【优化方案】高中人教A数学必修2同步测试卷：高中同步测试卷(四)(含答案解析)
数学试题 人教a版必修2 同步练习第四章检测测试题(两套)
第四章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,-7),半径为2的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=4C.(x+1)2+(y-7)2=2D.(x-1)2+(y+7)2=2解析:由已知条件得圆的标准方程为(x-1)2+(y+7)2=4.答案:A2.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A解析:|P1P2|答案:A3.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析:圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d.答案:C4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是( )A.外离B.内含C.相交D.相切解析:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距0<|2-1|=1,所以两圆内含.答案:B5.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x+2y+2=0的最短距离为( )A解析:由已知得圆心坐标为(1,1),半径r为1,圆心到直线的距离d.所以最短距离为d-r答案:C6.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点B.直线C.线段D.圆解析:∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1.故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意设圆心坐标为(a,-a),因为圆心到直线x-y-4=0与x-y=0的距离相等,所a=1.所以圆心坐标为(1,-1),半径r故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:C8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-8解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r圆心到直线x+y+2=0的距离d4,因此由勾股定理可a=-4.故选B.答案:B9.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+2=0的距离A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=((-1,-2)到直线x+y+2=0的距离4个.答案:D10.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A.0<kC.0<k解析:圆x2+4x+y2-5=0可变形为(x+2)2+y2=9,如图所示.当x=0时,y=A(0k AM∈(0答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.点P(3,4,5)关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点P(3,4,5)与P'(x,y,z)的中点为坐标原点,所以点P'的坐标为(-3,-4,-5).答案:(-3,-4,-5)12.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+5)2+(y+2)2=m2(m>0)外切,则m的值为.解析:由已知得C1(-1,1),半径r1=1;C2(-5,-2),半径r2=m,所以圆心距d=|C1C2|又因为两圆外切,所以d=r1+r2.所以5=1+m,即m=4.答案:413.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:由题意可知点P在以MN为直径的圆上,且除去M,N两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为2.所以轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).答案:x2+y2=4(x≠±2)14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a=.解析:两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(a,0),半径分别为r1=2,r2=1.由两圆内切可得|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1.答案:±115.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.解析:因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l经过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如图,作MC⊥AB于点C,连接BM.在Rt△MBC中,|BC||MC|由点到直线的距离公式解得k l的方程为3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=.综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.17.(8分)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上且截y轴所得的弦长为解:设圆心坐标为O1(x0,3x0),半径为r,解得r y轴被圆截得的弦长∴即圆的方程为(x(x18.(9分)已知一个圆的圆心为A(2,1),且与圆x2+y2-3x=0相交于P1,P2两点.若|P1P2|=2,求这个圆的方程. 解:设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.则点A(2,1)到直线P1P2的距离又因为|P1P2|=2,所以当r=1时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当r≠1时,r2=6或r2=1(舍去).此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=1.19.(10分)在棱长为2的正方体OABC-O1A1B1C1中,P是对角线O1B上任意一点,Q为棱B1C1的中点.求|PQ|的最小值.解:分别以OA,OC,OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于Q是B1C1的中点,所以Q(1,2,2).点P在xOy平面上的射影在OB上,在yOz平面上的射影在O1C上 ,所以点P的坐标(x,y,z)满则|PQ|当x=1时,即P(1,1,1)时,|PQ|取得最小20.(10分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O 为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解:(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),即(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率l的方程为y=又易得|OM|=|OP|=O到l的距离△POM的面积第四章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为( )A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)C解析:由中点坐标公式得A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)对称的点为(-3,4,-10).答案:A2.若方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是( )A.k<2B.k>2C.k≥2D.k≤2解析:若方程表示圆,则(-4)2+42-4(10-k)>0,解得k>2.答案:B3.圆心为(1,1),且与直线x+y=4相切的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:根据题意得r故圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),定点到圆心的距离d=1,所以直线y=kx+1与圆相交但直线不过圆心. 答案:C5.若圆C1:(x-a)2+y2=12与圆C2:x2+y2=4相切,则a的值为( )A.±3B.±1C.±1或±3D.1或3解析:圆C1的圆心坐标为(a,0),半径为1,圆C2的圆心坐标为(0,0),半径为2.当两圆外切时,|a|=3,则a=±3.当两圆内切时,|a|=1,则a=±1.答案:C6.已知半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是( )A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.由两圆内切,a2=16,所以a=±4,故所求圆的方程是(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36.答案:D7.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆C:(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.C.解析:圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径r=1.如图,作出点A(-2,-3)关于y轴的对称点B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可|5k+5|12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=k=答案:D8.过点A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1相切的直线方程是( )A.y=1B.x=3C.x=3或y=1D.不确定解析:由题意知,点A在圆外,故过点A的切线应有两条.当所求直线的斜率存在时,设其为k,则直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.因为直线与圆相切,所以d k=0,所以切线方程为y=1.当所求直线的斜率不存在时,x=3也符合条件.综上所述,所求切线方程为x=3或y=1.答案:C9.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为( )A.解析:圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为C1(-2,2),半径圆C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为C2(2,0),半径为4,则|C1C2|故△PC1C2的面积最大值 B.答案:B10.若两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心距|C1C2|等于( )A.4B.解析:由题意知两圆的圆心在直线y=x上.设C1(a,a),C2(b,b),可得(a-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+(b-1)2=b2,即a,b是方程x2-10x+17=0的两根,a+b=10,ab=17,|C1C2|答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11. 如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若|B1E|A1B1答案:12.已知点M是圆x2+y2=1上的任意一点,点N是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的任意一点,则|MN|的最小值为.解析:由已知可得两圆圆心分别为(0,0),(3,4),半径分别为1,2,所以圆心距为5>1+2.所以两圆外离,所以当M,N在圆心连线上时,|MN|取最小值,且最小值为5-3=2.答案:213.已知点A(1,2,-1),点C与点A关于平面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.解析:由已知可求得点C的坐标为(1,2,1),点B的坐标为(1,-2,1),所以|BC|答案:414.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为.解析:由题意知点O到直线y=kx+1的距离答案:15.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.解析:由题意知点A处的切线分别过两圆的圆心,所以OA⊥O1A.所以m2=m=±5.由等面积法得|AB|=2答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.解:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则点P,Q的坐标满足方程组,即点P(1,1),Q(-3,3),所以线段PQ的中点坐标为(-1,2),|PQ|故以PQ为直径的圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=5.17.(8分)已知圆C:x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆C1:x2+y2=25,直线l:3x-4y-15=0.(1)求圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长;(2)当m为何值时,圆C与圆C1的公共弦平行于直线l?解:(1)因为圆C1:x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径r=5,所以圆心O到直线l:3x-4y-15=0的距离d由勾股定理可知,圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长(2)圆C与圆C1的公共弦的方程为2x-4my-4m2-25=0.因为该公共弦平行于直线3x-4y-15=0,m18.(9分)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求:(1(2)(x-3)2+(y-4)2的最大值与最小值.解:圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆C,则圆心C(-2,0),半径r=1.(1)如图①,设点M(x,y)在圆C上,Q(1,2),k kx-y-k+2=0.由图可知,当直线QM与圆C相切时,k取得最大值或最小值.由C(-2,0)到直线kx-y-k+2=0的距离为1,k所图①图②(2)如图②,令A(3,4),则(x-3)2+(y-4)2表示圆上的点与点A距离的平方.设直线AC与圆交于P,Q两点,则(x-3)2+(y-4)2的最大值为|AQ|2,最小值为|AP|2.|AQ|=|AC|+r( x-3)2+(y-4)2的最大值最小值19.(10分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线l,设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.解:把圆C的方程化成标准方程(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,点C到l的距离d=2=r,满足条件.当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,k=所以l的方程为y-3=即3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0.故点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.20.(10分)已知圆C经过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C相交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2,k AB=a=所以a把直线ax-y+1=0,即y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-72a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.。
【优化方案】高中人教A数学必修2同步测试卷：高中同步测试卷(二)(含答案解析)
高中同步测试卷(二)单元检测 空间几何体的表面积与体积(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )2．若正方体的表面积为72，则它的体积为( ) A ．2 3 B ．12 3 C ．24 3 D ．6 33．木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积是地球表面积的( ) A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍4．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A.22π B ．252π C ．50π D ．200π5．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.823π 6．如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．12 3D ．18 37．已知圆柱的侧面展开图是边长分别为2a ，a 的矩形，则该圆柱的体积为( ) A.a 32π或a 3π B.2a 3π C.a 3π D.a 3π或2a 3π8．一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为S ，则圆锥侧面积为( ) A.8πS 3 B.8πS 3 C.4πS 3 D.2πS 39．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶110．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )A.12B.13C.23D.1411．将两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则这个大球的半径为( ) A ．2 B. 2 C.32 D.123412.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD ＝BD ＝2，∠BAC ＝30°，若它们的斜边AB 重合，让三角板ABD 以AB 为轴转动，则下列说法正确的是( )①当平面ABD ⊥平面ABC 时，C ，D 两点间的距离为2； ②在三角板ABD 转动过程中，总有AB ⊥CD ；③在三角板ABD 转动过程中，三棱锥D-ABC 的体积最大可达到36. A ．②③ B ．①③ C ．② D ．①②13．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．14．如图所示，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3.16．母线长均为10 cm的两个圆锥，它们的侧面展开图正好合成一个圆，且它们的表面积之比为1∶6，则这两个圆锥的底面半径分别为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．18．(本小题满分12分)如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．19．(本小题满分12分)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．20．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．21．(本小题满分12分)如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．22．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇环形ABCD，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积为多大？参考答案与解析1．解析：选C.当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.2．解析：选C.设正方体棱长为a ，则6a 2＝72，a ＝23，V ＝a 3＝24 3. 3．[导学号：69960008] 解析：选C.设木星的半径为R ，地球的半径为r ， 则43πR 343πr 3＝24030， 即R 3＝24030r 3 所以R ＝r 324030S 木S 地＝4πR 24πr 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 324030r 2 ＝⎝⎛⎭⎫3240302＝⎝⎛⎭⎫2330302＝4×30＝120.4．解析：选C.长方体的体对角线长＝32＋42＋52＝52，设球的半径为r ，则2r ＝52，所以r ＝522，所以S 表＝4πr 2＝50π.5．解析：选D.设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为43πR 3＝823π.6．[导学号：69960009] 解析：选B.由三视图可还原几何体的直观图如图所示．设A 1E 垂直于底面，割出三棱柱AEA 1DFD 1补在右侧拼凑成一个长和宽均为3，高为3的长方体，所求体积V ＝3×3×3＝9 3.7．解析：选A.设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，得r ＝a 2π，这时V 圆柱＝2a·π⎝⎛⎭⎫a 2π2＝a 32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，得r ＝a π，这时V 圆柱＝a·π⎝⎛⎭⎫a π2＝a 3π.因此圆柱的体积为a 32π或a 3π，故选A.8．[导学号：69960010] 解析：选D.由已知可得圆锥的母线等于底面直径． 设底面半径为r ，则12×2r×（2r ）2－r 2＝S ， 所以r 2＝S 3， 圆锥的侧面积S 侧＝πr ×2r ＝2πr 2＝2π·S 3＝2πS 3. 9．解析：选D.V 1∶V 2＝(Sh)∶(13Sh)＝3∶1.10．解析：选B.设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于16，因此，截去的四个三棱锥的体积为23，则剩余的四面体的体积为13.11．解析：选C.43πR 3＝2×43π×1，R ＝32.12．解析：选B.①取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE ，且DE ＝CE ＝1，所以CD ＝2，故正确；在转动过程中，AB 与CD 始终不垂直，故②错误；③当平面ABD ⊥平面ABC 时，三棱锥的高最大，底面积固定，故此时体积最大，最大值为13×12×1×3×1＝36，故正确，故选B. 13．解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 614．[导学号：69960011] 解析：在上面补上一个同样的几何体，则高为a ＋b. 则所求体积为πr 2（a ＋b ）2.答案：πr 2（a ＋b ）215．解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体组合而成的几何体，每个长方体的体积为9 cm 3，故其体积为18 cm 3.答案：1816．解析：设两圆锥的底面半径分别为r 1 cm ，r 2 cm ，侧面展开图的圆心角分别为n 1，n 2，则由2πr 1＝n 1π×10180°，2πr 2＝n 2π×10180°，所以r 1＋r 2＝（n 1＋n 2）×5180°＝360°×5180°＝10.又由表面积之比为1∶6得，(πr 21＋πr 1×10)∶(πr 22＋πr 2×10)＝1∶6， 即(r 21＋10r 1)∶(r 22＋10r 2)＝1∶6.将r 2＝10－r 1代入得r 21＋18r 1－40＝0，所以r 1＝2或r 1＝－20(舍去)，所以r 1＝2，r 2＝8. 答案：2 cm ，8 cm17．[导学号：69960012] 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13S 底h ＝13×π×12×22＝223π.18．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以所求表面积为S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π， 体积为V ＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.19．解：如图，由△ABC 为正三角形，且边长为2，所以O′A ＝23×3＝233.设球的半径为R ，所以OO′＝12R ，所以R 2－⎝⎛⎭⎫12R 2＝⎝⎛⎭⎫2332，所以R ＝43，所以S 球＝4πR 2＝649π.20．[导学号：69960013] 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S 半球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π，故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.由V 圆台＝13×(π×22＋（π×22）×（π×52）＋π×52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以，所求几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．21.解：梯形绕腰AB 旋转一周所得的几何体是一个圆锥和一个圆台挖去一个小圆锥的组合体．过D 作DE ⊥AB 于点E ，过C 作CF ⊥AB 于点F.Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成一个圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点，以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°，所以BF ＝5，ED ＝3，AE ＝1，FC ＝53，EF ＝4，AB ＝8. 所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE·FC)－13π·AE ·DE 2＝248π(cm 3).22．解：(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180·72，2πr ＝60·π180（72－x ），72－x ＝3R.所以R ＝12，r ＝6，x ＝36， 所以AD ＝36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H ＝722－R 2＝1235， 圆台的高h ＝H2＝635，小圆锥的高h′＝635，所以V 容＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πR 2H －13πr 2h ′＝50435π.。
【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估(附答案)
综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。
B.3错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。
=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。
2018年新人教A版高中数学必修2全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学必修二全册同步检测目录第1章1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征第1章1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征第1章1.2.2空间几何体的三视图第1章1.2.3空间几何体的直观图第1章1.3-1.3.2球的体积和表面积第1章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第1章章末复习课第1章评估验收卷(一)第2章2.1.1平面第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系第2章2.1.3平面与平面之间的位置关系第2章2.2.1-2.2.2平面与平面平行的判定第2章2.2.3直线与平面平行的性质第2章2.2.4平面与平面平行的性质第2章2.3.1直线与平面垂直的判定第2章2.3.2平面与平面垂直的判定第2章2.3.3平面与平面垂直的性质第2章章末复习课第2章评估验收卷(二)第3章3.1.1倾斜角与斜率第3章3.1.2两条直线平行与垂直的判定第3章3.2.1直线的点斜式方程第3章3.2.2-3.2.3直线的一般式方程第3章3.3.2第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离第3章3.3.2第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）第3章3.3.3-3.3.4两条平行直线间的距离第3章章末复习课第3章评估验收卷(三)第4章4.1.1圆的标准方程第4章4.1.2圆的一般方程第4章4.2.1直线与圆的位置关系第4章4.2.2-4.4.2.3直线与圆的方程的应用第4章4.3.1-4.3.2空间两点间的距离公式第4章章末复习课第4章评估验收卷(四)模块综合评价第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是() A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是() A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A ＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．答案：C2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．答案：D5.一个四棱锥SABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥VABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为() A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB ＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC 为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A 级 基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.故选A. 答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)． 答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6解析：棱锥B ′ ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23， 又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2， 所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π. 答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( ) A ．3倍 B ．3 3 倍 C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：设该球的半径为R ， 所以(2R )2＝(2a )2＋a 2＋a 2＝6a 2， 即4R 2＝6a 2.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6πa 2. 答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )A ．4π＋24B ．4π＋32C ．22πD ．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B 二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3. 答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3.答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π， 又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π，因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π.10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5，解得：R ＝1.5 (cm)， 所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2， 所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5，所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3， 所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32.答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ， 则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2. 由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ，所以S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3.所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B归纳升华1．第(1)题中易把23误认为是正三棱锥底面等边三角形的边长．注意“长对正、高平齐、宽相等”．2．(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确。
高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(四) 含答案
高中同步测试卷(四)单元检测线面、面面平行的判定和性质(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．能保证直线与平面平行的条件是( )A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的某一条直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交2．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面给出五个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥γ，α∥γ⇒a∥α；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是( )A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤3．若直线a与平面α平行，则必有( )A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定5．直线a，b，c及平面α，β，使a∥b成立的条件是( )A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b6．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，则( )A．平面α∥平面ABC B．△ABC中至少有一边平行于平面αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与平面α相交7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出以下结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的个数有( )A．1 B．2C．3 D．48.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列说法中错误的是( )A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD成45°角9.如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )A．2＋ 3 B．3＋ 3C．3＋2 3 D．2＋2 310．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面。
数学：必修2人教A同步训练试题及解析必修2全册同步检测：2-3-4
2-3-4平面与平面平行的性质一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能4．在空间中，下列命题正确的是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b5．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行7．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β8．如图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面P AC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 9．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:310．在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是( ) A ．BC ∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC二、填空题11．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成的角等于________．13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.三、解答题15．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD ⇒平面ABD ⊥平面ACD . 16．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°.求证：平面ASC ⊥平面ABC .17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[命题意图] 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，F 是PB 的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．详解答案1[答案] C2[答案] D3[答案] A[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.4[答案] D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．5[答案] D6[答案] D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A 错；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都平行，但平面BCC 1B 1与平面CDD 1C 1相交，故B 错；同样，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都与平面ABCD 垂直，但此二平面相交，故C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．7[答案] C[解析] l ⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l ⊂β，A 错；l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错；l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．8[答案] D[解析] ∵平面P AC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面P AC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点． 9[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB :A ′B ′＝2:1. 10[答案] C[解析] ∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，∴DF ∥BC .∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面P AE，故B正确．又∵PO⊂面P AE，PO⊥平面ABC，∴面P AE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.11[答案]相交、平行、异面12[答案]90°[解析]∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE⊂平面A1B，PE⊥AB，∴PE⊥平面AC，∴PE与平面AC所成的角等于90°.13[答案] 4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝13S△A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.14[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BD.∵△P AD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面AC ，平面P AD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面P AD ，∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ，∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.15[证明] ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC ⇒ 16[解析] 如图，设SA ＝SB ＝SC ＝a .∵∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∴AC ＝2a ，AB ＝BC ＝a ，则AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°.取AC 中点O ，连接SO 、BO .则SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∠SOB 为二面角S －AC －B 的平面角．∵SO ＝OB ＝22a ，∴SO 2＋OB 2＝SB 2，∴∠SOB ＝90°，∴平面ASC ⊥平面ABC .17[解析] (1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又∵DC 1⊂面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ，由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ， 又∵DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC ，∵DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得，V 1＝13×1＋22×1×1＝12，由三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，∴(V －V 1V 1＝，∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为18[证明] (1)取AB 的中点E ，则P A ∥EF .设PD ＝DC ＝a ，易求得DE ＝52a ，FE ＝12P A ＝22a ，DF ＝12PB ＝32a .由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥P A，∴DF⊥P A.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.11。
【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(四)(含答案解析)
高中同步测试卷(四)单元检测 函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象与三角函数模型的简单应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度2．将函数f(x)＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式是( )A ．g(x)＝2sin 2xB ．g(x)＝2sin x 2C ．g(x)＝12sin x 2D ．g(x)＝12sin 2x3．将函数f(x)＝sin (π－2x)的图象向右平移π4个单位长度后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 4．已知简谐运动f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π35．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )6.已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列不可能是函数f(x)的对称中心的是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫11π12，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫7π6，07．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是π2.若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )A ．g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 C ．g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D ．g(x)＝sin 2x8．如图为函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(M>0，ω>0，0≤φ≤π)的部分图象，若点A 、B 分别为函数f(x)的最高点与最低点，且|AB|＝5，那么f(－1)＝( )A ．2 B. 3 C ．－ 3 D ．－29．如图为某市某天中6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0，π2<φ<π)的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为( )A ．16 ℃B ．15 ℃C ．14 ℃D ．13 ℃10．方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．[3，2) C.⎝ ⎛⎥⎤－12，1－32 D.⎝ ⎛⎥⎤－12，3＋12 11．设函数y ＝cos 12πx 的图像位于y 轴右侧的所有对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 1 006的坐标是( )A ．(2 011，0)B ．(2 012，0)C ．(2 013，0)D ．(2 014，0)12．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A.52 A B ．3 A C ．5 A D ．4 A13．已知f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2在⎣⎡⎦⎤0，4π3上单调，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2，则f(0)＝________．14．某同学利用描点法画函数y ＝Asin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中0<A≤2，0<ω<2，－π2<φ<π2的图象，列出的部分数据如下表：y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式应是________．15．把函数y ＝sin x(x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．16．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 及以上的时间将持续________min.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．18．(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？19．(本小题满分12分)将函数g(x)＝sin(π－ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象．若函数f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，且相邻两对称轴间的距离为π2. (1)求ω，φ的值；(2)若π6<A<π2，求f(A)的取值范围．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的部分对应值如下表：(2)设函数h(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，求h(x)的最大值和最小值．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝2cos (ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y 轴相交于点M(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－π6，0，与此交点距离最小的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(－1<a<0)，求在[0，2π]内的所有实数根之和； (3)把函数f(x)的图象的周期扩大为原来的2倍，然后向右平移2π3个单位长度，再把纵坐标伸长为原来的2倍，最后向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g(kx)|＝m 在区间⎣⎡⎦⎤0，5π6上至多有一个解，求正数k 的取值范围．参考答案与解析1．解析：选B.因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝ 3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，所以将函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度，可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故选B. 2．[导学号19460019] 解析：选B.将函数f(x)＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f 1(x)＝2sin x 的图象；再把所得的函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数g(x)＝2sin x2的图象，故选B.3．解析：选B.因为f(x)＝sin (π－2x)＝sin 2x ，所以将函数f(x)＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到的图象对应函数解析式为g(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x ，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ，k π＋π2，k ∈Z ，满足条件的只有B ，故选B. 4．解析：选A.由题意知T ＝2ππ3＝6；由图象过点(0，1)知sin φ＝12，因为|φ|≤π2，所以φ＝π6.故选A. 5．[导学号19460020] 解析：选A.当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎫－π3＝－32<0， 故可排除B ，D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A. 6．解析：选B.由题图可得14T ＝23π－512π，解得T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2，则φ＝－π3＋2kπ，k ∈Z ，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝－2≠0， 所以⎝⎛⎭⎫11π12，0不可能是函数f(x)的对称中心，故选B.7．解析：选C.因为函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离是π2，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，排除A 、B ；函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3，即g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选C.8．[导学号19460021] 解析：选A.由题图可知，M ＝2，f(0)＝1，即2sin φ＝1，解得sin φ＝12.又因为0≤φ≤π，由“五点法”作图知，点(0，1)在第二点与第三点之间，所以φ＝5π6.又A 、B 两点是函数图象上的最高点和最低点，设A(x 1，2)，B(x 2，－2)，由题意知|AB|＝5，即（x 2－x 1）2＋（－2－2）2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.由图可知，A 、B 两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即|x 2－x 1|＝T 2，而T ＝2πω，故πω＝3，解得ω＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6，故f(－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2，故选A. 9．解析：选D.由题意得A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20，因为周期T ＝2×(14－6)＝16，所以2πω＝16，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20，将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]，当x ＝8时，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8×8＋34π＋20＝20－52≈13(℃)，故选D.10．解析：选C.因为x ∈[0，π]， 所以x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，43π， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－3，2]， 画出函数图象(图略)，当3≤1－2a<2时，原方程有两个不等的实根，所以－12<a≤1－32.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－3211．解析：选A.因为函数y ＝cos ωx 的图像的对称中心是点⎝⎛⎭⎫π2ω＋kπω，0(k ∈Z)，所以y ＝cos 12πx 的图像的对称中心为(2k ＋1，0)(k ∈Z)，所以A 1(1，0)，A 2(3，0)，…，A n (2(n －1)＋1，0)，…，故A 1 006的坐标为(2 011，0)．12．[导学号19460022] 解析：选A.当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100π×1200＋π3 ＝52(A)． 13．解析：由题意知14×2πω＝4π3－π3，所以ω＝12.由f ⎝⎛⎭⎫π3＝0且f(x)在⎣⎡⎦⎤0，4π3上单调， 得12×π3＋φ＝kπ，k ∈Z ， 所以φ＝－π6＋kπ，k ∈Z.又因为|φ|≤π2，所以φ＝－π6.f(0)＝2sin φ＝－1. 答案：－1 14．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示． 根据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意； 又因为0<A≤2，函数图象过(4，－2)，所以A ＝2， 因为函数图象过(0，1)，所以2sin φ＝1， 又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，由(0，1)，(2，1)关于直线x ＝1对称， 知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6. 所以ω＝π3.即函数的解析式应是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π615．[导学号19460023] 解析：y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 16．解析：依题意，得40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期[0，2π]内2π3≤π6t ≤4π3， 所以4≤t≤8，即摩天轮在转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续4 min.答案：417．解：(1)列表如下：(3)作图，如图所示：将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3的图象． 周期为T ＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，相位为x －π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为[2kπ＋56π，2k π＋116π]，k ∈Z ，增区间为[2kπ－π6，2k π＋56π]，k ∈Z.18．[导学号19460024] 解：(1)因为0≤t<24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，则－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8，故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，所以10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t<24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t<18.故在10 h 至18 h 实验室需要降温．19．解：(1)因为g(x)＝sin (π－ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以g(x)＝sin (ωx －φ)．由已知得f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6－φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋ωπ12－φ. 因为f(x)的图象相邻两对称轴间的距离为π2， 所以2π12ω＝π，解得ω＝4. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3－φ＝0，且0<φ<π， 所以φ＝2π3. (2)由(1)知f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3. 因为π6<A<π2，所以0<2A －π3<2π3， 所以0<f(A)≤1，故f(A)的取值范围是(0，1]．20．解：(1)由表格给出的信息可以知道，函数f(x)的周期为T ＝3π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π， 所以ω＝2ππ＝2. 由sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0， 且0<φ<π，得φ＝π2. 所以函数的解析式为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2(或者f(x)＝cos 2x)．(2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， 所以h(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤h(x)≤2， 所以函数h(x)的最大值是2，最小值是－1.21．[导学号19460025] 解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos (ωx ＋θ)中得cos θ＝32， 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6. 由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. 又因为点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32， 又7π6≤4x 0－5π6≤19π6， 从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6， 即x 0＝2π3或x 0＝3π4. 22．解：(1)依题意，函数f(x)的最大值为1，即A ＝1. 函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π， 所以π＝2πω，解得ω＝2.函数f(x)的图象与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－π6，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， 所以sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0. 又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π3， 则函数f(x)的表达式为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)因为函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为π， 所以函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在[0，2π]内恰有两个周期， 所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝a(－1<a<0)在[0，2π]内有4个实根，可设为x 1，x 2，x 3，x 4， 且x 1＋x 22＝7π12，x 3＋x 42＝19π12， 所以在[0，2π]内的所有实数根之和为2×7π12＋2×19π12＝13π3. (3)把函数f(x)的图象的周期扩大为原来的2倍，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；把所得的图象向右平移2π3个单位长度，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象；再把纵坐标伸长为原来的2倍，最后向上平移1个单位长度得到函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1的图象． 函数y ＝|g(x)|的图象如图所示．若对任意的0≤m≤3，方程|g(kx)|＝m 在区间⎣⎡⎦⎤0，5π6上至多有一个解，则应将y ＝|g(x)|的图象上所有点的横坐标伸长到原来的5倍或5倍以上，所以0<k≤15. 故正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，15.。
2023-2024学年湖北省高中数学人教A版 必修二第九章 统计同步测试-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省高中数学人教A 版 必修二第九章 统计同步测试(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时所抽取的学生中有25人在2小时至 2.5小时之间完成作业该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间1.某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. ， ， ， ，s 1=s 22. 甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s 1 ， s 2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（ ）A. B. C. D. 28032040010003. 某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为（ ）A. B. C. D. 4. 已知某学校高一年级共有1000名学生，如图是该校高一年级学生某次体育测试成绩的频率分布直方图，则估计排名第200名的学生的体育测试成绩为（ ）89分88分87分86分A. B. C. D. 12.5 12.512.5 1313 12.513 135. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. B. C. D.，，，，6. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ）A. B. C. D. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数甲成绩的众数大于乙成绩的众数甲成绩的极差大于乙成绩的极差甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数7. 甲､乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为100分，现统计了以往两人10次模拟考试的成绩，如下面茎叶图所示，则下列说法错误的是（）A. B. C. D. 907560458. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）.A. B. C. D. 9. 某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）32456490A. B. C. D. 84， 4.8484， 1685， 1.685， 410. 某比赛中，七位评委为某个节目打出的分数如右图茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据的平均数和方差分别是（ ）A. B. C. D. 甲地：总体均值为4，中位数为3乙地：总体均值为5，总体方差为12丙地：中位数为3，众数为2丁地：总体均值为3，总体方差大于011. 有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A. B. C. D. 241812612. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）件．A. B. C. D. 13. 为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校1400份试卷、乙校640份试卷、丙校800份试卷中进行抽样调研．若从丙校800份试卷中抽取了40份试卷，则这次高三共抽查的试卷份数为14. 某工厂生产A ， B ， C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝ .15. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，分别表示众数､平均数､中位数，则中最小值为 .16. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 ．阅卷人得分三、解答题（共6题，共70分）17. 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28）50.5第2组[28，38）18a 第3组[38，48）270.9第4组[48，58）x0.36第5组[58，68）30.2(1) 分别求出a ，x 的值；(2) 从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？(3) 在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．18. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1) 若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）(2) 用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．19. 某高中有高一新生500名，分成水平相同的A ，B 两类进行教学实验.为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A ､B 两类学生中分别抽取了40人､60人进行测试.(1) 求该学校高一新生A ､B 两类学生各多少人？(2) 经过测试，得到以下三个数据图表：图一：75分以上A ､B 两类参加测试学生成绩的茎叶图A 类B 类7，6，5，575，6，7，7，8，93，181，3，4(茎､叶分别是十位和个位上的数字)(如图)表一：100名测试学生成绩频率分布表：组号分组频数频率150.052200.2034350.3556合计100 1.00图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图：先填写频率分布表(表一)中的六个空格，然后将频率分布直方图(图二)补充完整；20. 从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为，最右边一组的频数是6.(1) 成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；(2) 估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百.21. 某糖厂为了解一条自动生产线上生产袋装白糖的重量，从1000袋白糖中，随机抽取100袋并称出每袋白糖的重量（单位：g ），得到如下频率分布表：（1）请补充完成频率分布表，并在下图中画出频率分布直方图；（2）根据上述数据估计从这批白糖中随机抽取一袋其重量在[495.5，505.5]上的概率．分组频数频率[485.5，490.510）[490.5，495.50.20）[495.5，500.550）[500.5，505.5]合计100答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)19.(1)(2)(1)(2)21.。
2023-2024学年四川省高中数学人教A版 必修二第九章 统计同步测试-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年四川省高中数学人教A 版 必修二第九章 统计同步测试(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）23451. 一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（ ）A. B. C.D. 100158050 2. 某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）A. B. C. D. 202530353. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（ ）A. B. C. D. 频率分布直方图与总体密度曲线无关频率分布直方图就是总体密度曲线样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线4. 对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. D.与4的大小关系无法确定 5. 已知由一个样本数据确定的回归直线方程为，且 ，经检验发现两个样本点 ， 的误差较大，去掉这两个样本点后的样本点中心为，则（ ）A. B. C. D. 6146. 将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）A. B. C. D. m ＜n m ＞n m≤n m≥n7. 已知样本x 1 ， x 2， (x)m 的平均数为 ， 样本y 1 ， y 2 ， …y n 的平均数 ， 若样本x 1 ， x 2 ， …x m ， y 1 ， y 2 ， …y n 的平均数=α+（1﹣α） ， 其中0＜α≤ ， 则m ，n 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 203040808. 某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5．现采用分层抽样方法从中抽出一个容量为n 的样本，若样本中中年人人数为12，则此样本的容量n为（ ）A. B. C. D. 46，45，5646，45，5347，45，5645，47，539. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A. B. C. D. 3个2个1个0个10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( )A. B. C. D. 11. 甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（ ）甲跑步里程的极差等于110乙跑步里程的中位数是273分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为 ， ， 则分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为 ， ， 则A. B. C. D. 87，9.685，9.687，5，685，5.612. 如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是（ ）A. B. C. D. 13. 从总体中随机抽取的样本为-11，3，-1，1，1，3，2，2，0，0，则该总体的标准差的点估计值是 .14. 互不相等的4个正整数从小到大排序为a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， 若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 .15. 湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：g 与药物功效y （单位：药物单位）之间满足， 检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x 的平均值为5g ，标准差为g ，则估计这批中医药的药物功效y 的平均值为 药物单位．16. 若 ， ，…， 这20个数据的平均数为 ，方差为0.21，则 ， ，…， ， 这21个数据的方差为 ．17. 为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数 ；（Ⅱ）已知A ， 是该校报考体育专业的两名学生，A 的体重小于55千克， 的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A 不在训练组且 在训练组的概率.18. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中．综合得分的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品(1) 若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；(2) 将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？19. 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．(1) 求频率分布直方图中a的值；(2) 从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；(3) 学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．20. 某高校学生总数为8000人，其中一年级1600人，二年级3200人，三年级2000人，四年级1200人．为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为400的样本．(1) 各个年级分别抽取了多少人？(2) 若高校教职工有505人，需要抽取50个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．21. 2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文 ”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．(1) 求被调查者满意或非常满意该项目的频率；(2) 若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；(3) 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)(1)(2)(3)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年河南省高中数学人教A版 必修二平面向量及应用同步测试-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省高中数学人教A 版 必修二平面向量及应用同步测试(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）+ 1. 在△ABC 中，= ， = ．若点D 满足 =（ ）A. B. C. D.3122. 已知 ，，且，则k 的值为A. B. C.D. 3. 已知△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 =1，则B 的大小为（ ）A. B. C. D.4. 如图为正八边形 ， 其中为正八边形的中心，则（ ）A. B. C. D.5. 已知点P 是边长为1的菱形内一动点（包括边界）， ， 则的最大值为（ ）1A. B. C. D.-226. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ， 若 ， 则实数m 的值为( )A. B. C. D. ﹣8﹣2 1.577. 已知向量 =（1，2）， =（2k ，3），且 ⊥（2 + ），则实数k 的值为（ ）A. B. C. D. 等腰直角等腰直角等腰或直角8. 在中，若 ， 则此三角形为（）三角形．A. B. C. D. 459. 设平面向量 =（1，2）， =（﹣2，y ），若 ∥ ，则|2 ﹣ |等于（ ）A. B. C. D.10. 已知向量 、 均为非零向量， ， ，则 、 的夹角为（ ）A. B. C. D.1211. 已知向量 ， 若 ， 与的夹角为120°，则向量（ ）A. B. C. D.12. 在中，若 ，则角A 的值为（ ）A. B. C. D.13. 已知 ， 则14. 若三点P （1，1），A （2，﹣4），B （x ，﹣9）共线，则x= ．15. 设向量,不平行，向量++2平行，则实数=16. 设 ，则 的最大值为17. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆 : 及其上一点A(2，4).(1) 设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；(3) 设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.18. 如图，在平面四边形中，，，．(1) 求；(2) 若，求．19. 已知向量，满足，，.(1) 求；(2) 求与的夹角.20. 已知，，分别是中角，，的对边，且．(1) 求角的大小；(2) 若，求的值．21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1) 证明：；(2) 求的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。
【优化方案】高中人教A数学必修2同步测试卷：高中同步测试卷(三)(含答案解析)
高中同步测试卷(三) 章末检测 空间几何体(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥C ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱D ．以直角梯形中与底垂直的腰所在的直线为旋转轴，由两底和另一腰旋转形成的曲面所围成的几何体是圆台2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱3．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°4.如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ) A ．3 B ．6 C ．3 2D.3225．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π6．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.39πR 3 C.524πR 3 D.58πR 3 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D ．1 8．用若干块相同的小正方形搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．59．如图，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4D ．510．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A.203B.403C ．20D ．40 11．过球面上任意两点A 、B 作大圆，可能的个数是( ) A ．有且只有一个 B ．一个或无穷多个 C ．无数个 D ．以上均不正确12.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱13．两个直角三角形如图所示放置，它们围绕定直线旋转一周形成的几何体是由________拼接而成的．14．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为________．15．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长．18．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB ＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．19．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．20.(本小题满分12分)已知三棱锥A-BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A-BCD的每个面都相切，即球心O到三棱锥A-BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A-BCD的体积．21．(本小题满分12分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正五边形，画出相应空间图形的直观图．22．(本小题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，四棱锥的高为7 m，制造这个塔顶需要多少铁板？参考答案与解析1．解析：选D.A 不正确，因为各面都是三角形的组合体，不一定是三棱锥，例如，两个四棱锥，底面重合，其余各面都是三角形，但不是三棱锥；B 错误，应该是直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转才得到圆锥；C 错误，两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如，一些组合体如：；根据圆台旋转形成的过程可知D 正确．2．[导学号：69960014] 解析：选C.观察所给图形可知，③是棱锥，①不是棱台，因为其侧棱延长不会交于一点，②不是圆台，因两个底面不平行，④是棱柱．3．解析：选C.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则πrl ＋πr 2＝3πr 2，得l ＝2r ，所以展开图扇形半径为2r ，弧长为2πr ，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.4．解析：选B.把直观图还原成平面图，如图，则平面图形的面积为12×4×3＝6.5．[导学号：69960015] 解析：选A.设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝h. 圆柱的表面积为S 表＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2＋4π2r 2， 圆柱的侧面积为S 侧＝2πrh ＝4π2r 2， 故S 表S 侧＝2πr 2＋4π2r 24π2r 2＝1＋2π2π.6．解析：选A.设圆锥的底面半径为r ，高为h ， 则πR ＝2πr ，r ＝R2.h ＝R 2－r 2＝R 2－R 24＝32R ，则圆锥的体积V ＝13Sh ＝13×πr 2·h ＝13×π×R 24×32R ＝324πR 3.7．解析：选B.根据三视图，该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝13，故选B. 8．[导学号：69960016] 解析：选C.由正视图和侧视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最下层有5个小正方体；由正视图和侧视图可知，上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．9．解析：选B.V 多面体P-BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.10．[导学号：69960017] 解析：选B.由三视图知该几何体是一个放倒的四棱锥(如图所示的四棱锥A BCDE)，其中四棱锥的底面BCDE 为直角梯形，其上底CD 为1，下底BE 为4，高BC 为4.棱锥的高AB 为4，所以四棱锥的体积为13×1＋42×4×4＝403，故选B.11．解析：选B.当过A ，B 的直线经过球心时，经过A ，B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A ，B 作球的大圆有无数个；当直线AB 不经过球心O 时，经过A ，B ，O 的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．12．解析：选B.一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．13．解析：根据题中所给的图形，可知，它们围绕定直线旋转一周形成的几何体是两个圆锥拼接而成．答案：两个圆锥14．[导学号：69960018] 解析：设OA ＝OB ＝R ，Rt △AOB 绕OA 旋转一周形成圆锥，其体积V 1＝π3R 3，扇形绕OA 旋转一周形成半球面， 其围成的半球的体积V ＝2π3R 3，则V 2＝V －V 1＝2π3R 3－π3R 3＝π3R 3.故V 1∶V 2＝1∶1. 答案：1∶115．解析：该空间几何体为一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为πR 2h ＝2π，四棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，高为22－12＝3，体积为13Sh ＝13×(2)2×3＝233，因此几何体的体积为2π＋233. 答案：2π＋23316．解析：由正方体的性质知E 到平面AA 1D 1D 的距离等于C 到平面AA 1D 1D 的距离，于是三棱锥A-DED 1的体积即为三棱锥E-AD 1D 的体积，也是三棱锥C-AD 1D 的体积．因为S △AD 1D ＝12，所以VC AD 1D ＝13S △AD 1D ·CD ＝13×12×1＝16.答案：1617．[导学号：69960019] 解：如图，设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底面的半径分别为r 、R.因为l －10l ＝r R ，所以l －10l ＝14，所以l ＝403(cm)．即圆锥的母线长为403cm.18．解：以AD 为旋转轴，DC 、CB 、BA 旋转一周形成的图形是一个圆台上方挖去一个圆锥后形成的几何体．因为∠ADC ＝135°，CD ＝22， 所以DE ＝CE ＝2.又AB ＝5， 所以BC ＝5，所以S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面 ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(60＋42)π；V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π.19．解：由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．20．[导学号：69960020] 解：连接AO ，BO ，CO ，DO(图略)，则三棱锥A-BCD 被分割成为四个小三棱锥：O-ABC ，O ABD ，O ACD ，O BCD ， 并且这四个小三棱锥的顶点都为O ，高都为r ，底面分别为△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC.故我们有：V A BCD ＝V O ABC ＋V O ABD ＋V O ACD ＋V O BCD ＝13S △ABC ·r ＋13S △ABD ·r ＋13S △ACD ·r ＋13S △BCD ·r ＝13(S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD )r ＝13Sr. 21．解：由三视图可知，该几何体是五棱柱，画法如下：(1)画轴．如图①，画x′轴，y ′轴，z ′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面．在俯视图中，建立直角坐标系xOy ，如图②.根据平面图形的直观图的画法，在图①中画出五边形ABCDE 的直观图A′B′C′D′E′.(3)画侧棱．过A′，B ′，C ′，D ′，E ′各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取A′A″，B ′B ″，C ′C ″，D ′D ″，E ′E ″，使它们都等于正视图中矩形的高．(4)成图．连接A″B″，B ″C ″，C ″D ″，D ″E ″，E ″A ″，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改成虚线)，就得到原几何体的直观图，如图③.22．解：如图所示，连接AC ，BD ，交点为O ，连接SO ，作SP ⊥AB 于点P ，连接OP.在Rt △SOP 中，SO ＝7 m ，OP ＝12BC ＝1 m ， 所以SP ＝22m ，则△SAB 的面积是12×2×22＝22(m 2)． 所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)， 即制造这个塔顶需要8 2 m 2铁板．。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修2全集评估验收卷(四)
评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线y＝x与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：圆心(0，0)在直线y＝x上，故选C.答案：C2．点(1，1)不在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1B．0<a<1C．a≤－1或a≥1 D．a＝±1解析：因为点(1，1)不在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2≥4，所以a≤－1或a≥1.答案：C3．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m>－12B．m<－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12. 答案：A4．空间直角坐标系中，已知A (2，3，5)，B (3，1，4)，则A ，B 两点间的距离为( )A ．6 B. 6 C.30 D.42 解析：|AB |＝（3－2）2＋（1－3）2＋（4－5）2＝ 6.答案：B5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．2 2 解析：圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0. 所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案：C 6．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5.所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D 7．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C8．直线l 过点(－2，0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，圆x 2＋y 2＝2x 化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到直线的距离小于半径，即|3k |k 2＋1＜1，解得－24＜k ＜24. 答案：C9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修2习题：章末综合检测(四) Word版含答案
章末综合检测(四)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：选D.由题设把原点代入方程02＋02－2m ×0＋2m ×0＋2m 2－4<0，所以－2<m < 2.故选D.2．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是( ) A ．m <12B ．m <2C ．m ≤12D ．m ≤2解析：选A.由(－1)2＋12－4m >0，得m <12.故选A.3．过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．x ＝1和y ＝0 C ．x ＝2和y ＝0 D ．不存在 答案：C4．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2解析：选D.公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心为(－1，0)，半径r ＝13，圆心到公共弦的距离d ＝ 5.所以弦长为2×13－5＝4 2.5．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．6．△ABC 的顶点坐标是A (3，1，1)、B (－5，2，1)、C ⎝⎛⎭⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上的射影图形的面积是( )A ．4B ． 3C ．2D ．1解析：选D.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 在yOz 平面上的射影点的坐标分别是(0，1，1)、(0，2，1)、(0，2，3)，它在yOz 平面上是一个直角三角形，简洁求出它的面积为1.故选D.7．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或2解析：选B.由直线系方程可知，直线系恒过直线x ＋3y －12＝0和直线3x －2y ＋8＝0的交点(0，4)，而点(0，4)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的内部，故选B.8．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B ．⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3，3]D ．⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B.法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN |，再结合|MN |≥23可得答案，故选B.9．若点P (1，1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：选A.由题意知，圆心坐标为C (3，0)，则k PC ＝－12，由于MN 与PC 垂直．故MN 的斜率为k ＝2，故弦MN 所在的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0，得(1＋k 2)·x 2＋2kx ＝0.由于两交点恰好关于y 轴对称，所以x 1＋x 2＝－2k1＋k 2＝0，所以k ＝0. 11．(2021·高考全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B ．213C.253D ．43解析：选B.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，所求距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析：选B.由于y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，明显C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________． 解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，149. 答案：⎝⎛⎭⎫0，0，149 14．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数是________． 解析：圆C 1的圆心为C 1(－1，－1)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，1)，半径r 2＝2.圆心距|C 1C 2|＝32＋22＝13，|r 1－r 2|<13<r 1＋r 2，所以两圆相交．所以有两条公切线．答案：215．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．解析：法一：由于|PQ |＝2×1×sin 60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫322＝12，所以1k 2＋1＝12，解得k ＝±3.法二：利用数形结合．如图所示，由于直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，而点(0，1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0，1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，所以∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，所以k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.答案：±316．已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ，b ∈R )，则两圆的位置关系是________解析：由O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4得圆心坐标为(a ，b )，半径为2；由O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1得圆心坐标为(a ＋1，b ＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O 1O 2|＝12＋22＝5，由于|2－1|＝1＜5＜2＋1＝3，所以两圆相交．答案：相交三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又由于∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.由于|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．18．(本小题满分12分)求与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程．解：如图所示，将圆方程配方得(x －6)2＋(y －6)2＝18，所以圆心为(6，6)，半径为3 2.圆心(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝5 2.设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则r ＝52－322＝2，圆心(a ，b )在直线y ＝x 上，且(a ，b )到直线x ＋y －2＝0的距离为2.所以⎩⎨⎧|a ＋b －2|2＝2，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.19．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5)．(1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度． 解：(1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3，|BC |＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6， |AC |＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29，所以△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6. (2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. 所以AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12.20．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简得4a 2＋25＝25(a －1)2.解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎫x －50212＋⎝⎛⎭⎫y －121212＝⎝⎛⎭⎫29212. 21．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4，0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值． 解：(1)由于点P (x ，y )是MN 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 2＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16.故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.22．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a >0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.由于m 为整数，故m ＝1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25.(2)把直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0.即12a 2－5a >0，由于a >0，解得a >512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (3)设符合条件的实数a 存在，由于a ≠0，则直线l 的斜率为－1a ，l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。
数学：必修2人教A同步训练试题及解析必修2全册同步检测：4-2-1
4-2-1同步检测一、选择题1．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相交且过圆心D ．相离2．(2012·安徽卷)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( )A ．10B ．10或－68C ．5或－34D ．－684．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，335．已知直线ax －by ＋c ＝0(ax ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在6．过点P (2,3)引圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的切线，其方程是( )A ．x ＝2B ．12x －5y ＋9＝0C ．5x －12y ＋26＝0D ．x ＝2和12x －5y －9＝07．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．28．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝09．已知直线x ＋7y ＝10把圆x 2＋y 2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π10．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是( )A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >5二、填空题11．已知直线5x ＋12y ＋m ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则m ＝________.12．(2011～2012·北京朝阳一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4x ＝0所截得的弦长为________．13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．14．(2012·江西卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．三、解答题15．已知直线l ：y ＝2x －2，圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0，请判断直线l 与圆C 的位置关系，若相交，则求直线l 被圆C 所截的线段长．16．已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程．17．在直线x －y ＋22＝0上求一点P ，使P 到圆x 2＋y 2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．18．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．详解答案 1[答案] D[解析] 圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则圆心到直线的距离d ＝|1－1－4|2＝22>2，∴直线与圆相离． 2[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.3[答案] B[解析] 由题意得圆心C (1，－2)，半径r ＝5，圆心C 到直线5x －12y ＋c ＝0的距离d ＝|29＋c |13，又r 2＝d 2＋42，所以25＝(29＋c )2132＋16，解得c ＝10或－68. 4[答案] D[解析] 解法1：如图，BC ＝1，AC ＝2， ∴∠BAC ＝30°， ∴－33≤k ≤33.解法2：设直线l 方程为y ＝k (x －4)，则由题意知， |2k －0－4k |1＋k2≤1，∴－33≤k ≤33. 解法3：过A (4,0)的直线l 可设为x ＝my ＋4，代入(x －2)2＋y 2＝1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3＝0，由Δ＝16m 2－12(m 2＋1)＝4m 2－12≥0得 m ≤－3或m ≥ 3.∴l 的斜率k ＝1m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33，特别地，当k ＝0时，显然有公共点，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.5[答案] B[解析] 圆心O (0,0)到直线的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1，则a 2＋b 2＝c 2，即该三角形是直角三角形． 6[答案] D[解析] 点P 在圆外，故过P 必有两条切线， ∴选D. 7[答案] D[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|15＋12－2|32＋42＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d －r ＝5－3＝2，故选D.8[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x －y －5＝0，故选A. 9[答案] D[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，设直线x ＋7y ＝10与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，则圆心O 到直线x ＋7y ＝10的距离d ＝|－10|1＋49＝2，过点O 作OP ⊥MN 于P ，则|MN |＝2r 2－d 2＝2 2.在△MNO 中，|MN |2＋|ON |2＝2r 2＝8＝|MN |2，则∠MON ＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(360－90)×π×2180－90×π×2180＝2π. 10[答案] B[解析] 圆心C (3，－5)，半径为r ，圆心C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|42＋(－3)2＝5，由于圆C 上有且仅有两个点到直线4x－3y －2＝0的距离等于1，则d －1<r <d ＋1，所以4<r <6.11[答案] 8或－18[解析] 由题意，得圆心C (1,0)，半径r ＝1，则|5＋m |52＋122＝1，解得m ＝8或－18.12[答案] 2[解析] 直线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，圆心C (2,0)，半径r ＝2，则圆心到直线3x －y ＝0的距离d ＝|23－0|(3)2＋12＝3，所以所截得的弦长为2r 2－d 2＝24－3＝2.13[答案] x －y －3＝0[解析] 圆心C (1,0)，半径r ＝5，由于PC ⊥AB ， 又k PC ＝－1－02－1＝－1，所以直线AB 的斜率k ＝1，所以直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0. 14[答案] (2，2)[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P (x ，y )，则由已知可得PO (O 为原点)与切线的夹角为30°，由|PO |＝2，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4x ＋y ＝22可得⎩⎨⎧x ＝2y ＝215[解析] 圆心C 为(－1，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2， 所以直线l 与圆C 相交． 设交点为A ，B ，所以|AB |2＝r 2－d 2＝45 5.所以|AB |＝855.所以直线l 被圆C 所截的线段长为85 5.16[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． ∵圆心在直线2x ＋y ＝0上， ∴b ＝－2a ，即圆心为C (a ，－2a )．又∵圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2[(2－a )2＋(－1＋2a )2]，解得a ＝1或a ＝9，∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝13 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 17[解析] 设P (x 0，y 0)，则切线长 S ＝x 20＋y 20－1＝x 20＋(x 0＋22)2－1＝2(x 0＋2)2＋3，当x 0＝－2时，S min ＝ 3此时P (－2，2)．切线长最短为 3.18[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP k OQ ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①又(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③ ∵P 、Q 是在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2) ＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ>0成立， ∴m ＝3.。
数学：必修2人教A同步训练试题及解析必修2全册同步检测：4-2-2
4-2-2同步检测一、选择题1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切2．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A．相交B．外切C．内切D．外离3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝04．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝255．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则R ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 28．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝09．(2011～2012·湖南长沙模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22 C.⎝⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322 D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 10．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －5)2＋(y －5)2＝4}，则A∩B等于()A．∅B．{(0,0)}C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}二、填空题11．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是________．12．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．13．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．14．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．三、解答题15．已知圆O：x2＋y2＝25和圆C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．16．求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．[分析]分内切和外切两种情况讨论．17．一动圆与圆C1：x2＋y2＋6x＋8＝0外切，与圆C2：x2＋y2－6x＋8＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程．18．(09·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．详解答案1[答案] D[解析]圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r＝1，圆C2的圆心为C2(3,4)，半径R＝4，则|C1C2|＝5＝R＋r，所以两圆外切．2[答案] C[解析]由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，∴d＝|r1－r2|.∴两圆内切．3[答案] A[解析] 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A.[点评] 两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB 的垂直平分线．4[答案] B[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25.5[答案] C[解析] r 1＝2，r 2＝3，d ＝5，由于d ＝r 1＋r 2所以两圆外切，故公切线有3条，选C.6[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.7[答案] C[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0，∵两切线互相垂直，∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16. ∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3.8[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为C 1(2，－3)，C 2(3,0)，由圆的性质知，两圆公共弦AB 的垂直平分线方程要过两圆的圆心，由两点式可得所要求的直线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即3x －y －9＝0. 9[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.10[答案] A[解析] 集合A 是圆O ：x 2＋y 2＝1上所有点组成的，集合B 是圆C ：(x －5)2＋(y －5)2＝4上所有点组成的．又O (0,0)，r 1＝1，C (5,5)，r 2＝2，|OC |＝52，∴|OC |>r 1＋r 2＝3，∴圆O 和圆C 外离，无公共点，∴A ∩B ＝∅.11[答案] 4x ＋3y －2＝0[解析] 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x ＋3y －2＝0.12[答案]外切[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．13[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.14[答案]35－5[解析]两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，∴d＝|C1C2|＝45>r1＋r2＝5.∴两圆外离．∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝35－3－2＝35－5.15[解析]两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x＋2y－5＝0.圆x 2＋y 2＝25的圆心到直线AB 的距离d ＝|5|20＝52， ∴公共弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝225－54＝95. 16[解析] 设所求圆的圆心为P (a ，b )，∴(a －4)2＋(b ＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3. ② 由①②，解得a ＝5，b ＝－1.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1.(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝2－1＝1. ③ 由①③，解得a ＝3，b ＝－1.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.综上，可知所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.17[解析] 圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，所以圆心(－3,0)，半径r 1＝1；圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1，所以圆心(3,0)，半径r 2＝1.设动圆圆心为(x ，y )，半径为1，由题意得：(x ＋3)2＋y 2＝r ＋1，(x －3)2＋y 2＝r －1， 所以(x ＋3)2＋y 2－(x －3)2＋y 2＝2，化简整理，得8x 2－y 2＝8(x >0)．所以，动圆圆心的轨迹方程是8x 2－y 2＝8(x >0)． 18[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l的距离为d ＝|1－k (－3－4)|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， ∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧ a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎨⎧ a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(四)(有答案)AKKPnP
模块综合测试二一、选择题（本大题共10个小题；每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1过点(2,3)且与原点距离为1的直线共有…( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：设直线方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0. 由21|23|k k +-=1得3k 2-12k+8=0,Δ=144-3×4×8＞0.∴方程有两解，故满足条件的直线有2条.答案：B2等表面积的球和正方体，它们的体积的大小关系是( )A.V 球>V 正方体B.V 球=V 正方体C.V 球<V 正方体D.不能确定解析：设球半径为R ，长方体棱长为a ，则4πR 2=6a 2,∴a=π32R.V 球=34ππR 3 V 正方体=a 3=a 2·a=32πR 2·π32R=V 球·6π＜V 球. 答案：A3点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是( )A.|a|<1B.a<131 C.|a|<51 D.|a|<131 解析：∵点P 在圆内部∴（5a+1-1)2+(12a)2＜1,即（13a ）2＜1，∴a 2＜(131)2,即|a|＜131. 答案：C4圆柱形容器内壁底半径为5 cm ，三个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这三个小球，容器内的水面将下降（ ） A.25 cm B.5 cm C.340cm D.65 cm 解析：∵球直径为5，∴半径R=25. ∴三个球的体积和为V=3·34πR 3=4πR 3=2125π. 设水面下降为h ，则π·52h=2125π，∴h=25. 答案：A5若P(2，-1)为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析：圆心C （1，0），AB ⊥PC ，又k PC =-1.∴k AB =1,∴AB 方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.答案：A6一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A.必须都是非直角三角形B.至多只能有一个直角三角形C.至多只能有两个直角三角形D.可能都是直角三角形解析：例如，如右图，三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，这样的三棱锥三个侧面都是直角三角形，应选D.答案：D7若两条直线(a 2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直，则a 的值为( )A.3B.3或5C.-5D.3或-5或2解析：由A 1A 2+B 1B 2=0得（a-1）(a 2+a-6)-12(a-2)=0,即（a-1）(a-2)(a+3)-12(a-2)=0，∴(a-2)(a 2+2a-15)=0解得a=2或3或-5.答案：D8正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是( )A.90°B.60°C.45°D.30°解析：如右图，连结A 1B ，则A 1B ∥DE 1，∴∠A 1BC 1为DE 1与BC 1所成的角，连结A 1C 1.∵AB=BC=1，BB 1=2，∴A 1B=BC 1=3.又∠A 1B 1C 1=120°，∴A 1C 1=3，∴∠A 1BC 1=60°.答案：B9若圆x 2+y 2=r 2(r ＞0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r 的取值范围是（ ）A.［4，6］B.［4，6）C.（4，6］D.（4，6）解析：圆心O （0，0）到直线之距离d=525=5. ∴当r=4时，圆上有一点到直线距离为1，r=6时，圆上有三点到直线距离为1.故4＜r ＜6.答案：D10在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是A 1B 1上任意一点，则PD 与BC 1所成的角为（ ）A.30°B.60°C.90°D.不确定解析：连结B 1C ，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BCC 1B 1，∴CD ⊥BC 1，又∵四边形BCC 1B 1为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，∴BC 1⊥面A 1B 1CD.又DP ⊂面A 1B 1CD ，∴BC 1⊥DP.答案：C二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）11若直线x+y-m=0与圆x 2+y 2=m(m>0)相切，则m=_______.解析：由m m =2||得m=2或m=0（舍去）. 答案：212已知点B （2，0），点O 为坐标原点且点A 在圆（x-2）2+(y-2)2=1上运动，则∠AOB 的最大值与最小值分别是___________.解析：如右图，过O 作圆C 的切线，加点分别为D 、E ，连结CD ，OC ，∵C （2，2），∴∠COB=45°.又|CD|=1，|OC|=2，∴∠COD=30°.∴∠AOB 的最小值为∠COB-∠COD=15°.最大值为∠COB+∠COE=∠COB+∠COD=64ππ+=75°.答案：75°，15°13一条直线与两个平行平面中的一个成30°的角，且被两平面截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是_________.解析：如右图，平面α∥平面β，设直线l∩α=A,l∩β=B ，AB=2，过A 作AC ⊥β，垂足为C ，则AC 长即为所求.连结BC ，∠ABC=30°，∴AC=2sin30°=1.答案：114已知A ，B ，C ，P 是球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则球的体积为___________. 解析：∵PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱可构造一个球内接正方体，且棱长为2，则球直径为正方体的对角线.∴2R=222222++， ∴R=3，∴V=34πR 3=34π. 答案：34π 三、解答题(本大题共4个小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)已知：异面直线AB 、CD 都平行于平面α，且AB 、CD 在平面α的两侧，AC 、BD 分别与α相交于M 、N 两点，若M 为AC 的中点.求证:N 为BD 的中点.证明：如右图，连结AD ，交平面α于一点Q ，分别连结MQ,NQ.∵CD ∥α，CD ⊂面ACD ，面ACD∩α=MQ∴CD ∥MQ ，在△ACD 中，∵M 为AC 的中点，∴Q 为AD 中点.∵AB ∥α，同理可证AB ∥QN ，又Q 为AD 中点，故N 为BD 中点.16(本小题满分10分)已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C 的方程. 解析：∵圆C 与y 轴交于A(0,-4),B(0,-2),∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上.又已知圆心在直线2x-y-7=0上,∴联立⎩⎨⎧=---=,072,3y x y 解得x=2. ∴圆心为(2,-3), 半径r=|AC|=5)]4(3[222=---+. ∴所求圆C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.17(本小题满分12分)已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M,N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面PAD;(2)求证:MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证:MN ⊥平面PCD.证明：(1)取PD 的中点E ，连结NE,EA,∵M 、N 、E 分别为AB 、PC 、PD 的中点,∴AM ∥CD 且2AM=CD ，NE ∥CD 且2NE=CD.∴AM ∥NE 且AM=NE.∴四边形MNEA 为平行四边形.∴MN ∥EA.又∵MN ⊄平面PAD,EA ⊂平面PAD,∴MN ∥平面PAD.(2)∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥CD.又CD ⊥AD,AD∩PA=A,∴CD ⊥平面PAD.又AE 在平面PAD 内,∴CD ⊥AE ，AE ∥MN.∴MN ⊥CD.(3)∠PAD=90°,∠PDA=45°,∴△PAD 为等腰直角三角形.又E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又∵AE ⊥CD,PD 与CD 交于D 点, ∴AE ⊥平面PCD.又∵MN ∥AE,∴MN ⊥平面PCD.18(本小题满分12分)求经过点M(5,0)且与圆C:x 2+y 2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程. 解：由题意知圆C:(x+1)2+(y-3)2=5，圆心为C(-1，3)，半径为5.又因为|MC|=22)51()03(--+-=545>,所以点M 在已知圆外.所以两圆外切.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0).由题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=-+-=-+-.5,1,3.510250,)2()1(,)0()5(222222r b a a b r b a r b a 解之得 解之得a=3,b=1,r=5.所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.。
数学：必修2人教A同步训练试题及解析必修2全册同步检测：4-2-3
4-2-3同步检测一、选择题1．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4mB ．3.5mC ．3.6mD ．2.0m2．将直线x ＋y ＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)相切，则r 的值是( )A.22B. 2C.322D ．13．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．34．直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9交于A 、B 两点，则△ABC (C 为圆心)的面积等于( )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 55．圆(x －4)2＋(y －4)2＝4与直线y ＝kx 的交点为P 、Q ，原点为O ，则|OP |·|OQ |的值为( )A ．27B ．28C ．32D ．由k 确定6．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A．24 B．16C．8 D．47．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都不对8．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 69．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是()A．k＝±3B．k∈(－2,2)C．k<－2或k>2D．k<－2或k>2或k＝±310．(拔高题)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A的正东40 km外，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h二、填空题11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.则x－y的最大值和最小值分别是________和________．yx的最大值和最小值分别是________和________．x2＋y2的最大值和最小值分别是______和______．12．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.13．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F 两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．14．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则|PM|的最小值________．三、解答题15．街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积．16．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)[分析] 建系→求点的坐标→求圆的方程→求A 2P 2的长 17．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，求该圆运动的时间．18．如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P 、Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．详解答案1[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5.2[答案] B[解析] 将x ＋y ＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后，所得直线的方程为x －y ＝1.又圆的圆心坐标为(0,1)，∴相切时有r ＝|0－1－1|2＝2，∴r 的值为 2.3[答案] C[解析] x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准形式为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，∵(2,0)关于直线x －y －1＝0对称的点为(1,1)， ∴x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为(1,1)．∵x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0，即为(x －a 2)2＋(y －1)2＝a 24，圆心为(a 2，1)，∴a2＝1，即a ＝2.4[答案] A[解析] ∵圆心到直线的距离d ＝|4＋1|5＝5，∴|AB |＝29－d 2＝4，∴S △ABC ＝12×4×5＝2 5..5[答案] B[解析] 由平面几何知识可知|OP |·|OQ |等于过O 点圆的切线长的平方．6[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．7[答案] B[解析] 由|0＋0－1|a 2＋b 2<1，∴a 2＋b 2>1.8[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6.9[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得k <－2或k >2或k ＝±3.10[答案] B[解析] 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(h)．11[答案] 2＋6，2－6；1，－1；7＋43，7－4 3 [解析] (1)设x －y ＝b 则y ＝x －b 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0有公共点，即|2－b |12＋12≤3，∴2－6≤b ≤2＋ 6故x －y 最大值为2＋6，最小值为2－ 6 (2)设yx ＝k ，则y ＝kx 与x 2＋y 2－4x ＋1＝0 有公共点，即|2k |1＋k2≤ 3∴3≤k ≤3，故yx 最大值为3，最小值为－ 3 (3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r ＝ 3 故(2－3)2≤x 2＋y 2≤(2＋3)2由此x 2＋y 2最大值为7＋43，最小值为7－4 3.12[答案] 251[解析] 如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)，B (－6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2. ①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝51.所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251.13[答案]2 5[解析]∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝|2＋6－3|1＋(－2)2＝5，又R＝3，∴|EF|＝2R2－d2＝4.∴S△CEF＝12|EF|·d＝2 5.14[答案] 4[解析]曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝|CP|2－|CM|2＝|CP|2－16，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP |的最小值是点C 到直线l 1的距离，即|CP |的最小值为d ＝|5＋3|1＋1＝42，则|PM |的最小值为(42)2－16＝4. 15[解析] 如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A (0,7)，B (3,8)，C (7,6)，所以可得过A 、B 、C 三点的圆弧方程为(x －3)2＋(y －3)2＝25(0≤x ≤7，y >0)．|AC |＝(7－0)2＋(6－7)2＝52，设圆弧的圆心为E ，则∠AEC ＝90°.故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形ACE－S △ACE )＝(7＋6)×72＋14π×52－12×52＝33＋25π4m 2. 16[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ，P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A ，B ，P 在此圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 182－18D ＋F ＝0，182＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝0，E ＝48，F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24.[点评] 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．17[解析] 设运动的时间为t t ，则t t 后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t )．∵圆C 与直线l ：y ＝43x －4，即4x －3y －12＝0相切，∴|4×0－3×(1.5－0.5t )－12|32＋42＝1.5. 解得t ＝6或16.即该圆运动的时间为6t 或16t.18[证明] 如图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．。
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高中同步测试卷(四)单元检测空间点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个条件中，能确定一个平面的是()A．空间任意三点B．空间两条直线C．两条平行直线D．一条直线和一个点2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′＝()A．130°B．50°C．130°或50°D．不确定3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线4．下列推断中，错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点6．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内7．以下几个命题：①若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；②若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；③若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①②B．②③C．②D．①③8．在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2，则AA′和BC′所成的角是()A．30°B．60°C．90°D．45°9．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．平行或相交10．已知下列命题：①若直线l平行于α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于α内的无数条直线．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．411．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是() A．过a一定存在平面β，使得β∥α B．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥b D．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b12．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A．2个B．3个C．4个D．5个13．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．14．平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AA1D1D平行的平面是________；与平面A1B1C1D1平行的平面是________，与平面BDD1B1平行的棱有________．16．三个平面把空间最少分为________部分，最多可分为________部分．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．18．(本小题满分12分)求证：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．19.(本小题满分12分)已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．21.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？22．(本小题满分12分)在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．参考答案与解析1．[导学号：69960021]解析：选C.由公理2及其推论可知，两条平行直线确定一个平面．2．解析：选C.由等角定理可知∠A′O′B′＝130°或50°.3．解析：选C.假设c与b平行，由公理4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，所以c和b不可能是平行直线．4．[导学号：69960022]解析：选C.A即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线的三点确定一个平面，故D也对．5．解析：选D.由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．6．解析：选B.若直线上有一点在已知平面外，则直线和平面的位置关系就有平行或相交两种情况，故直线上有无数多个点都在平面外．7．[导学号：69960023]解析：选C.对于①，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于②，正确；对于③，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故③错．所以正确的是②.8.解析：选B.如图，连接AD′，则∠A′AD′为所求角．因为在Rt△A′AD′中，A′D′＝23，AA′＝2，所以tan∠A′AD′＝A′D′AA′＝ 3.又∠A′AD′为锐角，所以∠A′AD′＝60°.9．解析：选D.如图，夹在平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的线段AA1綊BB1綊CC1，面AA1D1D与面AA1B1B之间取D1D的中点E，BB1的中点F，则D1B1綊DB綊EF.10．[导学号：69960024]解析：选A.当l⊂α时，α内有无数条直线与l平行，故①错；直线a在平面α外，包括a∥α，a与α相交，故②错；a∥b，b⊂α，a也可能在α内，故③错；α内与b平行的直线都与a平行，故④正确．11．解析：选B.当a在α内时，不存在a⊂β，且β∥α，故A错，不论b的位置如何，α内都有无数条直线与a垂直，故C错，只要a不与平面α相交，就存在直线b，使得a∥b.故D错误，只有B正确．12．解析：选B.如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.13．[导学号：69960025]解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．答案：0或114．解析：因为a∥α，则a与α没有公共点，c⊂α，所以a和c没有公共点，又因为a 与β相交，则a和c只能异面．答案：异面15．平面BCC1B1平面ABCD AA1，CC116．[导学号：69960026]解析：当三个平面两两平行时，可把空间分为4部分，按下图分时，可分为8部分．答案：4817.解：取BD的中点G，连接EG，FG，因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点， 所以EG 綊12CD ，GF 綊12AB.所以EG 与GF 所成的角即为AB 与CD 所成的角． 因为AB ＝CD ，所以△EFG 为等腰三角形． 又AB 与CD 所成角为30°， 所以∠EGF ＝30°或150°.因为∠GFE 就是EF 与AB 所成的角， 所以EF 与AB 所成的角为75°或15°. 18．证明：已知：A ∈α，A ∈a ，B ∉α，B ∈a. 求证：直线a 与平面α相交．证明：假设直线a 和平面α不相交，则a ∥α或a ⊂α. 假设a ∥α，就与A ∈α，A ∈a 矛盾； 假设a ⊂α，就与B ∉α，B ∈a 矛盾． 所以假设不成立．所以直线a 与平面α相交． 19．证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中， 因为M ，N 分别是CD ，AD 的中点， 所以MN 是三角形DAC 的中位线， 所以MN ∥AC ，MN ＝12AC.由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. 所以MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1，所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.20．[导学号：69960027] 证明：(1)分别连接EF ，A 1B ，D 1C. 因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，所以EF 綊12A 1B.又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1. 所以EF 与CD 1确定一个平面， 所以E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)因为EF 綊12CD 1，所以直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ，如图．因为D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， 所以P ∈平面AA 1D 1D. 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， 所以P ∈平面ABCD.所以P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 又平面ABCD∩平面AA 1D 1D ＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE ，D 1F ，DA 三线共点．21．解：因为B 1∈平面A 1C 1，D 1∈平面A 1C 1， 所以B 1D 1⊂平面A 1C 1.因为B 1∈平面BC 1，D 1∉平面BC 1， 所以直线B 1D 1∩ 平面BC 1＝B 1.同理直线B 1D 1与平面AB 1、平面AD 1、平面CD 1都相交．在平行四边形B 1BDD 1中，B 1D 1∥BD ，B 1D 1与BD 无公共点，所以B 1D 1与平面AC 无公共点，所以B 1D 1∥平面AC. 22．解：(1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点． 又点N 为平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的公共点， 连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l. (2)因为M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， 所以A 1是QD 1的中点． 又因为A 1P ∥D 1N ， 所以A 1P ＝12D 1N.因为N 是D 1C 1的中点， 所以A 1P ＝14D 1C 1＝a4，所以PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a.(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． 因为QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，所以D 1H ＝D 1Q ·D 1NQN＝2a·a 24a 2＋a 24＝21717a ，即点D 1到l 的距离是21717 a.。