2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷2)及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第I 卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{0，1，2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项I4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数，最小正周期为32πB ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量与则若,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2005年高考重庆文科数学试题及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平等于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 210．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A.12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 14．若y x y x -=+则,422的最大值是 .15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 . 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分） 解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角. 在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(，又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角. 故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k 故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故 （II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ， 2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b 故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n 因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n 因故 故2}34{=-q b n 确是公比为的等比数列.n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n n n b b b n n n 解法二： （Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由 （Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n 所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n n n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即 解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nn n n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b ;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---n n n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由 n b b b n ++++=)(2121 ).152(313521)21(31-+=+--=n n n n。
2005年高考.全国卷II.文科数学试题精析详解(黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】()|sin cos |)|f x x x x ϕ=+=+，f(x)的最小正周期为π. 选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P 、Q 在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线PQ 交CB 的延长线于E ，交CD 的延长F ，作直线ER 交1CC 的延长线于G ，交1BB 于S ，作直线GF 交1DD 于H ，交11C D H ，连结PS,RT,HQ ，则过P 、Q 、R 的截面图形为六边形PQHTRS ， 故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究.. （3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.CC 1【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则 （A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 【思路点拨】本题考查参数ω对于函数tan y x ω=性质的影响. 【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tan y x =在（－2π，2π）上是增函数，而tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，所以ππω-≥，即10ω-≤<.选B【解法2】可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除(A)，(C),又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π,∴tan y x ω=在(,)22ππ-内不连续,在这个区间内不是减函数,这样排除(D),故选(B)。
2005年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 2．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则()U P Q =A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 3．点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )A ．21 B ． 32C ．2D ．24．设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A ． 12-B ．0C ．12D ．1 5．在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．5-B ．5C ．－10D ．106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.377．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题8．已知向量(5,3)a x =-，(2,)b x =，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是 A ．{}2,3 B ．{}1,6- C ．{}2 D ．{}69．函数31y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．110．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2005年全国Ⅱ高考试题(文)
2005年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为A ．0B ．－8C ．2D ．103．在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V5．设137x=，则A ．21x -<<-B ．32x -<<-C ．10x -<<D ．01x <<6．若ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．设02x π≤≤sin cos x x =-，则A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤ 8．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+＝A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为A ．43B ．53C ．3D 10．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2B ．12C ．2D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯＝ A ．6EB ．72C ．5FD ．0B第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”大度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人．14．已知向量(,12)OA k = ，(4,5)OB = ，(,10)OC k =-，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝15．曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为 ．16．已知在△ABC 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin sin 2f x x x =+，[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x的集合． 18．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （2）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．V D A BC19．（本小题满分12分）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．20．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列1a ，3a ，1k a ，2k a ，……，n k a ，……成等比数列，求数列{}n k 的通项n k ．21．（本小题满分12分）用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？22．（本小题满分14分）设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当11x =，23x =-时，求直线l 的方程．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+- ,由AB a即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选B4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1解：211337--<< ,21x -<<-,选A 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c解：由题意得a=ln,b=ln ,c=ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤sin cos x x -得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B 9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到 x 轴的距离为 （ ）A ．43 B ．53C D 解：由120MF MF ⋅= ,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x选C 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C ．2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选D12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= （ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.解：设执“不喜欢”的学生为x 人，则执“一般”的学生为(x+12)人，由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人．14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 解：(4,7),(2,2)AB k AC k =--=-- ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得k=23-15．曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 .解：2123,|1x y x y =''=-=-,∴曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为y-1= -(x-1),即y+x-2=0 16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是解：P 到BC 的距离为d 1,P 到AC 的距离为d 2,则三角形的面积得3d 1+4d 2=12,∴3d 1⋅4d 2≤2212()6362==,∴d 1d 2的最大值为3,这时3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2得d 1=2,d 2=32三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.19．(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．20．(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是 的等差中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k21．(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?……22． (本小题满分14分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.2005年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文）参考答案一、DBBCA ，CCBCD ，DA 二、13、3，14、23-，15、x+y-2=0，16、12 三、解答题：17．解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………2分 1s i n (2)4xπ=-………4分()01)04f x x π∴>⇔+->sin(2)4x π⇔->…………………………………………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分 18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立，由题意得： P （AB ）=P(A)·P(B)=0.05 P （AC ）=P(A)·P(C)=0.1P （BC ）=P(B)·P(C)=0.125…………………………………………………………4分 解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.5P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=…………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分19．证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0，2）， ∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22AB AD AV ===- ………………………………3分由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥……………………………………4分1(0,1,0)(,0,)022AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥ ……………………………………5分又AB ∩A V=A ∴AB ⊥平面VAD …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量………………………………7分设(1,,)n y z =是面VDB 的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,20(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分 ∴(0,1,0)(1,cos ,7AB n ⋅-<>==-11分又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos7…………12分 20．解：由题意得：4122a a a =……………1分 即)3()(1121d a a d a +=+…………3分又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列,∴该数列的公比为3313===dd a a q ，………6分 所以113+⋅=n k a a n ………8分 又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分21．解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，……………………………………………1分则V=（90－2x ）（48－2x ）x,(0<V<24)………………………………………………5分 =4x 3－276x 2+4320x ∵V ′=12 x 2－552x+4320………………………………7分 由V ′=12 x 2－552x+4320=0得x 1=10，x 2=36∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11分 所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………………12分22．解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分（Ⅱ）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分。
高中数学复习资料2005年高考文科数学试题及答案(北京)
2005年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷 1至2页,第II 卷3至9页,共150分。
考试时间120分钟。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共40分) 注意事项：1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题.每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合M ＝{x | x >1,P ＝{x | x 2>1},则下列关系中正确的是 (A )M ＝P (B )P ÜM (C )M ÜP ( D )MP R =(2)为了得到函数321x y -=-的图象,只需把函数2x y =上所有点 (A)向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 (B)向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 (C)向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 (D)向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 (3)“m ＝21”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的 (A )充分必要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 (4)若||1,||2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为 (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°(5)从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线,则这两条切线的夹角的大小为 (A )6π (B )3π (C )2π(D )32π (6)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是(A )sin(α＋β)>sin α＋sin β (B )sin(α＋β)>cos α＋cos β (C )cos(α＋β)<sinα＋sinβ (D )cos(α＋β)<cosα＋cosβ(7)在正四面体P －ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立．．．的是 (A )BC //平面PDF (B )DF ⊥平面P A E (C )平面PDF ⊥平面ABC (D )平面P AE ⊥平面 ABC(8)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有(A )1444C C 种 (B )1444C A 种 (C )44C 种 (D )44A 种二、填空题：本大题共6小题；每小题5分,共30分。
2005年高考全国卷1(文科数学)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）（适用：河北、河南、山西、安徽、海南）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1.2等于 A.i B.i -C.iD.i -2.设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且123S S S I =，则下面论断正确的是A.123I C S S S =∅（） B.122I I S C S C S ⊆（） C.123(I I I C S C S C S =∅） D.122I I S C S C S ⊆（） 3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 A.π28 B.π8 C.π24 D.π44.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =A.2B.3C.4D.55.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、 BCF ∆均为正三角形，EF ∥AB ，2EF =，则该多面体的体积为 A.32 B.33 C.34 D.236.已知双曲线2221x y a -=（0a >）的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 A.23 B.23 C.26 D.332 7.当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 A.2 B.32 C.4 D.34AB CD E F8.y =12x ≤≤）反函数是A.1y =11x -≤≤）B.1y =（01x ≤≤）C.1y =（11x -≤≤）D.1y =（01x ≤≤）9.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使()0f x <的x 的取值范围是A.)0,(-∞B.),0(+∞C.)3log ,(a -∞D.),3(log +∞a10.在坐标平面上，不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩所表示的平面区域的面积为 A.2 B.23 C.223 D.2 11.在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A.①③B.②④C.①④D.②③12.点O 是ABC ∆所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13.若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = .(lg 20.3010)≈ 14.81()x x-的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 15.6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种.16.在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，则①四边形1BFD E 一定是平行四边形②四边形1BFD E 有可能是正方形③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x . （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间[0,]π上的图像.18.（本大题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB ∥DC ，90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD AB ===，M 是PB 的中点。
2005年高考数学试题全集32套
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2（D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2005年高考全国卷3(文科数学)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅲ）（陕西、甘肃、四川、云南、贵州等地区用）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限2.已知过点A (2,)m -和B (,4)m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 A.0 B.-8 C.2 D.103.在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是A.-14B.14C.-28D.284.设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，,P Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为A.16VB.14VC.13VD.12V5.设37x =，则A.21x -<<-B.32x -<<-C.10x -<<D.01x <<6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c <<7.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 8.22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ A.tan α B.tan 2α C.1 D.129.已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为A.43B.53C.310.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是C.21 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 A.3个 B.4个 C.6个D.7个 12.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯=A.6EB.72C.5FD.0B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”，“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比执“不喜欢”的多12人.按分层抽样的方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1为“不喜欢”摄影的同学和3为执“一般”的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的同学比全班学生人数的一半多 人.14.已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点共线，则k = .15.曲线32y x x =-在点(1,1)的切线方程为 .16.已知在ABC ∆中，090ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数2()2sin sin 2f x x x =+，[0,2]x π∈.求使()f x 为正值的x 的集合. 18.(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
2005普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（3）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33 （C ）34（D ）23 （5）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332 （6）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（7）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y（B ）)10( 112≤≤-+=x x y （C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23 （C ）223 （D ）2（10）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点（12）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2005年湖北文科高考数学试卷
中国教育在线高考频道 绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6] 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 （ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍中国教育在线高考频道 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.中国教育在线高考频道 19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.中国教育在线高考频道21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若中国教育在线高考频道 ,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且中国教育在线高考频道 AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠中国教育在线高考频道 .04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ 由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。
2005年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案(黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆)
2005年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案（黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试用时120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、Ｂ相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k K n kn n P k C P P -=-一、选择题（１）函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是 （A ）4π（B ）2π（C ）π（D ）2π （２）正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形（B ）四边形（C ）五边形（D ）六边形 （３）函数21(0)y x x =-≤的反函数是（A ）)y x =≥-1（B ）)y x =≥-1（C ）)y x =≥0（D ）)y x =≥0（４）已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则 （A ）０＜ω≤１（B ）－１≤ω＜０（C ）ω≥１（D ）ω≤－１ （５）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（A ）２ （B ）３ （C ）４ （D ）５（６）双曲线22149x y -=的渐近线方程是 （A ）23y x =±（B ）49y x =±（C ）32y x =±（D ）94y x =± （７）如果数列{}n a 是等差数列，则（A ）1a ＋8a <4a ＋5a （B ）1a ＋8a ＝4a ＋5a （C ）1a ＋8a >4a ＋5a （D ）1a 8a ＝4a 5a（８）10()x 的展开式中64x y 项的系数是（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210（９）已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于（A ）２（B ）12（C ）－３（D ）－13（10）已知集合{}47M x x =-≤≤，{}260N x x x =-->，则MN 为（A ）{42x x -≤<-或}37x <≤（B ）{42x x -<≤-或}37x ≤< （C ）{2x x ≤-或}3x > （D ）{2x x <-或}3x ≥（11）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－10，10），则５秒后 点P 的坐标为（A ）（-2，4）（B ）（-30，25）（C ）（10，-5）（D ）（5，-10）（12）ABC ∆的顶点在平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30和45．若AB ＝３，BC ＝AC ＝５，则AC 与α所成的角为（A ）60（B ）45（C ）30（D ）15第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____． （14）圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________． （15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第一象限的角，5cos 13β=．求tan(2)αβ-的值．（18） （本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响． （Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；（Ⅱ）本场比赛乙队以３：２取胜的概率． （精确到0.001）（19）（本小题满分12分） 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明{}n b 为等比数列； （Ⅱ）如果数列{}n b 前３项的和等于724，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD PD =，E 、F 分别为CD 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设AB =，求AC 与平面AEF 所成的角的大小．（21）（本小题满分14分）设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．（22）（本小题满分12分）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．参考答案1-6: CDBBDC 7-12: BACACC(2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D. 13. 216;14. 22(1)(2)4x y -+-=.分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x －12y －7=0的距离：2r ==，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的方程：222(1)(2)2x y -+-=15. 192； 16. ①，④分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心(本题的中心)1个、旁心3个三棱锥是正三棱锥（17）（本小题满分12分）解：∵α为第二象限角, sin α=35，∴cos α= -45, t a n α= -34, t a n2α= -247又∵β为第一象限角, cos β=513, ∴sin β=1213, t a n β5∴tan(2)αβ-=2412tan 2tan 7524121tan 2tan 253175αβαβ---==+⋅-⨯ （18）（本小题满分12分）解：⑴前三局比赛甲队领先分为两种情况：①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为P 1=3303(0.6)(0.4)C ⨯=0.216；②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为P 2=2213(0.6)(0.4)C ⨯=0.432故前三局比赛甲队领先的概率为：P =P 1+P 2=0.648⑵本场比赛乙队以３：２取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜，其概率为P =2224(0.6)(0.4)0.4C ⨯⨯=0.13824≈0.138（19）（本小题满分12分）⑴证明：设{a n }中首项为a 1，公差为d .∵lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列 ∴2lg a 2=lg a 1·lg a 4 ∴a 22=a 1·a 4. 即(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ) ∴d =0或d =a 1当d =0时, a n =a 1, b n =1211n a a =, ∴11n n b b +=，∴{}n b 为等比数列；当d =a 1时, a n =na 1 ,b n =12112n n a a =，∴112n n b b +=，∴{}n b 为等比数列综上可知{}n b 为等比数列⑵当d =0时, b n =1211n a a =, ∴b 1+b 2+b 3=13a =724 ∴a 1=727；当d =a 1时, b n =12112n n a a = ∴b 1+b 2+b 3=111111177248824a a a a ++== ∴a 1=3 综上可知17270a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或133a d =⎧⎨=⎩（20）（本小题满分12分）解法一：⑴取P A 中点G , 连结FG , DG////////1212BF FP FG AB FG DE CE ED DE AB DEFG EF DG ⎫=⇒⎪⎪⇒⎬⎪=⇒⎪⎭⇒⇒====四边形为平行四边形 PD ABCD PAD ABCD AB AB AD ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面平面平面平面又//PAB PAD PD AD AG PA DG PAB EF PG GA AG PAD EF DG ⎫⇒⊥⎫⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎪⇒⊥=⎬⎭⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⎭平面平面平面平面平面 ⑵设AC , BD 交于O ，连结FO .12PF BF FO PDFO BO OD PD ABCD ==⎫⎫⇒⎬⎪⇒⊥=⎬⎭⎪⊥⎭平面平面设BC =a , 则AB , ∴P A a , DG =2a =EF , ∴PB =2a , AF =a . 设C 到平面AEF 的距离为h . ∵V C-AEF =V F-A CE , ∴11113232EF AF h CE AD FO ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅.即222a a a h a a ⋅⋅=⋅⋅ ∴2ah =.∴AC 与平面AEF 所成角的正弦值为h AC ==即AC 与平面AEF 所成角为6解法二：以D 为坐标原点，D A 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系， （1）证明：设(),0,0E a ，其中0a >，则()()()()112,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,1,,,22C a A B a P F a ⎛⎫⎪⎝⎭，()()110,,,2,1,1,2,0,0,0,22EF PB a AB a EF PB EF PB ⎛⎫==-=⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭，0,AB EF AB EF ⋅=∴⊥又,,PB PABAB PAB PB AB B ⊂⊂=平面平面， EF ∴⊥⊂平面（2）解：由,AB =得a =， 可得()()2,1,0,2,1,1AC PB =-=-3cos ,6AC PB AC PB AC PB⋅〈〉==⋅则异面直线A C ，P B 所成的角为， 211,,,0,222AF AF PB AF PB ⎛⎫=-∴⋅=⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，又PB EF ⊥，AF 为平面A E F 内两条相交直线， PB AEF ∴⊥平面，∴A C 与平面A E F 所成的角为2π-=⎝⎭，即A C 与平面A E F 所成的角为（21）（本小题满分14分）解：⑴令2()3210f x x x '=--=得：121,13x x =-=.又∵当x ∈(-∞, 13-)时, ()f x '>0; 当x ∈(13-,1)时, ()f x '<0; 当x ∈(1,+∞)时, ()f x '>0∴113x =-与21x =分别为()f x 的极大值与极小值点. ∴()f x 极大值=15()327f a -=+; ()f x 极小值=1a -⑵∵()f x 在(-∞, 13-)上单调递增, ∴当x →-∞时,()f x →-∞; 又()f x 在(1,+∞)单调递增， 当x →+∞时, ()f x∴当()f x 极大值<0或()f x 极小值>0时，曲线()f x 与x 轴仅有一个交点. 即5027a +<或1a ->0, ∴a ∈(-∞, 527-)∪(1,+∞（22）（本小题满分12分）解：∵0PF MF PF MF ⋅=⇒⊥. 即MN PQ ⊥.当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时，另一条直线必垂直于y 轴. 不妨设MN ⊥y轴，则PQ ⊥x 轴∵F (0, 1) ∴MN 的方程为：y =1，PQ 的方程为：x =0分别代入椭圆2212y x +=中得：|MN, |PQ. S 四边形PMQN =12|MN |·|PQ |=12×当MN ,PQ 都不与坐标轴垂直时，设MN 的方程为y =kx +1 (k ≠0)，代入椭圆2212y x +=中得：(k 2+2)x 2+2kx -1=0, ∴x 1+x 2=222k k -+, x 1·x 2=212k -+∴22)||2k MN k +==+同理可得：22||22PQ k =+S 四边形PMQN =12|MN |·|PQ |=42422412252k k k k ++⨯++=2422212(1)2(1)2522(1/)59k k k k k -=-++++(当且仅当221k k=即1k =±时，取等号). 又S 四边形PMQN =2422(1)2252k k k -<++，∴此时169≤S 四边形PMQN < 综上可知：(S 四边形PMQN )max =2, (S 四边形PMQN )min 9。
2005年全国统一高考数学试卷(文)及答案
2005年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．4．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）反函数是（）A．B．C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为．15．（4分）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有种．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）21．（12分）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．22．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．2005年安徽省高考数学试卷Ⅰ（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．【分析】首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．【解答】解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，，解得a2=3，或（舍去）．∴，∴，故选D．7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx 的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）反函数是（）A．B．C．D．【分析】从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得到反函数．【解答】解：在定义域为{x|1≤x≤2}，原函数的值域为{y|0≤y≤1}，∵，∴y2=2x﹣x2，解得x=1±，∵1≤x≤2，∴x=1+，∴y=1+（0≤x≤1），故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，=×（2×1+2×）=，其面积S△ABC故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【分析】由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点【解答】解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点故选D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•山西）（x﹣）4的展开式中的常数项为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：的通项为=（﹣1）r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为615．（4分）（2005•安徽）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有100种．【分析】根据题意，选用间接法，首先计算从6名男生和4名女生共10人中，任取3名代表的选法数目，再计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男生和4名女生共10人中，任取3人作代表，有C103=120种，其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20种，故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种；故答案为100．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f （x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x ﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．20．（12分）（2005•山西）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）【分析】（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，∴甲坑不需要补种的概率为（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为，恰有2个坑需要补种的概率为，3个坑都需要补种的概率为∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．21．（12分）（2005•安徽）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出，．（Ⅱ）由题设知．数列{nS n}的前n项和，．由此可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．因为a n＞0，所以210q10=1，解得，因而，．（Ⅱ）由题意知．则数列{nS n}的前n项和，．前两式相减，得=即．22．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．。
2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案
2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案（河北、河南、安徽、山西、海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（1）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCFADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32（B ）33（C ）34（D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率（精确到01.0） （21）（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T（22）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值2005年高考文科数学（全国卷Ⅰ）试题参考答案（河北、河南、安徽、山西、海南）一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD. 因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN.在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式（Ⅱ）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++=前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，即232222cba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22239322c c c =-+=0 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。
2005年高考文科数学(全国)卷(Ⅱ)
2005年高考文科数学（全国）卷(Ⅱ)一、选择题：1. 函数f (x )=|sin x +cos x |的最小正周期是 （ ）A.4π B. 2π C. π D. 2π 2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点. 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形3. 函数)0(12≤-=x x y 的反函数是 （ ）A. )1(1-≥+=x x yB. )1(1-≥+-=x x yC. )0(1≥+=x x yD. )0(1≥+-=x x y 4. 已知函数)2,2(tan ππω-=在x y 内是减函数，则 （ ） A. 0<ω≤1B. －1≤ω<0C. ω≥1D. ω≤－15. 抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ）A. x y 32±=B. x y 94±=C. x y 23±=D. x y 49±=7. 如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ）A. 5481a a a a +<+B. 5481a a a a +=+C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =8. 10)2(y x -的展开式中46y x 项的系数是 （ ）A. 840B. －840C. 210D. －2109. 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC相交于E ，那么有λλ其中,→=→CE BC 等于 （ ）A. 2B.21 C. －3D. －3110. 已知集合为则N M x x x N x x M ⋂>--=≤≤-=},06|{|},74|{2（ ）A. }7324|{≤<-<≤-x x x 或B. }7324|{<≤-≤<-x x x 或C. D.11. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量)3,4(-=v （即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）。
2005年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 2．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则()U P Q =A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 3．点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )A ．21 B ． 32C ．2D ．24．设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A ． 12-B ．0C ．12D ．1 5．在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．5-B ．5C ．－10D ．106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.377．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题8．已知向量(5,3)a x =-，(2,)b x =，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是 A ．{}2,3 B ．{}1,6- C ．{}2 D ．{}69．函数31y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．110．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2005年高考数学试题(全国1文)及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()( 一．选择题（1)设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） (C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28 （B)π8 （C)π24 （D ）π4 （3）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =(A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （4）如图，在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形,EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为(A ）32（B ）33 （C ）34 （D ）23（5)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心为(A)23 （B ）23 （C ）26（D ）332(6）当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A)2 （B ）32 （C)4 (D ）34（7）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是(A ）)11( 112≤≤--+=x x y ; (B))10( 112≤≤-+=x x y ；（C))11( 112≤≤---=x x y ； （D ）)10( 112≤≤--=x x y（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞(C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（10)在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断:①1cot tan =⋅B A ；②2sin sin 0≤+<B A ;③1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+，其中正确的是(A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D)②③（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的 (A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点(D ）三条高的交点（12）设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C)33±（D ）3±第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分，把答案填在题中横线上。
2005年普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理(二)(附答案)
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分。
第Ⅰ卷 (选择题共 60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk nn p p C k P --=)1()( 球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数y =12sin(6x 2π-)-5sin(3x 2π+)的最大值是 A.5 B.12 C.13 D.152.已知函数y =log a x 的图象与其反函数的图象有交点，且交点的横坐标为x 0，则有 A.a ＞1且x 0＞1 B.0＜a ＜1且0＜x 0＜1C.a ＞1且0＜x 0＜1D.0＜a ＜1且x 0＞1或a ＞1且x 0＞1 3.已知a =(3，2)，b =(-6，1)，而(λa+b)⊥(a-λb)，则λ等于 A.1或2 B.2或21- C.2 D.以上都不对 4.将函数y =3sin(3x 2π+)的图象按向量a =(6π-，-1)平移后所得图象的解析式是A. y =3sin(32x 2π+)-1 B. y =3sin(32x 2π+)+1 C.y =3sin2x+1 D. y =3sin(2x 2π+)-1 5.已知A ={x|x =5n+1，n ∈N}，B ={x|x =5n+2，n ∈N}，C ={x|x =5n+3，n ∈N}，D ={x|x =5n+4，n ∈N}，若α∈A ，β∈B ，θ∈C ，γ∈D ，则A.α2∈A ，β2∈D ，θ2∈D ，γ2∈AB.α2∈A ，β2∈B ，θ2∈C ，γ2∈DC.α2∈A ，β2∈C ，θ2∈B ，γ2∈AD.α2∈B ，β2∈D ，θ2∈D ，γ2∈B6.设甲、已两地的距离为a(a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为7.设P ={1，2，3，4，5}，Q ={3，4，5，6，7，8}，定义P ※Q ={(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个数为A.4B.5C.30D.1208.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=),1x (1x 12),1x (x lg )x (f 若f(x 0)＞1，则x 0的取值范围是A.(0，10)B.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(-1，0)D.(-∞，0)∪(10，+∞)9.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(-2，4)重合，若点(5，8)与点(m ，n)重合，则m+n 的值为A.4B.-4C.13D.-1310.设A 、B 两点的坐标分别为(-1，0)、(1，0)，条件甲：0BC AC =∙；条件乙：点C 的坐标是方程x 2+y 2=1的解.则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件11.已知映射f ：A →B ，其中B =R ，对应法则：f ：x →y =log 0.5(2-x)-x 1-，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是A.k ＞0B.k ＜1C.k ＜0D.以上都不对 12.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0，1)，而后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动(即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，O)→(2，O)→…)，且每秒移动一个单位长度，那么2004秒时，这个粒子所处位置为A.(20，44)B.(21，44)C.(44，20)D.(44，21)普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(二)AB CD第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.)n n n (lim 2n -++∞→=_____________.14.某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确到0.01).15.(ax+1)5(x+1)2展开式中x 2的系数为21，则a =___________.16.下列四个命题：①分别和两条异面直线相交的两条直线一定是异面直线；②一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行； ③一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角相等或互补；④过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交. 其中正确命题的序号是____________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)非等边三角形ABC 的外接圆半径为2，最长的边BC =23，求sinB+sinC 的取值范围.18.(本小题满分12分)如图，将长AA ′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值；(2)求三棱锥A 1—APQ 的体积.19.(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1，数列{b n }满足b 1=2，b n+1=a n +b n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，求nn n a nT lim -∞→.20.(本小题满分12分)已知抛物线y 2=2px(p ＞0)上有两点A 、B 关于点M(2，2)对称. (1)求p 的取值范围；(2)当p =2时，AB 的垂直平分线交该抛物线于C 、D 两点，问平面内是否存在一点N 到A 、B 、C 、D 四点的距离相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)某地为防止水土流失，植树造林、绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由而一旦植完，则不会被沙化.问：(1)每年沙化的亩数为多少？(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？22.(本小题满分14分)设f(x)是定义域在[－1,1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.(1)求证：f(x)在[－1,1]上是减函数；(2)如果f(x－c)、f(x－c2)的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；(3)证明：若－1≤c≤2，则f(x－c)、f(x－c2)存在公共的定义域，并求这个公共的定义域.仿真试题(二)一、选择题1.C 函数解析式可化为y =12sin(2x-6π)-5cos(2x-6π)=13cos(2x-6π+ϕ)，最大值为13.2.B 横坐标x 0必为正.3.B4.A 按向量a 平移即向左移6π个单位，再向下移1个单位. 5.A 用特值法易检验得A.6.D 注意本题研究的是路程.7.C8.D 分类讨论发现在两个范围中都存在x 0使f(x 0)＞1.9.C 折痕为直线y =x+2，点(m ，n)为点(5，8)关于直线y =x+2的对称点. 10.C 点C 的轨迹是单位圆.11.A 由题意，k 不是函数y =log 0.5(2-x)-x 1-值域中的数，而函数y =log 0.5(2-x)-x 1-在定义域(-∞，1]中为单调增函数，易得其值域为(-∞，0]. 12.A 研究粒子到达点(0，n)时所用秒数，当n 为奇数时，恰好用n 2秒；当n 为偶数时，用时为(n+1)2-1秒. 二、填空题 13.21分子有理化后求极限. 14.0.74 两种情况下的概率之和. 15.1或-216.② 在空间③是不对的. 三、解答题 17.解：由正弦定理A sin BC =2R.得sinA =23. ∵BC 是最长边，且三角形为非等边三角形， ∴A =π32.4分sinB+sinC =sinB+sin(3π-B) =21sinB+23cosB =sin(B+3π). 8分 又0＜B ＜3π，∴3π＜B+3π＜32π. 10分∴23＜sin(B+3π)≤1.故sinB+sinC 的取值范围为(23，1). 12分18.解：(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且侧棱AA 1=3.底面边长为3，BP =1，CQ =2，延长QP 交BC 的延长线于点E ，连结AE.在△ACE 中，AC =3，CE =2BC =23，∠ACE =60°于是AE =3， 则AE ⊥AC 于A ，QA ⊥AE.所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分又AC =3， 于是tanQAC =33232AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为332. 6分 (2)连A 1P ，△A 1AP 的面积为332， 8分点Q 到平面A 1AP 的距离为23， 3433232331V V AP A Q APQ A 11=⨯⨯==--. 12分 19.解：(1)当n =1时，a 1=2a 1-1，∴a 1=1，2分 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2a n -1-2a n-1+1， ∴a n =2a n-1.4分 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴a n =2n-1.6分(2)∵b n+1=a n +b n ，∴b n+1-b n =2n-1.从而b n -b n-1=2n-2，b n-1-b n-2=2n-3, ……b 2-b 1=1，上式相加，得b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又b 1=2，∴b n =2n-1+1.8分 T n =b 1+b 2+…+b n =(20+21+…+2n-1)+n.=2n-1+n.10分 ∴22nn 12lim a n T lim1n n n n n n =-+-=--∞→∞→. 12分20.解：(1)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是关于点M(2，2)对称的抛物线上两点.则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+.px 2y ,px 2y ,4y y ,4x x 22212121212分得21y +22y =2p(x 1-x 2)=8p ，(y 1+y 2)2-2y 1y 2=8p ， 得y 1y 2=8-4p ，从而y 1、y 2是方程y 2-4y+8-4p =0的两个不等实根. 4分 ∴△=16-4(8-4p)=16p-16＞0. ∴p ＞1.6分(2)抛物线方程为y 2=4x ，且A 、B 两点在其抛物线上，则⎪⎩⎪⎨⎧==.x 4y ,x 4y 222121∴21y -22y =(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(y 1-y 2). 又21y -22y =4(x 1-x 2)，∴1x x y y 2121=--.得AB 所在直线斜率为k AB =1， 从而CD 所在直线斜率为k CD =-1. 直线AB 的方程为y =x ， 直线CD 的方程为y =4-x.8分由⎩⎨⎧==,x y ,x 4y 2解得A(0，0)，B(4，4).由⎩⎨⎧-==,x 4y ,x 4y 2消x 得y 2+4y-16=0.设C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，∴y 3+y 4=-4，y 3y 4=-16，从而x 3+x 4=12.∴CD 的中点P 的坐标为(6，-2)，且|AP|2=40，10分(y 3-y 4)2=(y 3+y 4)2-4y 3y 4=80.∴|CD|2=2(y 3-y 4)2=160，而|PC|2=(2|CD |)2=40.∴|AP|2=|PC|2=|PD|2=|PB|2.故存在这样的点N ，其坐标为(6，-2). 12分 21.解：(1)由表知,每年比上一年多造林400亩.因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为25200-1400=23800亩.但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩. 4分 同理2000年沙化土地为200亩. 所以每年沙化的土地面积为200亩. 6分 (2)由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设2000年及其以后各年的造林亩数分别为a 1，a 2，a 3，…，则n 年造林面积总和为 4002)1n (n n 1800S n ⨯-+=. 8分由题意得S n ≥24000+200n ，化简得n 2+7n-120≥0，解得n ≥8.10分 故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.12分22.(1)证明：∵奇函数f(x)的图象上任意两点连线的斜率均为负， ∴对于任意x 1、x 2∈[-1，1]且x 1≠x 2，有0x x )x (f )x (f 2121<--.3分从而x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号， ∴f(x)在[-1，1]上是减函数.5分 (2)解：f(x-c)的定义域为[c-1，c+1]，f(x-c 2)的定义域为[c 2-1，c 2+1]. 7分 ∵上述两个定义域的交集为空集，则有c 2-1＞c+1或c 2+1＜c-1. 9分 解得c ＞2或c ＜-1.故c 的取值范围为c ＞2或c ＜-1.10分(3)证明：∵c 2+1＞c-1恒成立，由(2)知，当-1≤c ≤2时，c 2-1≤c+1， 当1≤c ≤2或-1≤c ≤0时，c 2+1≥c+1且c 2-1≥c-1，此时的交集为[c 2-1，c+1].12分当0＜c ＜1，c 2+1＜c+1且c 2-1＜c-1，此时的交集为[c-1，c 2+1].故-1≤c ≤2时，存在公共定义域，且当-1≤c ≤0或1≤c ≤2时，公共定义域为[c 2-1，c+1]；当0＜c ＜1时，公共定义域为[c-1，c 2+1]. 14分。
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2005年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II （吉林、黑龙江、内蒙、广西）文科数学（必修＋选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3. 本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)k k n kn n P k P P -=- 球的表面积公式 24S R p = 其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R p =其中R 表示球的半径 一．选择题(1) 函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期是(A)4p (B)2p (C) p (D) 2p(2) 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 (A) 三角形 (B) 四边形 (C) 五边形 (D) 六边形(3) 函数21(0)y x x =-…的反函数是(A) y =(1)x -…(B) y =(1)x -…(C) y =(0)x …(D) y =(0)x …(4) 已知函数tan y x w =在(,)22p p-内是减函数，则 (A) 01w <…(B) 10w -<… (C) 1w … (D) 1w -…(5) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (6) 双曲线22149xy-=的渐近线方程是(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±(7) 如果数列{}n a 是等差数列，则(A)1845a a a a +<+(B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =(8)10()x -的展开式中64x y 项的系数是(A) 840 (B) 840-(C) 210 (D) 210-(9)已知点A ，(0,0)B，0)C ．设BAC ∠的一平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC C El = ，其中l 等于(A) 2 (B)12(C) 3- (D) 13-(10) 已知集合{}47M x x =-剟，{}260N x x x =-->，则MN为(A) {|42x x -<-…或}37x <… (B) {|42x x -<-…或}37x <… (C) {|2x x -…或}3x > (D) {|2x x <-或}3x …(11) 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)=-v (即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||v 个单位)．设开始时点P 的坐标为(10,10)-，则5秒后点P 的坐标为 (A) (2,4)-(B) (30,25)-(C) (10,5)-(D) (5,10)-(12) △ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30 和45．若3A B =，BC =5AC =，则A C 与a 所成的角为(A) 60 (B) 45 (C) 30 (D) 15第Ⅱ卷注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3. 本卷共10小题，共90分。
二．选择题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) 在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________．(14) 圆心为(1,且与直线512 70x y --=相切的圆的方程为_____________________．(15) 在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．(16) 下面是关于三棱锥的四个命题：① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分)已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，b 为第一象限的角，5cos 13b =．求tan(2)a b -的值．(18) (本小题满分12分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率； (Ⅱ) 本场比赛乙队以3:2取胜的概率． (精确到0.001) (19) (本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列； (Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于724，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．(20) (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABC D -中，底面ABC D 为矩形，PD ⊥底面ABC D ，AD PD =，E 、F 分别为C D 、PB 的中点．(Ⅰ) 求证：EF ⊥平面PAB ； (Ⅱ)设AB =，求A C 与平面AEF 所成的角的大小． (21) (本小题满分12分)设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+．(Ⅰ) ()f x 的极值；(Ⅱ) 当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点． (22) (本小题满分14分)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212yx +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ 共线，MF与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．(文科)试题(全国卷II)答案一．选择题：CBDBD CBACA CC 二．填空题(13) 216(14)22(1)(2)4x y -+-= (15)192(16)①④三． 解答题(17)本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，满分12分。
解法一：tan 2tan tan(2)1tan 2tan αβαβαβ--=+……2分α为第二象限角，3sin 5α=，所以4cos 5α==-∴sin 3tan cos 4ααα==-∴22tan 24tan 21tan 7ααα==--β为第一象限角，5cos 13β=，∴12sin 13β==，12tan 5β=∴241220475tan(2)24122531()75αβ---==+-⨯解法二：α为第二象限角，3sin 5α=，所以4cos 5α==-β为第一象限角，5cos 13β=，∴12sin 13β== ∴24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=204sin(2)sin 2cos cos 2sin 325αβαβαβ-=-=-253cos(2)cos 2cos sin 2sin 325αβαβαβ-=+=-∴sin(2)204tan(2)cos(2)253αβαβαβ--==-(18)本小题主要考查相互事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4 (I)记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则3223()0.60.216,()0.60.40.432P A P B C ===⨯⨯=∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648(II)若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。
所以，所求事件的概率为22240.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=(19)本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力，满分12分。
(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2214a a a =又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2=1a (1a －3d )这样21d a d =，从而d (d －1a )=0∵d ≠0 ∴d =1a ≠0∴122111(21)22nn n nn na a d db a d=+-===∙∴{}n b 是首项为1b =12d，公比为12的等比数列。
AB CDEFPP(II)解。
∵1231117(1)22424b b b d++=++=∴d =3 ∴1a =d =3(20)本小题主要考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。
方法一： (I)证明：连结EP∵PD ⊥底面ABCD ，DE 在平面ABCD 内 ∴PD ⊥DE ，又CE=ED ，PD=AD=BC∴Rt △BCE ≌Rt △PDE ∴PE=BE∵F 为PB 的中点∴EF ⊥PB ∵DA ⊥AB由三垂线定理得 PA ⊥AB∴在Rt △PAB 中PF=AF ，又PE=BE=EA ∴△EFP ≌△EFA ∴EF ⊥FA∵PB 、FA 为平面PAB 内的相交直线∴EF ⊥平面PAB(II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=∴△PAB 为等腰直角三角形，且PB=2，F 为其斜边中点，BF=1且AF ⊥PB ∵PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直 ∴PB ⊥平面AEF连结BE 交AC 于G ，作GH ∥BP 交EF 于H ，则GH ∥平面AEF ∠GAH 为AC 与平面AEF 所成的角 由△EGC ∽△BGA 可知EG=12GB，EG=13EB ，AG=23AC=3由△EGH ∽△EBF 可知GH=13BF=13∴sin ∠GAH=6G H AG=∴AC 与平面AEF 所成的角为arcsin 6。