2017-2018学年高中数学四教材用书：第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理含答案

2．3平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
平面向量基
本定理
[
问题1：在物理中,我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以．
问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么?
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1,e2表示？为什么？
提示：不一定．当a与e1共线时可以表示,否则不能表示．
[导入新知］
平面向量基本定理
条
件
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，
λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底
［化解疑难］
理解平面向量基本定理应关注的三点
(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底,所以基底的选取不唯一．
（2）零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．（3)λ1，λ2是唯一的。

两向量
的夹角
[提出问题］
问题1:平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
提示：不一样．
[导入新知］
向量的夹角
条件两个非零向量a和b
产生
过程
作向量OA＝a,OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b
的夹角
范围[0，π]
特殊
情况θ＝0°a与b同向
θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b θ＝
180°
a与b反向
[
正确理解向量的夹角
（1）向量夹角的几何表示：
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a，b，作OA＝a,OB＝b,则∠AOB为a与b的夹角．
(2)注意事项:
①向量的夹角是针对非零向量定义的．
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是［0，π］和错误!.
用基底表
示向量
[例1] 如图,梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a,b表示DC，BC，MN。

［解］如图所示,连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则DC＝AN＝错误!AB＝错误!a；
BC＝NC－NB＝AD－错误!AB＝b－错误!a；
MN＝CN－CM＝－AD－错误!CD
＝－AD－错误!错误!＝错误!a－b.
［类题通法]
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图所示,已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，
DC边的中点．若AB＝a，AD＝b,试用a，b为基底表示向量DE，
BF.
答案:DE＝a－错误!b；BF＝b－错误!a
向量夹角的
简单求解
[例2] 已知｜a｜＝｜b|＝2，且a与b的夹角为60°,则a＋b 与a的夹角是多少?a－b与a的夹角又是多少？
[解］如图所示,作OA＝a,OB＝b,且∠AOB＝60°.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB,则OC＝a＋b，BA＝a－b。

因为|a｜＝｜b|＝2,所以平行四边形OACB是菱形．又因为∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°。

即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
［类题通法]
求两个向量夹角的方法
求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算"．
[活学活用］
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1）求向量AB与向量BC的夹角;
（2）若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．
答案：(1）120°（2)90°
平面向量基本定理的
唯一性及其应用
[例3］（1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y)e2＝（4y －7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（)
A．0，0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
(2）在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF,其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
［解］(1)D
(2）设AB＝a，BC＝b，则AF＝a＋错误!b，AE＝b＋错误!a,AC＝a＋b，所以AC＝λAE＋μAF＝λ错误!＋μ错误!＝错误!b＋错误!a＝a＋b。

又因为a，b 不共线,所以错误!解得λ＝μ＝错误!，所以λ＋μ＝错误!。

［类题通法]
1．平面向量基本定理唯一性的应用
设a,b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则错误!
2．重要结论
设e1，e2是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2
＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋
λ2e2当λ2＝0时，a与
e1共线
当λ1＝0时,a与e2
共线
λ1＝λ2＝0时,a＝0
［活学活用］
若向量a,b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
答案:c，d能作为基底．
5．平面向量基本定理的应用［典例］（12分)如图,在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P,求AP∶PM 的值．
[解题流程］
[规范解答]
设BM＝e1，CN ＝e2，
则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，
BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.(2分)
∵A,P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ，
使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，(4分）
BP＝μBN＝2μe1＋μe2.(6分）
故BA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2。

[名师批注]
选取恰当的基底是解决此类问题的前提．若不能根据题意选出基底或设出基向量,则后续推导无法进行．
利用A，P，M和B，P，N分别共线建立AP＝λAM，BP＝μBN是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法．
而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2,(8分）
由平面向量基本定理,
得错误!
解得错误!（10分)
∴AP ＝4
5AM，∴AP∶PM
＝4∶1。

(12分)
由平面向量基本定理的唯一性建立关于λ，μ的方程组，求出λ，μ的值，即可求出AP与AM的关系，进而求出AP∶PM 的值．
［活学活用］
如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M，N两点，若AM＝x AB，AN＝y AC,试问：错误!＋错误!是否为定值？
答案：错误!＋错误!＝4，为定值．
［随堂即时演练]
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组:①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行
四边形所在平面的基底的是（）
A．①②B．①③
C．①④D．③④
答案:B
2．已知▱ABCD中,∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为（) A．30°B．60°
C．120°D．150°
答案：D
3．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设OA＝e1,OB＝e2，以e1,e2为基底来表示OC＝________,OD＝________。

答案:错误!e1＋错误!e2错误!e1＋错误!e2
4．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底,则k等于________．
答案：1
5．梯形ABCD中,AB∥CD，M，N分别是DA,BC的中点，且DC AB
＝k，设AD＝e1，AB＝e2，以e1，e2为基底表示向量BC.
答案：BC＝e1＋(k－1)e2
[课时达标检测]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）
①λe1＋μe2（λ,μ∈R）可以表示平面α内的所有向量;
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②B．②③
C．③④D．②
答案：B
2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是（)
A．e1，e1＋e2
B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1
D．e1＋e2，e1－e2
答案：C
3．如图，在矩形ABCD中，若BC＝5e1，DC＝3e2,则OC＝（）A.错误!（5e1＋3e2)
B.1
2
(5e1－3e2）
C。

错误!（3e2－5e1）
D.错误!（5e2－3e1）
答案：A
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD＝a，
BE＝b，则BC＝( )
A。

错误!a＋错误!b B。

错误!a＋错误!b
C。

错误!a－错误!b D．－错误!a＋错误!b
答案：B
5．A，B，O是平面内不共线的三个定点,且OA＝a,OB＝b，点P
关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则PR―→等于
（）
A．a－b
B．2（b－a)
C．2（a－b)
D．b－a
答案：B
二、填空题
6．已知非零向量a，b,c满足a＋b＋c＝0,向量a，b的夹角为120°，且｜b|＝2|a｜,则向量a与c的夹角为________．答案：90°
7．如图，在△ABC中,AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________。

答案：错误!
8．设e1,e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2,则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合，即e1＋e2＝________.
答案：错误!a－错误!b
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2。

(1）证明：a,b可以作为一组基底;
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式;
（3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：（1）证明：若a,b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1,e2不共线，得错误!⇒错误!
∴λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2）＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n）e1＋（－2m＋3n)e2.
∴错误!⇒错误!
∴c＝2a＋b。

(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ（e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋（－2λ＋3μ)e2。

∴错误!⇒错误!
故所求λ，μ的值分别为3和1.
10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设AD＝a，AB＝b，试用a，b表示DC，EF，FC.
解:∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
∴FC＝AD＝a，DC＝AF＝错误!AB＝错误!b。

EF＝ED＋DA＋AF
＝－错误!DC－AD＋错误!AB
＝－错误!×错误!b－a＋错误!b＝错误!b－a。

11。

如图,平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与
OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA｜＝|OB｜＝1,
|OC｜＝2错误!，若OC＝λOA＋μOB（λ,μ∈R)，求λ＋μ的值．
解:如图，以OA,OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边
形ODCE，则OC＝OD＋OE。

在Rt△OCD中,
∵|OC｜＝2错误!,
∠COD＝30°，∠OCD＝90°,
∴｜OD|＝4，|CD｜＝2，
故OD＝4OA，OE＝2OB，
即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6。