福建省福州市第四中学桔园洲中学高一数学文月考试题含解析

福建省福州市第四中学桔园洲中学高一数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 关于的二次方程=0没有实数根，则向量与的夹角的范围为
A. B.
C. D.
参考答案：
D
2. 已知直线：与：平行，则k的值是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 集合,集合A的真子集个数是( )
A. 3个
B. 4个
C. 7个
D. 8个
参考答案：
A
略
4. 下列图形中，表示的是（）参考答案：
C
略
5. cos570°=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
直接利用诱导公式化简得解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简及特殊角的三角函数值，属于基础题。

6. 根据如下样本数据：
求得y关于x的线性回归方程为，则x每减少1个单位，y
A. 增加0.7个单位
B. 减少0.7个单位
C. 增加2.2个单位
D. 减少2.2个单位
参考答案：
D
，则每减少1个单位，减少2.2个单位.
7. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}
参考答案：
A
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合．
【解答】解：图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，
故图中阴影部分所表示的集合是{4}，
故选A．
【点评】本题考查了集合的图示运算，属于基础题．
8. 已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）
参考答案：
B
【考点】对数函数的单调区间．
【分析】本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．
【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即log a2＞log a（2﹣a）．
∴，
∴1＜a＜2．
故答案为：B．
9. 为了得到函数y＝sin(3x＋)的图像，只需把函数y＝sin3x的图像 ( )
A. 向左平移
B. 向左平移
C. 向右平移
D. 向右平移参考答案：
B
略
10. 在中，若，则是（）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是（填序号）
参考答案：
②③④
【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
12. 如果实数满足等式，那么的最大值为______
参考答案：
13. 球的表面积为，则球的体积为___________
.
参考答案：
略
14. 某校高一年级有个学生，高二年级有个学生，高三年级有300个学生，采用分层抽样抽一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，则此学校共有学
生
人． 参考答案： 900 略
15. 一个服装加工厂计划从2008年至2018年10年间将加工服装的生产能力翻两番，那么按照计划其生产力的年平均增长率应为________________________．
参考答案：
略
16. 已知
是定义在
上的奇函数, 当
时,
,则
的值为
________________
参考答案：
-7 由已知
是定义在上的奇函数, 当
时,
，所以
，则
=
17. 函数的最小正周期是________.
参考答案：
π 【分析】
根据函数的周期公式计算即可.
【详解】函数
的最小正周期是
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 已知函数
定义在(―1，1)上，对于任意的
，有
，且当
时，。

(1)验证函数是否满足这些条件；
(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明； (3)若
，求方程
的解。

参考答案：
①
∴－1<x<1即定义域为(－1,1)
∴成立
②令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x 则f(x)+f(－x)=0 ∴f(－x)=－f(x)为奇函数
任取、
③∵f(x)为奇函数∴
由
∵f(x)为(－1，1)上单调函数
19. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（1）如果，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；
（2）如果，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率.
（注：方差，其中为的平均数）.
参考答案：
（1）平均数，方差（2）
【分析】
（1）根据平均数和方差计算公式直接求得结果；（2）首先确定在甲、乙两组随机选取一名同学的所有情况，再找到次数和为的情况，根据古典概型求得结果.
【详解】（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学的引体向上次数是，，，平均数为：方差为：
（2）记甲组四名同学分别为，，，，引体向上的次数依次为，，，；
乙组四名同学分别为，，，，他们引体向上次数依次为，，，
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有个，即：，，，，，，，，，，，
，，，，
用表示“选出的两名同学的引体向上次数和为”这一事件
则中的结果有个，它们是：，，，
故所求概率：
【点睛】本题考查平均数、方差的求解，古典概型的概率问题求解，考查学生的基础运算能力，属于基础题.
20.
参考答案：
21. 已知数列{a n}的前n项和为.
（1）求这个数列的通项公式a n；
（2）若，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果
.
【详解】（1）当且时，…①
当时，，也满足①式
数列的通项公式为：
（2）由（1）知：
【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.
22. 利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.
参考答案：
证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，
而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，
所以|sinα|＋|cosα|＝1.
当角α的终边落在四个象限时，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，过P作PM⊥x轴于点
M(如图)，
则|sinα|＝|MP|，|cosα|＝|OM|，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|>1，
综上有|sinα|＋|cosα|≥1.。