、B选项正确，不符合题意；
当x＝10时，y＝1200，
所以销售单价降低10元，每天的利润为1200元．
所以C选项正确，不符合题意；
利用筛选法D选项符合题意．
故选：D．
5．解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝BC＝6﹣x，
∴AD＝CE＝BE＝6﹣x，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝x+6，
∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE＝（x+x+6）•（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，
∴当x＝4时，S最大＝24．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；
故选：C．
6．解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
7．解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
所以解析式为：y＝﹣x2+x+，
当x＝2.75时，y＝，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，故选：B．
8．解：设y＝a（x+1）2+k，把（0，49），（2，41）代入解得：，解得：a＝﹣1，k＝50，
∴y＝﹣（x+1）2+50；
当x＝﹣1时，y的最大值＝50，
∴该植物在0℃时，每天高度增长量最大，最大值为50mm，故①错误．
当x＝﹣6时，y＝﹣（﹣6+1）2+50＝﹣25+50＝25＞20，故②正确．
当x＝6时，y＝﹣（6+1）2+50＝﹣49+50＝1，
∴该植物在﹣1至6℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小，故③正确．故选：C．
9．解：对于A选项，所图，设AB边的长为xm，则可知BC＝（12﹣2x）m
所以S＝x（12﹣2x）＝﹣2（x﹣3）2+18
即当AB＝3时，最大面积＝18
对于B选项，如图，设AB＝BC＝x，则可得2x﹣1＝12，即x＝
所以S＝
对于C选项，如图，设AB＝CD＝x，则EF＝x﹣1，所以BC＝12﹣x﹣x﹣（x﹣1）+2＝
15﹣3x
所以S＝
即当AB＝时，最大面积＝
对于D选项，如图，设AB＝CD＝x，则BC＝
所以S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16
综上可知，建成的饲养室中面积最大的方案是C
故选：C．
10．解：如图
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣15与直线y＝4x﹣23交于A、B两点，
∴x2﹣2x﹣15＝4x﹣23，
解得：x＝2或x＝4，
当x＝2时，y＝4x﹣23＝﹣15，
当x＝4时，y＝4x﹣23＝﹣7，
∴点A的坐标为（2，﹣15），点B的坐标为（4，﹣7），
∵抛物线对称轴方程为：x＝﹣作点A关于抛物线的对称轴x＝1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x＝1）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF＝B′F，AE＝A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C＝4，B′C＝7+15＝22，
∴A′B′＝＝10．
∴点P运动的总路径的长为10．
故选：A．
二．填空题
11．解：设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣3）2+5，将点（9，0）代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+5，
令x＝0，则y＝，即OA＝，
故答案为．
12．解：设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
13．解：∵乒乓球第一次弹起到落地的时间为0.8，h＝﹣5（t﹣m）2+n，∴m＝0.4，此时h取得最大值n，
∴h＝﹣5（t﹣0.4）2+n，
∵该函数过点（0，0），
∴0＝﹣5（0﹣0.4）2+n，
解得，n＝0.8，
∵每次弹起的最高高度会比上一次降低20%，
∴第二次弹起的最大高度是0.8×（1﹣20%）＝0.64，
令0.2×0.8＝﹣5（t﹣0.4）2+0.8，
解得，t1＝，t2＝，
∴该乒乓球从第1次最高点到第2次最高点的时间间隔是：（0.8﹣0.4）+（0.4﹣）＝s，
故答案为：．
14．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
15．解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三．解答题
16．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，
把（0，0）代入，得：0＝25a+25，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；
当5＜x≤15时，y＝25．
综上，y＝；
（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．
当0≤x≤5时，
Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）
＝﹣x2+8x+60
＝﹣（x﹣4）2+76．
∴当x＝4时，Z最大＝76．
当5＜x≤15时，
Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．
∵Z随x的增大而减小，
∴Z＜﹣2×5+85＝75．
综上所述，当x＝4时，Z最大＝76，此时30﹣x＝26．
∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．
17．解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
该天的售价为60元或者90元；
（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a
∵a＞0，
∴对称轴x＝＞75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，
∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
18．解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，
所以2x＝﹣x2+6x﹣4，
解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，
可得A（2，4）．
（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，
由（1）得m＝2，
当0＜x＜2时，
令y＝1，
2x＝1，
x＝；
当x≥2时，
令y＝1，
﹣x2+6x﹣4＝1
整理得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，
所以x＝5，
所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．。