2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题附解答

2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知空间直角坐标系中，2，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：空间直角坐标系中，2，，
．
故选：B．
利用两点间距离公式直接求解．
本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.直线的倾斜角大小为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意，直线的斜率为，即直线倾斜角的正切值是
又倾斜角大于或等于且小于，
故直线的倾斜角为，
故选：A．
先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．
本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围．
3.以为准线的抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：以为准线的抛物线，开口向左，可得，
所以抛物线的标准方程为：．
故选：D．
利用抛物线的准线方程，判断抛物线的开口方向，然后求解抛物线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基本知识的考查．
4.“若，则”的否命题是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】A
【解析】解：若p则q的否命题为若￢则￢，
即命题的否命题为：若，则，
故选：A．
根据否命题的定义进行判断即可．
本题主要考查四种命题之间的关系，根据否命题的定义由若p则q的否命题为若￢则￢进行判断即可．
5.已知直线l：与圆N：相切，则a为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，直线l：与圆N：相切，则有，
解可得：；
故选：D．
根据题意，由直线与圆相切的性质可得，解可得a的值，即可得答案．
本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.设某高中的学生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一
组样本数据2，，，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kg
D. 若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加
【答案】C
【解析】解：根据y与x的线性回归方程为，则，y与x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心，B正确；
该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；
若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加，D正确．
不正确的结论是C．
故选：C．
根据线性回归方程的意义，逐一判断四个选项得答案．
本题考查了线性回归方程的意义与应用问题，是基础题．
7.“”是“方程为椭圆”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：若方程为椭圆方程，
则，解得：，且，
故“”是“方程为椭圆方程”的必要不充分条件，
故选：B．
求出方程为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．
8.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度单位：组成一个样本，得
到如图所示的茎叶图若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用，表示，则
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】解：由茎叶图得：
甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，
，．
故选：C．
由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，由此能求出结果．
本题考查平均数、标准差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的
秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算
法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为
A. 16
B. 18
C. 48
D. 143
【答案】C
【解析】解：初始值，，程序运行过程如下表所示：
，
，
，
，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．
故选：C．
由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．
10.小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等
候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：设记7：30为0，则8：30记为60，设
小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华
到达“思源广场”为y时刻，则，
，
记“两人能会面”为事件A，则事件A：
，
由图知：两人能会面的概率是：
多边形的面积
，
正方形的面积
故选：B．
由几何概型中的面积型，不妨设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则，，记“两人能会面”为事件A，则事件A：，再观察图象可得解．
本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．
11.双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点P
为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为
A. 16
B.
C.
D. 18
【答案】D
【解析】解：双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，可得，，，．
双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，
则，的周长为，
当P点在第二象限时，的最小值为，
故的周长的最小值为．
故选：D．
利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．
本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用．
12.已知A，B是以F为焦点的抛物线上两点，且满足，则弦AB中
点到准线距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设，由抛物线的定义知
，，
中，，，，
直线AB方程为，
与抛物线方程联立消y得，
所以AB中点到准线距离为．
故选：A．
设，由抛物线的定义知和，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题常需要利用抛物线的定义来解决．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.把二进制数转化为十进制的数为______．
【答案】19
【解析】解：
故答案为：19
本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．
二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权即该数位上的1表示2的多少次方，然后相加之和即是十进制数大家在做二进制转换成十进制需要注
意的是：要知道二进制每位的权值；要能求出每位的值
14.已知双曲线，则它的右焦点到它的渐近线的距离是______．
【答案】
【解析】解：双曲线，可得，，，
则右焦点到它的渐近线的距离为．
故答案为：．
将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c的值，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
15.若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为
______．
【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
命题“，”是真命题，
即对应的判别式，
即，
，
即，
故答案为：．
根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．
本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．
16.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，抛物线
且与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为______．
【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，如下图所示，
作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物
线的定义知，
易知，轴，则，所以，，
设，则，由椭圆定义可知，，
在中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．，则，可得离心率．
当时，离心率为，合乎题意；
当时，离心率为，不合乎题意．
综上所述，椭圆C的离心率为．
故答案为：．
作PE垂直于抛物线的准线l于点E，由抛物线的定义得出，
并设，则，由椭圆定义可得出2a，在中利用余弦定理可求出2c的值，再由得出离心率，从而对2c的值分类讨论，可得出椭圆C的离心率的值．
本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知直线：，：．
Ⅰ若，求，间的距离；
Ⅱ求证：直线必过第三象限．
【答案】解：Ⅰ若，直线：，：，
则有，求得，故直线即：，
故，间的距离为．
Ⅱ证明：直线：，即，
必经过直线和直线的交点，而点在第三象限，
直线必过第三象限．
【解析】Ⅰ由求得k的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得，间的距离．
Ⅱ在直线方程中，分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标，再根据此定点在第三象限，得出结论．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，还考查
了直线经过定点问题，属于基础题．
18.已知命题p：实数m满，其中；命题q：点在圆
的内部．
Ⅰ当，为真时，求m的取值范围；
Ⅱ若￢是￢的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ当，命题p：，，
命题q：点在圆的内部，
，，为真，
的取值范围为；
Ⅱ命题p：，
，，设
命题q：，设
￢是￢的充分不必要条件，
￢￢，￢推不出￢，
，p推不出q，
，，，
的取值范围为．
【解析】Ⅰ当，命题p：，命题q：，由为真，取交集即可；
Ⅱ命题p：，设，命题q：，设由题意得，得，
得．
本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解法，考查了推理能力，属于基础题．19.已知线段AB的端点B在圆：上运动，端点A的坐标为，
线段AB中点为M，
Ⅰ试求M点的轨迹方程；
Ⅱ若圆与曲线交于C，D两点，试求线段CD的长．
【答案】解：Ⅰ设，，
则由题意可得：，解得：，
点B在圆：上，
，
，即．
轨迹方程为；
Ⅱ由方程组，解得直线CD的方程为，
圆的圆心到直线CD的距离为，
圆的半径为4，
线段CD的长为．
【解析】Ⅰ设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆的方程得答案；
Ⅱ求出圆的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
20.随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词
的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间单位：分钟将学生分成六个组：，，，，，经统计得到了如图所示的频率分布直方图．Ⅰ求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．
Ⅱ若两个同学诵读诗词的时间x，y满足，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．
【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得：
，
解得．
该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：
．的频率为：，
的频率为：，
估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：
．
Ⅱ从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，
则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：人，
从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：人，
现从这5人中随机选取2人，基本事件总数，
两个同学诵读诗词的时间x，y满足，则这两个同学组成一个“Team”，
选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数．
选取的两人能组成一个“Team”的概率．
【解析】Ⅰ由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．
Ⅱ从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数由此能求出选取的两人能组成一个“Team”的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.已知椭圆C：，过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆
相切．
求椭圆C的方程；
设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．【答案】解：椭圆C的右顶点，上顶点，
设直线l的方程为：，化为：，
直线l与圆相切，
，，解得．
椭圆C的方程为．
当直线AB的斜率不存在时，
设，则，
由得，得．
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为，，，
，
得，
，
即，
由，，
即，
故直线AB过定点．
【解析】椭圆C的右顶点，上顶点，设直线l的方程为：，化为：，由于直线l与圆相切，可得，，解得a，即
可得出椭圆C的方程．
对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用，及其斜率计算公式即可得出当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为
极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；
Ⅱ若l和C相交于A，B两点，求的值．
【答案】解：直线l的参数方程为为参数，
的直角坐标方程为，
曲线C的极坐标方程为，即，
的直角坐标方程为，即．
联立，得，
，
设，，则，，
．
【解析】直线l的参数方程消去参数，能求出l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程转化为，由此能求出C的直角坐标方程．
联立，得，利用韦达定理、弦长公式能求出．
本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.设函数，．
Ⅰ求不等式的解集．
Ⅱ若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ由，
得：，
解得：，
故不等式的解集是；
Ⅱ若存在，使得不等式成立，
即存在，使得成立，
当时，即在上有解，
故，
当时，不成立，
当时，即在上有解，
故，
当时，即在上有解，
故，
综上，或．
【解析】Ⅰ两边平方求出不等式的解集即可；
Ⅱ通过讨论x的范围，去掉绝对值，分离参数a，结合x的范围从而求出a的范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。