吉林省吉林市榆树一中高一上期中数学试卷

2016-2017学年吉林省吉林市榆树一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则（∁U A）∪B等于（）
A．{0，1，8，10}B．{1，2，4，6}C．{0，8，10} D．∅
2．下列关系中正确的个数为（）
①0∈{0}
②Φ⊊{0}
③{0，1}⊆{（0，1）}．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）
A．y=（）2B．y=C．y=D．y=
4．不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集为（）
A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2} 5．下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）
A．B．y=x2C．y=x﹣1D．y=x3
6．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）
A．9 B．7 C．5 D．3
7．下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=1nx B．y=x3C．y=2|x|D．y=﹣x
8．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）
A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d
9．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，4]上递减，则a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5] D．[3，+∞）
10．函数y=的定义域为（）
A．（0，e]B．（﹣∞，e]C．（0，10]D．（﹣∞，10]
11．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）
A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7
12．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若a＞0，a≠1，则函数y=a x﹣1+2的图象一定过点．
14．设f（x）=，则f（3）=．
15．已知集合A={2+，a}，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是．16．lg+lg的值是．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值．
18．（12分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．若B⊆A，且B为非空集合，求实数m的取值范围．
19．（12分）计算：
（1）；
（2）（log32+log92）•（log43+log83）
20．（12分）求函数y=2log2x+5（2≤x≤4）的最大值与最小值．
21．（12分）若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
22．（10分）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．
2016-2017学年吉林省吉林市榆树一中高一（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则（∁U A）∪B等于（）
A．{0，1，8，10}B．{1，2，4，6}C．{0，8，10} D．∅
【考点】并集及其运算．
【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B 的并集即可．
【解答】解：由全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，
则C U A={0，8，10}，
又因为集合B={1}，
则（C U A）∪B={0，1，8，10}．
故选A．
【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．
2．下列关系中正确的个数为（）
①0∈{0}
②Φ⊊{0}
③{0，1}⊆{（0，1）}．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】由空集的性质、元素和集合和集合和集合的关系，即可判断．
【解答】解：①0∈{0}正确；
②Φ⊊{0}，由空集是非空集合的真子集，故正确；
③{0，1}⊆{（0，1）}，错误，一个为数集，一个为点集．
正确的个数为2．
故选：C．
【点评】本题考查空集的性质、元素和集合和集合和集合的关系，属于基础题．
3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）
A．y=（）2B．y=C．y=D．y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．
【解答】解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；
选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B满足条件；
选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；
选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；
故选B．
【点评】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域、值域、对应关系完全相同时，才是同一个函数．
4．不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集为（）
A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式的解法，写出不等式的解集即可．
【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）＞0，
解得x＜﹣1或x＞2，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或＞2}．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
5．下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）
A．B．y=x2C．y=x﹣1D．y=x3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数的性质直接判断求解．
【解答】解：在A中，y=过点（0，0），（1，1），是非奇非偶函数，故A错误；在B中，y=x2过点（0，0），（1，1），是偶函数，故B正确；
在C中，y=x﹣1不过点（0，0），过（1，1），是奇函数，故C错误；
在D中，y=x3过点（0，0），（1，1），是奇函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查满足条件的幂函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．
6．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）
A．9 B．7 C．5 D．3
【考点】函数的值．
【分析】由函数的解析式得，必须令x+2=3求出对应的x值，再代入函数解析式求值．【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，
即g（3）=5．
故选C．
【点评】本题的考点是复合函数求值，注意求出对应的自变量的值，再代入函数解析式，这是易错的地方．
7．下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=1nx B．y=x3C．y=2|x|D．y=﹣x
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】分别判断函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．
【解答】解：对于A，不是奇函数；
对于B，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数；
对于C，是偶函数；
对于D，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减的函数，
故选B．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）
A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．
【解答】解：作辅助直线x=1，当x=1时，
y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的函数值正好是底数a、b、c、d
直线x=1与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d
观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
9．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，4]上递减，则a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5] D．[3，+∞）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由f（x）在区间（﹣∞，4]上递减知：（﹣∞，4]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．
【解答】解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，
又f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，
所以（﹣∞，4]⊆（﹣∞，1﹣a]，则4≤1﹣a，解得a≤﹣3，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3]，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则（a，b）为f（x）增区间的子集．
10．函数y=的定义域为（）
A．（0，e]B．（﹣∞，e]C．（0，10]D．（﹣∞，10]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴1﹣lnx≥0，
即lnx≤1；
解得0＜x≤e，
∴函数y的定义域为（0，e]．
故选：A．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意义的不等式的解集，是基础题．
11．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）
A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．
【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质
可知：log0.76＜0
由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质
可知0.76＜1，60.7＞1
∴log0.76＜0.76＜60.7
故选D
【点评】本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．
12．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】函数f（x）=a x（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．
【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，
函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，
∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，
如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．
故选A．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若a＞0，a≠1，则函数y=a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）；．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．
【解答】解：方法1：平移法
∵y=a x过定点（0，1），
∴将函数y=a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=a x﹣1+2，此时函数过定点（1，3），
方法2：解方程法
由x﹣1=0，解得x=1，
此时y=1+2=3，
即函数y=a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．
14．设f（x）=，则f（3）=6．
【考点】函数的值．
【分析】由x=3≥2，结合函数表达式能求出f（3）．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15．已知集合A={2+，a}，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是1．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据集合A⊆B，确定元素之间的关系即可求解a的值．
【解答】解：∵集合，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，
∴a=﹣1或a=1或a=3，
当a=﹣1时，无意义，∴不成立．
当a=1时，A={3，1}，满足条件．
当a=3时，A={2+，3}，不满足条件，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查集合关系的应用，根据集合关系确定元素关系是解决本题的关键，注意要进行检验．
16．lg+lg的值是1．
【考点】对数的运算性质．
【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．
【解答】解：==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】先证明函数的单调性，用定义法，由于函数y=在区间[2，6]上是减函数，故最大值在左端点取到，最小值在右端点取到，求出两个端点的值即可．
【解答】解：设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=
=
=．
由2＜x1＜x2＜6，得x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，
于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数y=是区间[2，6]上的减函数，
因此，函数y=在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即当x=2时，y max=2；当x=6时，y min=．
【点评】本题考查函数的单调性，用单调性求最值是单调性的最重要的应用．
18．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．若B⊆A，且B为非空集合，求实数m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据集合间的包含关系分别列出不等式组求解，即可求实数m的取值范围．【解答】解：∵B⊆A，B为非空集合，
∴，解得m∈[2，3]．
【点评】本题考查了集合的包含关系以及应用，主要是根据它们的自己关系构造出所求字母的不等式（组）求解．
19．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）计算：
（1）；
（2）（log32+log92）•（log43+log83）
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得，
（2）根据对数的运算性质可得．
【解答】解：（1）原式=1+π﹣3=π﹣2，
（2）原式=（log32+log32）•（log23+log23）=log32•log23=．
【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．
20．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）求函数y=2log2x+5（2≤x≤4）的最大值与最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．
【分析】当2≤x≤4时，函数y=2log2x+5为增函数，进而可得函数的最值．
【解答】解：当2≤x≤4时，函数y=2log2x+5为增函数，
故当x=2时，函数取最小值7，
当x=4时，函数取最大值9．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的最值及其几何意义，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
21．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】利用判别式大于零，求得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，∴△=（m﹣3）2﹣4m＞0，
求得m＜1，或m＞9，故m的取值范围为（﹣∞，1）∪（9，+∞）．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
22．（10分）（2016秋•让胡路区校级期中）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f （0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根据f（0）≠0，可求出f（0）的值；
（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）•f（﹣x），利用互为倒数可知，结论成立．
【解答】证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．
当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）•f（﹣x），因为f（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了特殊值法的应用，解题的关键是如何取值，属于中档题．。