2017-2018学年四川省资阳中学高二(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．（5分）若z=4+3i，则=（）
A．1B．﹣1C．+i D．﹣i 2．（5分）下列结论正确的是（）
A．若y=cosx，y'=sinx B．若y=e x，则y'=xe x﹣1
C．若y=，则D．若y=，则
3．（5分）将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（）种
A．480B．360C．240D．120
4．（5分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P（）
A．有2个B．有4个C．不一定存在D．一定不存在
5．（5分）计算=（）
A．0B．2C．﹣2D．4
6．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直
线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．
C．D．
8．（5分）设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=﹣，则双曲线C的离心率是（）
A．B．2C．D．
9．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）
A．﹣log20172016B．﹣1
C．log20172016﹣1D．1
10．（5分）已知可导函数f（x）为定义域上的奇函数，f（1）=1，f（2）=2．当x＞0时，有3f（x）﹣x•f′（x）＞1，则f（）的取值范围为（）
A．（，）B．（，）C．（﹣8，﹣1）D．（4，8）
11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的
，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]
12．（5分）斜率为k的直线l过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F，交抛物线于A，B 两点，点P（x0，y0）为AB中点，作OQ⊥AB，垂足为Q，则下列结论中不正确的是（）
A．ky0为定值B．•为定值
C．点P的轨迹为圆的一部分D．点Q的轨迹是圆的一部分
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点，则a的值为．
14．（5分）已知函数y=ax2+bx+c，其中a、b、c∈{1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数共有种．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），
顶点B在椭圆上，则=．
16．（5分）设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．
三、解答题（70分）
17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．
18．（12分）设函数f（x）=ax3﹣4x+4过点P（3，1）．
（1）求函数的极大值和极小值．
（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
19．（12分）已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．
（1）若k OA+k OB=4，求直线l的方程；
（2）线段AB的垂直平分线与直线l，x轴，y轴分别交于点D，M，N，求的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）=（a∈R）．
与直线l：x+2y﹣2=0垂直，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点处的切线l
切
求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；若存在极值点x0∈（1，2），求实数a的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p 的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N*）．
22．（12分）已知函数．
（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：当x＞0时，f（x+1）＞g（x）；
（3）证明：k＜1时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有．
2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．（5分）若z=4+3i，则=（）
A．1B．﹣1C．+i D．﹣i
【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．
【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5分）下列结论正确的是（）
A．若y=cosx，y'=sinx B．若y=e x，则y'=xe x﹣1
C．若y=，则D．若y=，则
【分析】根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若y=cosx，则y'=﹣sinx，A错误；
对于B，若y=e x，则y'=e x，B错误；
对于C，若y==x﹣1，则y′=﹣（x﹣2）=﹣，C正确；
对于D，若y==，则y′=×=，D错误；
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算公式，关键是掌握导数的计算公式．
3．（5分）将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（）种
A．480B．360C．240D．120
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，
则必须有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，
分2步进行分析：
①、先将5个小球分成4组，有C52=10种分法；
②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44=24种情况，
则不同放法有10×24=240种；
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组再进行排列．
4．（5分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P（）
A．有2个B．有4个C．不一定存在D．一定不存在
【分析】由椭圆方程求出椭圆的焦距与短半轴长，由此可得以F1F2为直径的圆与椭圆+=1无交点，则答案可求．
【解答】解：由椭圆+=1，得a2=25，b2=16，
∴c2=a2﹣b2=9，则c=3，
∴F1（﹣3，0），F2（3，0），
∵b=4＞3=c，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆+=1无交点，
则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P一定不存在．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是基础题．
5．（5分）计算=（）
A．0B．2C．﹣2D．4
【分析】由（﹣cosx）′=sinx，再利用微积分基本定理即可得出．
【解答】解：∵（﹣cosx）′=sinx，
∴=（﹣cosx）=1+1=2．
故选：B．
【点评】本题考查定积分，解题的关键是掌握住定积分的定义及其公式，本题是基本概念题．
6．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数
在（﹣，）上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案．
【解答】解：由f （x ）=x 2+sin
=x 2+cosx ，
∴f′（x ）=x ﹣sinx ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．
又f″（x ）=﹣cosx ，当﹣＜x ＜时，cosx ＞，∴f″（x ）＜0， 故函数y=f′（x ）在区间（﹣，
）上单调递减，故排除C ．
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
7．（5分）已知椭圆E ：
的右焦点为F （3，0），过点F 的直
线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得
，利用“点差法”
可得
．利用中点坐标公式可得x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，
利用斜率计算公式可得==．于是得到，化
为a 2=2b 2，再利用c=3=
，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选：D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
8．（5分）设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=﹣，则双曲线C的离心率是（）
A．B．2C．D．
【分析】先由2=﹣，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2=﹣，所以A为线段FB
的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，
∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒=．
∴=3，e2=4⇒e=2．
故选：B．
【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
9．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）
A．﹣log20172016B．﹣1
C．log20172016﹣1D．1
【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
取y=0，得x n=1﹣=，
∴x1x2…x2016=××…×=，
则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016=log2017（x1x2…x2016）
=log2017=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，是中档题．
10．（5分）已知可导函数f（x）为定义域上的奇函数，f（1）=1，f（2）=2．当x＞0时，有3f（x）﹣x•f′（x）＞1，则f（）的取值范围为（）
A．（，）B．（，）C．（﹣8，﹣1）D．（4，8）
【分析】为了得到3f（x）﹣x•f'（x）的原函数，构造函数g（x）=，g'（x）
=＞＞0，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，因此g（1）＜g（）＜g（2），从而得到f（）的范围，f（x）又是奇函数，那么f（﹣）的取值范围自然就得出来了．
【解答】解：令g（x）=，
当x＞0时，g'（x）=＞＞0，所以g（x）在x＞0上单调增；
g（1）==1，g（2）==4，
∵1＜＜2，∴g（1）＜g（）＜g（2），即1＜g（）＜4．
所以，1＜＜4，∴＜f（）．
因为f（x）是奇函数，所以f（﹣）=﹣f（），f（）=﹣f（﹣），代入上式得：
＜﹣f（﹣）．
所以：f（﹣）∈（，）
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的运算和奇偶性与单调性的综合，解答的关键是构造
函数g（x）=，利用导数研究其单调性．属于难题．
11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的
，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]
【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．
【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，
g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，
若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，
即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，
即恒成立，
即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，
令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，
当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，
即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，
由于h′（1）=0，
∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，
当1≤x≤2时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（1）=1，
∴a≥1．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．
12．（5分）斜率为k的直线l过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F，交抛物线于A，B 两点，点P（x0，y0）为AB中点，作OQ⊥AB，垂足为Q，则下列结论中不正确的是（）
A．ky0为定值B．•为定值
C．点P的轨迹为圆的一部分D．点Q的轨迹是圆的一部分
【分析】求得抛物线的焦点F，设直线l：y=k（x﹣），联立抛物线的方程，设A （x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及向量数量积的坐标表示，即可判断A，B，C，再由直角三角形的性质，即可得到Q的轨迹，即可判断D．
【解答】解：斜率为k的直线l过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F（，0），
设直线l：y=k（x﹣），
联立抛物线的方程y2=2px，
可得﹣﹣=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=，y1y2=﹣p2，
可得y0==，
即ky0=p，故A正确；
•=x1x2+y1y2=•+y1y2=﹣p2=﹣p2，故B正确；
由x0=+=+，y0=，
消去k，可得y02=4p（x0﹣），可得P的轨迹为抛物线的一部分，故C不正确；
在直角三角形OQF中，斜边OF=，则Q的轨迹为以OF为直径的圆的一部分，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及轨迹方程的求法，注意运用代入法和平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点，则a的值为1．
【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出即可．
【解答】解：函数f （x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=+2ax﹣6，x=2为f（x）的一个极值点，
∴f'（2）=2+4a﹣6=0，
∴a=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题．
14．（5分）已知函数y=ax2+bx+c，其中a、b、c∈{1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数共有64种．
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析a、b、c的取法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：函数y=ax2+bx+c，其中a、b、c∈{1，2，3，4}，
则a的取法有4种，b的取法有4种，c的取法也有4种，
则不同的二次函数的个数共有4×4×4=64个；
故答案为：64．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），
顶点B在椭圆上，则=．
【分析】由正弦定理和椭圆的定义可知=，即可．【解答】解：由椭圆方程得：a=5，b=4，c=3．
∵三角形ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，
∴BC+AB=2a=10，
∴由正弦定理可知=
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题．
16．（5分）设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则，或，解得答案．
【解答】解：①若a=0，则f（x）=，
则f′（x）=，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；
②f′（x）=，
令f′（x）=0，则x=±1，
若f（x）无最大值，则，或，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案为：2，（﹣∞，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
三、解答题（70分）
17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．
【分析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y 轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．
【解答】解：①焦点在x轴上，椭圆方程为+=1，c=
设双曲线为﹣=1，m=a﹣4，…（5分）
∵=，易得a=7，m=3…（7分）
∵椭圆和双曲线的焦距为2 ，∴b2=36，n2=4．
∴椭圆方程为+=1，双曲线方程为﹣=1…（9分）
②焦点在y轴上，椭圆方程为+=1，双曲线方程为﹣=1…（12分）
【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
18．（12分）设函数f（x）=ax3﹣4x+4过点P（3，1）．
（1）求函数的极大值和极小值．
（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
【分析】（1）先求出a的值，再求导，根据导数和函数极值的关系即可求出，（2）由（1）可得：函数f（x）在区间[﹣1，2）上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，再求出端点值，比较即可得到函数的最值．
【解答】解（1）∵点P（3，1）在函数f（x）的图象上，
∴f（3）=27a﹣12+4=27a﹣8=1，解得，
∴，∴f'（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
当x＜﹣2或x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜2时，f（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=﹣2时，f（x）有极大值，且极大值为，
当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为．
（2）由（1）可得：
函数f（x）在区间[﹣1，2）上单调递减，在区间[2，3]上单调递增．
∴f（x）min=，又，f（3）=9﹣12+4=1，
∴f（x）max=．
【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间极值最值，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．
（1）若k OA+k OB=4，求直线l的方程；
（2）线段AB的垂直平分线与直线l，x轴，y轴分别交于点D，M，N，求的最小值．
【分析】（1）设直线l方程x=my+1，联立方程组，根据根与系数的关系表示出OA，OB的斜率和，得出m的值；
（2）求出D，M，N三点坐标，得出两个三角形的面积，利用不等式得出比值的最小值．
【解答】解：（1）F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，A（，y1），B（，y2），
由得y2﹣4my﹣4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．
∴k OA+k OB=+==﹣4m=4．
∴m=﹣1，
所以l的方程为x+y﹣1=0．
（2）由（1）可知，m≠0，C（0，﹣），D（2m2+1，2m）．
∴直线MN的方程为：y﹣2m=﹣m（x﹣2m2﹣1），
则M（2m2+3，0），N（0，2m3+3m），
=•|NC|•|x D|=•|2m3+3m+|•（2m2+1）=，
∴S
△NDC
S△FDM=•|FM|•|y D|=•（2m2+2）•2|m|=2|m|（m2+1），
∴==m2++1≥2，
当且仅当m2=，即m2=时取等号．
所以，的最小值为2．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=（a∈R）．
与直线l：x+2y﹣2=0垂直，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点处的切线l
切
求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；若存在极值点x0∈（1，2），求实数a的取值范围．
与直线l：【分析】（Ⅰ）求出y=f（x）在点处的导数值，结合切线l
切x+2y﹣2=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，分a≥0和a＜0讨论，当a＜0时求出原函数的零点，得到函数的单调期间，求出极值点，由极值点x0∈（1，2）列不等式求得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a∈R），
∴，（x＞0，a∈R），
∴，
与直线l：x+2y﹣2=0垂直，
由l
切
得，解得a=1；
（Ⅱ），（x＞0）
当a≥0时，f′（x）＞0在x＞0上恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＜0时，由f′（x）=0，4ax2+1=0，解得，．
由f′（x）＞0，4ax2+1＞0，解得，；
由f′（x）＜0，4ax2+1＜0，解得，．
此时f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为．综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为
．
若存在极值点x0∈（1，2），由函数的单调性知，且a＜0；
由，解得．
∴所求实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．
21．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p 的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N*）．
【分析】（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求导数，求得函数的单调
性，从而可得函数的最大值；
（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；
（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：
，从而可得
．利用叠加法可得结论．
【解答】（1）解：依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]
∵，而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）
∴f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在[0，e﹣1]上为增函数，∴
∴实数m的取值范围为m≤e2﹣2
（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴
显然，函数g（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴函数g（x）的最小值为g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0
（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立
令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：
即，即
所以ln2﹣ln1＜1，，，…，
将以上n个等式相加即可得到：
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：当x＞0时，f（x+1）＞g（x）；
（3）证明：k＜1时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有．
【分析】（1）求出G（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出结论即可；
（3）令F（x）=f（x）+g（x）﹣﹣k（x﹣1），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出不等式即可．
【解答】解：（1）由题意知，…（1分）从而…（2分）
令G'（x）＞0得0＜x＜2…（3分）
所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）…（4分）
（2）令…（5分）
从而…（6分）
因为x＞0，所以H'（x）＞0，故H（x）在（0，+∞）上单调递增…（7分）
所以，当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，
即f（x+1）＞g（x）…（8分）
（3）当k＜1时，
令…（9分）
则有…（10分）
由F'（x）=0得﹣x2+（1﹣k）x+1=0，
解之得，，
…（11分）
从而存在x0=x2＞1，当x∈（1，x0）时，F'（x）＞0，
故F（x）在[1，x0）上单调递增，从而当x∈（1，x0）时，F（x）＞F（1）=0，即…（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．。