广东省揭阳一中2015届高三上学期期中考试数学(理)(附答案)

(第6题)
揭阳一中2014—2015学年度高三上学期期中考试
数学试题(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知)2,
0(=，)1,1(
= ，则下列结论中正确的是
A.)()(+⊥-
B. ⊥-)(
C.b a // =2．若直线1:(1)2l x m y m ++=-与直线2:2416l mx y +=-平行，则m = A.2m =- B.1m = C. 2m =-或 1m =
D. 23
-
3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()x f x e m =+（m 为常数），则(ln 5)f -的值为
A. 4-
B. 4
C. 6-
D. 6
4．曲线
2211612
x y +=与曲线22
1(1216)1612x y k k k +=<<--的 A.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 5．下列命题中，错误．．
的是 A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．“ac bd =”是“复数a bi +与c di +的积是纯虚数”的（ ）条件.
A ．充分必要
B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
8．定义一种新运算：,(),()
b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨
<⎩，已知函数24
()(1)log f x x x =+⊗，若函数
()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为.
A.(]1,2
B.(1,2)
C.(0,2)
D.(0,1) 二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）
9.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120
的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.
10．已知数列{}n a 满足313l o g l o g 1n n a a +=
-,且2489a a a ++=,则
()168123
log a a a ++= .
11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 32
2
=-，
B C sin 32sin = ，则角A ＝._________
12.
(sin )x x dx π
-=⎰
____________.
13.已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ .
15．(几何证明选讲选做题) 如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝2，BC
＝O 的半径等于________．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数)
()2cos cos 1()f x x
x x x R =-+∈
（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间50,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）若00107(),,13212f x x ππ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。

俯视图
左视图
主视图1
2
23
17. （本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为15
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率； （2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
18. （本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （1）求证：点M 为BC 的中点； （2）求点B 到平面AMC 1的距离； （3）求二面角M —AC 1—C 的大小.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆E ：22221x y a b +=(0a b >>)
(1,0)F .
（1）求椭圆的方程；
（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M N ，两点，若ON OM ⊥，求直线l 的方程．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
第18题图
20．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-(n ∈N*). （1）求1a 的值，并证明数列{}2
n
n a 是等差数列； （2）设2
log 1n n a b n =+，数列1
{}n
b 的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意n ∈N *且n ≥2，都有320
n n m
B B ->成立，求m 的最大值；
21．（本小题满分14分）
已知函数f （x ）=－x 2+2ln x 与g(x )=x +a
x
有相同极值点． (1) 求实数a 的值；
(2) 若x 1 ，x 2是区间[2，3 ] 内任意两个不同的数，求证：1212|()()|6||;f x f x x x -<- (3) 若对于任意x 1 ，x 2∈[1
e ，3 ]，不等式12()()1
f x
g x k --≤1恒成立，求实数k 的取值范围．
参考答案及评分说明
一．选择题：BBAC DCCB
二．填空题：9. 3
3
2；10. 2；11. 6π；12.
222π-；； 14. 15. 2. 三．解题题：
16．解：（1）解：由)
()2cos cos 1f x x
x x =-+，得
2()cos )(2cos 1)2cos22sin(2)6
f x x x x x x x π
=--=-=- (2)
分
所以函数()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………3分
因为()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间5,312ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，……
4分 又
5
(0)1,2,
312f f f ππ⎛⎫
⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
…………………………………………………………5分
所以函数()f x 在区间50,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，最小值为1-.…………………………………
6分
（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭ 又
因
为
010()13
f x =
，
所
以
05sin 2613x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭……………………………………………………7分
由07,212x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得052,66x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………
8分
从
而
012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ (9)
分 所以
0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…
…12分
17．解：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么 P (A )=P (B )=P (C )=
1
5
……………………………………………………………………………2分 P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=144
2()55
125
=
………………………………………………5分 答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为
4
………………………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3……………………………………………………………………7分 P (ξ=k )=331
4()()
5
5
k
k
k
C -(k =0,1,2,3)…………………………………………………………9分
所以中奖人数ξ的分布列为
………………………………………………………………10分
E ξ=0×64125+1×48125+2×12125+3×1
125=35
……………………………………………………12分
18．（1）证明：∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，有CC 1⊥底面ABC ，AM ⊂面ABC ∴1CC AM ⊥………………………………………………………………………………1分
又∵△AMC 1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1
111CC C M C ⋂= ，
AM ∴⊥
面
1CC M …………………………………………………………………………2分
BC ⊂ 面1CC M ，
AM BC ∴⊥……………………………………………………………………………
…3分
∵底面ABC 是边长为1的正三角形， ∴
点
M
为
BC
中
点.…………………………………………………………………………4分 （2）解法（一）
过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.
∴AM ⊥BH . ∴BH ⊥平面AMC 1.
∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离.……………………6分
AM =C 1M =,2
3
在Rt △CC 1M
中，可得12
CC =……………………………………………………7分
∵△BHM ∽△C 1CM.,
.662
3
21
2211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH ……………………………………9分
解法（二）
设点B 到平面AMC 1的距离为h.则11BMC A AMC B V V --=………………………………5分 由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ，
∴AM ⊥平面C 1CBB 1……………………………………………………………………6分
∵AB =1，BM =
.2
2,23,2111===CC MC AM 可求出…………………………7分 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113
1
31…………………………………………………………8分 232221213123232131⨯
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 得6
6
=h ……………………9分 （3）（解法一） 过M 作MH AC ⊥于H ，作1MG AC ⊥于G ，连结GH.
11,AC ABC AC ABC AC ⊥⋂= 面面且面面，又,MH ABC MH AC ⊂⊥面 1MH AC ∴⊥面
1MH AC ∴⊥
又因为1MG AC ⊥，且MH MG M ⋂=
1AC ∴⊥面MHG 1AC GH ∴⊥,
故MGH ∠为二面角1M AC C --的平面角……………………………………11分 由（1
）知12MH AM =
=
在等腰直角三角形1AMC
中，MG AM =
==
sin MH MGH MG ∴∠=
==
………………………………………………13分 因为二面角1M AC C --为锐二面角，故4
MGH π
∠=
所以二面角1M AC C --的大小为
4
π
.………………………………………………14分 （解法二）过M 作11//MM CC 交11B C 于1M .
以M 为坐标原点，1,,BC AM MM 分别为x 轴，y 轴，z 轴方向，建立空间直角坐标系.………………………………………10分 设面1ACC 的一个法向量为(,,)u x y z =
由100AC u CC u ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得1020x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取1y =
，则0x z ==
()
u ∴=
………………………………………………………………………………
…11分 同
理
可
求
得
面
1
A
M C
的一个法向量
为
(
)
,0,1v =
…………………………………………12分
设二面角1M AC C --的大小为θ，由图知θ为锐角
故
cos cos ,2u v θ==
=
………………………………………………………………13分
故二面角1M AC C --的大小为4
π
……………………………………………………………14分
19．解：（1
）依题意可得2212
1a a b ⎧=
⎪⎨⎪=+⎩
…………………………………………………………2分
解得 1.a b ==椭圆E 的标准方程为12
22
=+y x ．………………………………………4分
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，不符题意．……………………………………5分
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．……………………………………6分
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(,1222
x k y y x 得：0)1(24]21[2222=-+-+k x k x k ，……………………………………8分
所以2221214k k x x +=+，2
22121)
1(2k
k x x +-=⋅．…………………………………………………10分
于是：2
2
21212
212
2121]1)([)1)(1(k
k x x x x k x x k y y +-=++-=--=⋅． 因为ON OM ⊥，所以0=⋅ON OM ，
所以0212
2
22121=+-=
⋅+⋅k k y y x x ，所以，2±=k ，………………………………………13分
所以，直线l 的方程为：).1(2-±=x y …………………………………………………………14分
20. 解（1）由21122S a =-可得14,a =…………………………………………………………1分
由122n n n S a +=-，得1122n n n S a --=-(n ≥2)……………………………………………………2分
两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122n n n a a --=(n ≥2) ，于是1
1122
n n n n a a ---=…………4分 所以数列{}2
n
n a 是以首项为2，公差为1的等差数列.………………………………………………5分
（2）
1
12,2a = 所以2(1)12
n n a n n =+-=+，故(1)2n
n a n =+⋅.………………………………
6分
因为2
2log log 21
n n
n a b n n ===+，
12111111
12n n B b b b n
∴=
+++=+++ ，………………8分 则3111123n n B B n n n -=+++++ . 令111
()123f n n n n
=+++++ ， 则
111111
(1)233313233
f n n n n n n n +=
++++++
+++++ ………………………………………10分
所以1111
(1)()3132331f n f n n n n n +-=
++-
++++
112112
0313233333333
n n n n n n =
+->+-=++++++. 即(1)()f n f n +>，所以数列{}()f n 为递增数列. ……………………………………12分
所以当n ≥2时，()f n 的最小值为111119
(2)345620
f =
+++=
. 据题意，1920
20
m <，即19m <.又m 为整数，故m 的最大值为18. …………………………
14分
21．解：（1）由22(1)(1)()2x x f x x x x
+-
'=-+=-……………………………………………………
1分
知当01x <<时'()0f x >；当1x >时'()0f x <； ∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ∴
1
x =为函数()f x 的极大值
点．……………………………………………………………2分
又函数f （x ）=－x 2+2ln x 与g(x )=x +a
x
有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点， ∵
2()1a g x x
'=-
．∴ (1)10g a '=-=，解得1a =．………………………………………3分
经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意．……………………………………4分
（2）由（1）知函数()f x 在[2，3 ]上单调递减，
不妨设1212121221,|()()|6||()()6()x x f x f x x x f x f x x x <∴-<-⇔-<-
1122
()6()6f x x f x x ⇔+<+，令
(
h x
f x
=
+
………………………………………6分 则2
()26h x x x
'=-+
+，因为()h x '在()
2,3上单调递减，且
2
(2)226302
h '=-⋅+
+=> 当(2,3)x ∈时，()0,h x '>
所以函数()h x 在[2，3 ]上单调递增，12()()h x h x ∴<，所以问题得证。

………………8分
（3）∵ 211
()2f e e
=--，(1)1f =-，(3)92ln3f =-+，
∵ 2192ln321e -+<--<-， 即 1
(3)()(1)
f f f e
<<， ∴
11
[,3]
x e
∀∈，
1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-．…………………………9分
由（1）知1()g x x x =+
，∴21()1g x x '=-
. 当1
[,1)x e
∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．
故()g x 在1
[,1)e
为减函数，在(1,3]上为增函数．
∵ 11110
(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，
而 11023e e <+<, 1
(1)()(3),
g g g e ∴<<
∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10
()(1)2,()(3)3
g x g g x g ====． (10)
分
① 当10k ->，即1k >时，对于121
,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11
f x
g x k -≤-恒成立
12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+
12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-
，∴ 312k ≥-+=-，
又∵ 1k >，∴ 1k >． (12)
分
② 当10k -<，即1k <时，对于121
,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()1
1f x g x k -≤- 12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+．
∵ 121037
()()(3)(3)92ln32ln333
f x
g x f g -≥-=-+-=-+， ∴ 342ln33k ≤-
+．又∵1k <，∴ 34
2ln33
k ≤-+． 综上，所求的实数k 的取值范围为34
(,2ln3](1,)3
-∞-++∞ ．……………………………… 14分。