【doc】关于LP空间中的几种收敛性

关于LP空间中的几种收敛性
第28卷第2期
2009年6月
《新疆师范大学》(自然科学版)
JournalofXi~iangNormalUniversity
(NaturalSciencesEdition)
33
V o1.28,No.2
Jun.2009
关于LP空问中的几种收敛性
玛哈提?胡斯曼
(薪疆师范大学数理信息学院,新疆乌鲁木齐830054)
摘要:收敛概念是从数列的收敛性到函数列的收敛性,级数收敛,积分序列的收敛性.即分析学研究的出发点就是收敛
性.在现代分析中主要包括:几乎处处收敛,依测度收敛,强收敛,弱收敛等概念,文章对它们的定义和性质进行归纳,并讨论他们
之问的关系和区别.
关键词:几乎处处收敛;依测度收敛;强收敛;弱收敛
中图分类号:O173.1文献标识码:A文章编号:1008—9659(2009)02—0033—04
可测函数列的收敛性主要有:几乎处处收敛,依测度收敛,强收敛,弱收敛.如果收敛性太强,一般情况下
很难实现,就会使其应用大受限制.
1各种收敛性的定义
定义1设厂与{}都是可测集E上的可测函数与可测函数列,若存在BcE有mE=0以及
limf.()一,(z),Vz∈EkE则称{}在E上几乎处处收敛于,,记作,,.
定义2设,与{}都是可测集E上的可测函数与可测函数列,如果对V￡>0有
limmE[I一,l≥"—-o.
￡]一0,则称{}依测度收敛于厂,记作厂".
定义3若x为线性赋范空间,{}为x中的函数列,厂∈X,当limil一厂Il一0,则称函数列{)强
呈
收敛于,,记作厂.
定义4若X为线性赋范空间{X}X,z.∈X,并且limx:.,如果对任何,∈X都有limf(x)—-cc,f—'∞
=
f(x.),则称序列{z}弱收敛于.,记作厂.
2几乎处处收敛与依测度收敛
从几乎处处收敛与依测度收敛的定义中可以看出,几乎处处收敛强调的是除一个零测度集外的点上函
数值的收敛性,而依测度收敛并非指那个点上的收敛,其要点在于点集{z∈EIlf()--f(x)l≥}的测度
应随k趋于无穷或趋于零,而不管此点集的位置状态如何.这就是它们的区别.
定理1(黎斯)设厂与{f}都是可测集E上几乎处处有限的可测函数,则(1)若{,}依测度收敛于厂,
则{}必有子列{^}在E上几乎处处收敛于f;(2)若mE<+cx3,并且{}几乎处处收敛于f,则{}依
[收稿日期]2O08—12—17
[作者简介]玛哈提?胡斯曼(1959一),男,哈萨克族,新疆阿勒泰人,主要从事函数论方面的研究.
34新疆师范大学(自然科学版)2009正
测度收敛于.厂.
此定理的结论(1)可知,从依测度收敛未必推出几乎处处收敛口].
如果加上条件"{}在E上几乎处处单调增加",则由{}依测度收敛于,可以得出{fn)在E上几乎处
处收敛于厂.因为{厂)在E上依测度收敛于厂,故存在子列{^}在E上几乎处处收敛
于厂.又因{)在E上
几乎处处单调增加,所以{f}也是几乎处处单调增加.
令E.一EEf],E一E[>什]A—UE,则mA一0.从而集合E\A处处有厂≤≤.,
并且lim^一厂,故lira一厂在集合E\A成立,即{}在E上几乎处处收敛于,.
定理1的结论(2)中条件mE<+..,不能改为mE=+oo.若mE一+..,则结论不一定成立,例如令E
一
[.,+..)对函数列()一{喜::..),显然有{)几乎处处收敛于1,i~_EEl一1J≥e]一
(咒,+..),从而E[I1≥￡]一+..≠0.
在mE<+..的条件下,E上几乎处处收敛蕴含依测度收敛,但是在mE<+oo的条件下,E上依测度收
敛不蕴含几乎处处收敛,因此在有限测度空间中,依测度收敛确实比几乎处处收敛的条件弱.
在几乎处处收敛的意义下,函数列依测度收敛的极限是唯一的.
推论1若{)在E上同时依测度收敛于厂与g,则必有f—gn?于E.
2强收敛与几乎处处收敛
漱"~"f(z)----O,xE[0,1],一
几乎处处收敛于厂().而把与都在L.中的元素时,有
(,)一lI一fII.一{II一厂I)专J0
一一十..(n—oo)
故几乎收处收敛不能推出强收敛,反之强收敛也不能推出几乎处处收敛嘲.
3强收敛与依测度收敛
定理2设函数列{}与函数厂均定义在数集EcL[血,6]上的可测函数.若函数列{f}强收敛于函
数厂,则{fo}依测度收敛于,.反之不一定.
证明设厂_塑+即Il～fII一0(一..),则fI一厂Izdx—o(一cx3).对v>o,令A()
一
E[1fo(z)一厂()I≥],贝0
II()一厂(z)I.dx≥lf(z)一,(-T)f.dxJEJA()
≥.mA()
因为I}()一厂()I.d.r—O(n一..),所以A()一O(n一..).
由于>0,所以A()一0(,2一oo),即对V>0,有limmE[1If()一厂('z)I≥]一0.
故厂.反之,依测度收敛不一定强收敛.
即
,/
z
/L厂
ll
/L
.g一
则
≤
Z
≤
1一1一n或<
O
一<
O
第2期玛哈提?胡斯曼关于Lr空间中的几种收敛性35 f0z一0或≤≤1
例如作E=V0,13上的函数列{f},令()={
0<z<二
显然{}依测度收敛于零,但是当一o.时,对任何正数P有l()l一一一..(0--~oo)
0JEJ
所以{}并不强收敛于零.
4弱收敛与几乎处处收敛
定理3设{},/∈L.[口,6],若函数列{)几乎处处收敛于函数,且II≤M,则必有函数列{}
弱收敛于函数.反之不一定成立.
5弱收敛与依测度收敛
定理4设{},fEL[口,6],(1≤<o.).设()厂(z),若{}一致有界,则()三厂().
证明只证明{(z)g(z)}满足维它利定理的条件即可Ⅲ.但是,弱收敛未必是依测度收敛.
例如取E一[0,丌],(z)一sinnx,厂()三0,根据黎曼一勒贝格定理知,对任何可积函数g()都
有
,
limlg(z)sinnxdx一0"—+∞J0
9,Nx~Lz(o,丌)中的g()有上式成立,即有三0.
但mE[l一厂l≥1]一,hEl-Ill≥1]
一mE[zfsin船≥1门
=仇[詈,]:詈丌.
即{}非依测度收敛于零.
6强收敛与弱收敛
定理5设{)为赋范线性空间X中的点列,则(1)zz.(一..)蕴含z.(一..);(2)当
dimX<+..时,弱收敛与强收敛等价.
证明(1)因为对VfEX,有
If(x)一厂(z)l—If(x一z)I≤ll厂llIIz一zII,所以结论成立.
(2)设dimx一悬,(.,.…)为x的一个基,zz.(一∞),并记:壹.:,z:壹口.由
于VfEX,f(sc)一厂(),特别地,取厂,,…,^满足f(P)一1,f(e)一0,(≠m),则(z):口,
()一ai.因此,由f(工)一f(z)推出口一a(一o.).
口神一12lIlII一0,("一∞)
∑
≤
∑
∞
一
36新疆师范大学(自然科学版)2009焦
说明定理中(1)的逆不真.
例如设∈z(1<P<..)是第个坐标为1,其余坐标为0的向量,则--呈0,但是{e)是一列单位向量且liralleI_≠0,即不是强收敛于0,故弱收敛不蕴含强收敛.
推论2[]设(z),,(z)∈Lp(1≤P≤o.)
FllimII一II川
推论3嘲
一0的充要条件是(z)厂(z)
设(z),厂(z)∈Lp(1≤P<..),则liml『一f一0的充要条件是厂且
户
推论4rz设(z),厂(z)∈LP'(1≤户≤.o),若一f口.P:PE,则在L中厂三厂的充要条件是liraII一_I厂.
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Mahat?HUSUMAN
(CollegeofMaths--physicsandInformationScience,XinjiangNormalUniversity, UrumqiXin3iang830O54)
Abstract:Therestrainingconceptwasfromthesequenceastringencytothelettersequenceast ringen—
cy,theseriesconvergence,lytheanalyticsresearchst artingpointis
anastringency.Mainlyincludesinthemodernanalysis:Nearlyeverywhererestrains,accordi ngtomeasure
restraining,thestrongconvergence,conceptsandSOonweakconvergence,thisarticlediscus sestheirdefini—
tionandthenaturecarriesontheinduction.anddiscussesbetweenthemtherelationsandthedif ference.
Keywords:Nearlyeverywhererestrains;AccordingtOmeasurerestraining;Strongconverg ence;
Weakconvergence
,
一
则
厂
一。