〖汇总3套试卷〗上海市长宁区2020年九年级上学期期末教学质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）
A ．-1
B ．-3
C ．3
D ．6
【答案】C
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．
【详解】∵关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，
∴()()22424120b ac a =-=--⨯⨯-=，
解得：3a =．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2．四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是ABC ∆的内心，124AIC ∠=，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数为( )
A ．56°
B ．62°
C ．68°
D ．48°
【答案】C 【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠，从而求得
()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】∵点I 是ABC 的内心
∴2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠
∵124AIC =︒∠
∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠
()1802180AIC =︒-⨯︒-∠
68=︒
∵四边形ABCD 内接于⊙O
∴68CDE B ==︒∠∠
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．
3．已知线段a 是线段b ，c 的比例中项，则下列式子一定成立的是（ ）
A ．a b b c =
B ．a c b a =
C ．a c c b =
D ．b c a b
= 【答案】B
【解析】根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a ：b=b ：c ，即b 2=ac ，那么b 叫做a 与c 的比例中项．
【详解】A 选项，由
a b b c =得，b 2=ac,所以b 是a,c 的比例中项，不符合题意； B 选项，由a c b a
=得a 2=bc,所以a 是b,c 的比例中项，符合题意； C 选项，由a c c b
=，得c 2=ab,所以c 是a,b 的比例中项，不符合题意； D 选项，由
b c a b
=得b 2=ac,所以b 是a,c 的比例中项，不符合题意； 故选B.
【点睛】
本题考核知识点：本题主要考查了比例线段．解题关键点：理解比例中项的意义.
4．如图，ABC ∆中，
70CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到ABC ∆的位置，使得//CC AB '，则BAB '∠的度数为（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．70︒
【答案】B 【分析】根据//CC AB '，得出∠BAC=∠C ′CA ，利用旋转前后的图形是全等，所以△ACC ′是等腰三角形即可求出∠CC ′A ，∠CC ′A+∠C ′AB=180°即可得出旋转角度，最后得出结果．
【详解】解：∵//CC AB '
∴∠BAC=∠C ′CA ，∠CC ′A+∠C ′AB=180°
∵70CAB ∠=︒
∴∠C′CA=70°
∵△ABC旋转得到△AB′C′
∴AC=AC′
∴∠ACC′=∠AC′C=70°
∴∠BAC′=180°-70°=110°
∴∠CAC′=40°
∴∠BAB′=40°
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，旋转前后的图形是全等的，正确的掌握旋转的性质的解题的关键．
5．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】先计算出根的判别式的值，根据∆的值就可以判断根的情况．
【详解】∆＝b2-4ac＝1-4×1×1＝-3
∵-3＜0
∴原方程没有实数根
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．6．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（）．
A ．12
B ．33
C ．313-
D ．314
- 【答案】C
【分析】设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL”证明Rt △AB′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B′AE ，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，
在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中，
AE AE AB AD '=⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE （HL ），
∴∠DAE ＝∠B′AE ，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE ＝12
×60°＝30°， ∴DE ＝33 ∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（
12×1×33）＝1﹣33． 故选C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE ＝∠B′AE ，从而求出∠DAE ＝30°是解题的关键，也是本题的难点．
8．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为
9m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A ．3
B ．3m
C ．3332⎛⎫ ⎪⎝⎭m
D ．332⎛⎫ ⎪⎝⎭
m 【答案】C 【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE =CD+DE 即可得出结论．
【详解】∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，AD ∥BE ，
∴四边形ABED 是矩形，
∵BE =9m ，AB =1.5m ，
∴AD =BE =9m ，DE =AB =1.5m ，
在Rt ACD 中，
∵∠CAD =30°，AD =9m ， ∴330933CD AD tan =︒==， ∴33 1.5CE CD DE =+=(m ) ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 9．已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ） A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120° 【答案】D
【解析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=1，
在Rt △OAD 中，
∵OA=10，OD=1，22OA OD -=53
∴tan ∠1=3AD OD
=1=60°， 同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
10．2018年是江华县脱贫攻坚摘帽决胜年，11月25号市检查组来我县随机抽查了50户贫困户，其中还有1户还没有达到脱贫的标准，请聪明的你估计我县3000户贫困户能达到脱贫标准的大约有（）户A．60 B．600 C．2940 D．2400
【答案】C
【分析】由题意根据用总户数乘以能达到脱贫标准所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
49
⨯=（户），
30002940
50
答：估计我县3000户贫困户能达到脱贫标准的大约有2940户.
故选：C．
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体，注意掌握总体平均数约等于样本平均数是解题的关键．
11．已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－1．故选A．
12．若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）
A．5B．﹣1C．4D．18
【答案】A
【解析】∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴-4-2b+c=3，即c-2b=7，
∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.
故选A.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．点()4,7P -与()2,7Q m -关于原点对称，则m =__________．
【答案】2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【详解】解：∵点P （-4，7）与Q （1m ，-7）关于原点对称，
∴-4=-1m ，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键．
14．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是5.8cm ，那么A 、B 两地的实际距离是_____km ．
【答案】58
【解析】设A 、B 两地的实际距离是x 厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x 的值，再进行换算即可得出答案．
【详解】设A.B 两地的实际距离是x 厘米，
∵比例尺为1：1000000，A.B 两地的图上距离是5.8厘米，
∴1：1000000=5.8：x ，解得：x=5800000，
∵5800000厘米=58千米，
∴A 、B 两地的实际距离是58千米.
故答案为58.
【点睛】
考查图上距离，实际距离，和比例尺之间的关系，注意单位之间的转换.
15．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．
【答案】()1,2
【解析】二次函数2
()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程
2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义．
16．如图,∠MON =90°,直角三角形ABC 斜边的端点A ,B 别在射线OM ,ON 上滑动,BC =1,∠BAC =30°,连接OC .当AB 平分OC 时,OC 的长为______．
【答案】23． 【分析】取AB 中点F ，连接FC 、FO ，根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB 垂直平分OC ，利用特殊角的三角函数即可求得答案.
【详解】如图，设AB 交OC 于E ，取AB 中点F ，连接FC 、FO ，
∵∠MON =∠ACB =90°
∴FC=FO(斜边上的中线等于斜边的一半)，
又AB 平分OC ，
∴CE=EO ，AB ⊥OC (三线合一)
在Rt CBE 中，BC=1, ∠ABC=90BAC 903060∠︒-=︒-︒=︒，
∴sin 601
CE CE BC ︒==， ∴3CE =
∴23OC =
故答案为：23
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造合适的辅助线是解题的关键．
17．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是______．
【答案】2200
1y x =+（）或2200400200y x x =++ 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x 表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．
【详解】解：设增长率为x ，则
五月份的营业额为：200(1)y x =+，
六月份的营业额为：22202004002(1)000x x y x +==++；
故答案为：2200(1)y x =+或2200400200y x x =++.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）=a （1±x ）1．增长用“+”，下降用“-”．
18．已知反比例函数y ＝
2k x -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是_____． 【答案】2k >.
【解析】分析： 根据“反比例函数k y x =
的图象所处象限与k 的关系”进行解答即可. 详解：
∵反比例函数2k y x
-=的图象在第一、三象限内， ∴20k ->，解得：2k >.
故答案为2k >. 点睛：熟记“反比例函数k y x =的图象所处象限与k 的关系：（1）当0k >时，反比例函数k y x
=的图象在第一、三象限；（2）当k 0<时，反比例函数k y x =
的图象在第二、四象限.”是正确解答本题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题）
19． “道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70/km h ”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边25m 处有“车速检测仪O ”，测得该车从北偏西60︒的A 点行驶到北偏西30的B 点，所用时间为32
s ．
（1）试求该车从A 点到B 点的平均速度(结果保留根号)；
（2）试说明该车是否超速．
【答案】（1）1003/m s ；（2）没有超过限速． 【分析】（1）分别在Rt AOC 、Rt BOC △中，利用正切求得AC 、BC 的长，从而求得AB 的长，已知时间路程则可以根据公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
【详解】解：（1）在Rt AOC 中，tan 25tan 60253AC OC AOC m =∠=⨯︒=，
在Rt BOC △中，253tan 25tan 30BC OC BOC m =∠=⨯︒=， 503()3
AB AC BC m ∴=-=． ∴小汽车从A 到B 的速度为50331003(/)329
m s ÷=． （2）70100017570///36009
km h m s m s ⨯==， 又1003173.2175
999
≈<， ∴小汽车没有超过限速．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．． 20．（1）如图①，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 外，比较A ∠与BDC ∠的大小，并说明理由；
（2）如图②，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 内，比较A ∠与BDC ∠的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点()1,0M ，()4,0N ，点P 在y 轴上，试求当MPN ∠度数最大时点P 的坐标.
【答案】（1）B BAC DC >∠∠；理由详见解析；（2）BDC BAC ∠>∠；理由详见解析；（3）()10,2P ，
()30,2P -
【分析】（1）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（2）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（3）根据圆周角定理，结合（1）（2）的结论首先确定圆心的位置，然后即可得出点P 的坐标.
【详解】（1）CD 交O 于点E ，连接BE ，如图所示：
BDE ∆中BEC BDC ∠>∠
又BAC BEC ∠=∠
∴B BAC DC >∠∠
（2）延长CD 交O 于点F ，连接BF ，如图所示：
BDF ∆中BDC BFC ∠>∠
又BFC BAC ∠=∠
∴BDC BAC ∠>∠
（3）由（1）（2）结论可知，当OP=2.5时，∠MPN 最大，如图所示：
∴OM=2.5，MH=1.5 ∴()()2222 2.5 1.52OH OM MH =-=
-= ∴()10,2P ，()20,2P -
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
21．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB =，6BC =，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将EDC ∆绕点C 顺时针方向旋转，记旋转角为α．
① ②
③ ④
（1）问题发现：当0α=︒时，
AE BD
= ． （2）拓展探究：试判断：当0α︒≤<360︒时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． （3）问题解决：当EDC ∆旋转至,,A D E 三点共线时，如图③，图④，直接写出线段AE 的长．
【答案】（1）103
；（2）无变化，理由见解析；（3）图③中311AE =；图④中311AE =； 【分析】（1）问题发现：由勾股定理可求AC 的长，由中点的性质可求AE ，BD 的长，即可求解； （2）拓展探究：通过证明△ACE ∽△BCD ，可得103
AE CE BD CD ==； （3）问题解决：由三角形中位线定理可求DE=1，∠EDC=∠B=90°，由勾股定理可求AD 的长，即可求AE 的长．
【详解】解：（1）问题发现：
∵∠B=90°，AB=2，BC=6，
∴222262210AB BC ++=，
∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，
∴10，BD=CD=3， ∴10AE BD =， 10 （2）无变化；证明如下：
∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴由旋转的性质，12
CE CD CA CB ==，ECD ACB ∠=∠， ∵ECA ECD α∠=∠+，DCB ACB α∠=∠+，
∴ECA DCB ∠=∠，
∴ECA DCB ∆∆∽， ∴10AB CE BD CD ==；
（3）如图③，
∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，
∴DE=12AB=1，DE ∥AB ， ∴∠CDE=∠B=90°，
∵将△EDC 绕点C 顺时针方向旋转，
∴∠CDE=90°=∠ADC ，
∴AD=2240931AC CD -=-=，
∴AE=AD+DE=311+；
如图④，
由上述可知：AD=2240931AC CD -=-=，
∴311AE AD DE =-=-；
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以斜边AB 上一点O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，交AC 于点E ，交AB 于点D ，且∠BEC=∠BDE ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接OC 交BE 于点F ，若
23CE AE =，求OF CF
的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）35
【解析】试题分析：（1）连接OE ，证得OE ⊥AC 即可确定AC 是切线；
（2）根据OE ∥BC ，分别得到△AOE ∽△ACB 和△OEF ∽△CBF ，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
试题解析：解：（1）连接OE ．
∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ．
∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．
∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE ，∴∠CBE=∠OEB ，∴OE ∥BC ，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线．
（2）∵OE ∥BC ，∴△AOE ∽△ABC ，∴OE ：BC=AE ：AC ．
∵CE ：AE=2：3，∴AE ：AC=3：1，∴OE ：BC=3：1．
∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△CBF ，∴35
OF OE CF BC ==．
点睛：本题考查了切线的判定，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直． 23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （4，2），C （3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出将△ABC 向下平移5个单位后得到的△A 1B 1C 1；
（2）将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 2B 2C 2，并直接写出点B 旋转到点B 2所经过的路径长．
【答案】（1）图见解析；（25．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2，然后计算出OB 的长后利用弧长公式计算点B 旋转到点B 2所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
OB＝22
24
+＝25
点B旋转到点B2所经过的路径长＝9025
π⋅⋅
＝5π．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24．如图，已知AB是O的一条弦，请用尺规作图法找出AB的中点D．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作线段AB的垂直平分线即可得到AB的中点D.
【详解】如图，作线段AB的垂直平分线即可得到AB的中点D.
【点睛】
此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，掌握画图方法是解题的关键.
25．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
(1)证明：△ABD≌△BCE；
(2)证明：△ABE∽△FAE；
(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD ＝2．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS 证得△ABD ≌△BCE ；
（2）由△ABD ≌△BCE 得∠BAD=∠CBE ，又∠ABC=∠BAC ，可证∠ABE=∠EAF ，又∠AEF=∠BEA ，由此可以证明△AEF ∽△BEA ；
（3）由△ABD ≌△BCE 得：∠BAD=∠FBD ，又∠BDF=∠ADB ，由此可以证明△BDF ∽△ADB ，然后可以得到AD BD =BC DF
，即BD 2=AD•DF=（AF+DF ）•DF． 【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ，
在△ABD 与△BCE 中
∵ABC=BAC=C BD=CE AB BC =⎧⎪∠∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABD ≌△BCE （SAS ）；
（2）由（1）得：∠BAD ＝∠CBE ，
又∵∠ABC ＝∠BAC ，
∴∠ABE ＝∠EAF ，
又∵∠AEF ＝∠BEA ，
∴△AEF ∽△BEA ；
（3）∵∠BAD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠FDB ，
∴△ABD ∽△BDF ， ∴=AD BD BC DF
， ∴BD 2＝AD•DF＝（AF+DF ）•DF＝8，
∴BD ＝2．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质.
26．已知，直线23y x =-+与抛物线2y ax =相交于A 、B 两点，且A 的坐标是(3,)m -
（1）求a ，m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x 2，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）．
【分析】（1）先A （-3，m ）代入y=-2x+3可求出m ，从而确定A 点坐标，再把A 点坐标代入线y=ax 2可计算出m ；
（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x 2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）把A 的坐标（-3，m ）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A 点坐标为（-3，9），
把A （-3，9）代入线y=ax 2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x 2，根据抛物线特点可得：对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键．
27．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，过AC 上一点D 作DE ⊥AB 于E ，已知AB =10cm ，AC =8cm ，BE =6cm ，求DE ．
【答案】3cm
【分析】先根据勾股定理求出BC 的长，再根据题意证明△ABC ∽△ADE ，得到
DE AE BC AC =，代入即可求解． 【详解】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8
∴22AB AC -∵BE=6
∴AE=4
∵DE ⊥AB
∴∠C=90°=∠AED
又∠A=∠A
∴△ABC ∽△ADE ∴DE AE BC AC
= ∴4638
AE DE BC AC ==⨯=cm ．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定方法．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．-13
D ．13
【答案】B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】根据绝对值的性质得：|-1|=1．
故选B ．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，:3:2AB AD =，60ADB ∠=︒，那么sin A 的值等于（ ）
A ．36-
B ．32
C ．322+
D ．332+ 【答案】D
【分析】由题意首先过点A 作AF ⊥DB 于F ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，设DF=x ，然后利用勾股定理与含30°角的直角三角形的性质，表示出个线段的长，再由三角形的面积，求得x 的值，继而求得答案．
【详解】解：过点A 作AF ⊥DB 于F ，过点D 作DE ⊥AB 于E ．
设DF=x ，
∵∠ADB=60°，∠AFD=90°，
∴∠DAF=30°，
则AD=2x ，
∴3，
又∵AB ：AD=3：2，
∴BF =，
∴31x DE x ⋅=）
解得：3
DE x =，
∴6
DE sin A AD ∠=
=. 故选：D.
【点睛】 本题考查平行四边形的性质和三角函数以及勾股定理．解题时注意掌握辅助线的作法以及注意数形结合思想与方程思想的应用．
3．下列算式正确的是（ ）
A ．110--=
B ．()33--=
C ．231-=
D ．|3|3--= 【答案】B
【解析】根据有理数的减法、绝对值的意义、相反数的意义解答即可.
【详解】A. 112--=-，故不正确；
B. ()33--=，正确；
C. 231-=-，故不正确；
D. |3|3--=-，故不正确；
故选B.
【点睛】
本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的减法法则、绝对值的意义、相反数的意义是解答本题的关键.
4．一人乘雪橇沿坡度为1S （米）与时间t （秒）之间的关系为S=10t+2t 2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）
A ．72米
B ．36米
C ．
D ． 【答案】B
【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.
【详解】当4t =时，210272s t t =+=，
设此人下降的高度为x 米，过斜坡顶点向地面作垂线，
在直角三角形中，由勾股定理得：)22272x +=，
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.
5．点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2 【答案】D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上,可得:2
28
a=,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上,可得:
2
28
a=,
24
a=,
解得:2
a=±,
故选D.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征. 6．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米1534石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得254粒，其中夹有谷粒28粒，则这批谷米内夹有谷粒约是（）A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【解析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，再乘以1534石，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：1534×28
254
≈169（石），
答：这批谷米内夹有谷粒约169石；
故选B．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
7．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（）
A．cos10°B．cos20°C．cos30°D．cos40°
【答案】A
【解析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．
【详解】∵10203040
︒<︒<︒<︒，
∴10203040cos cos cos cos ︒>︒>︒>︒．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．
8．目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则根据题意可得方程（ ）
A ．10000(12)10926x +=
B ．210000(1)10926x +=
C ．210000(12)10926x +=
D ．10000(1)(12)10926x x ++=
【答案】B
【分析】根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则 210000(1)10926x +=；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程.
9．已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，则∠D 的大小是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．135° 【答案】C
【分析】根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件可得∠A ：∠B ：∠C ：∠D=1：2：3：2，∠B+∠D=180°，由此即可求得∠D 的度数.
【详解】∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，
∴∠A ：∠B ：∠C ：∠D =1：2：3：2，
而∠B +∠D =180°，
∴∠D =24
×180°=90°． 故选C ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练运用圆内接四边形对角互补的性质是解决问题的关键.
10．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：因为111A B C 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，
故选B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 11．已知抛物线y ＝x 2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）
A ．y ＝（x+2）2+3
B ．y ＝（x ﹣2）2+3
C ．y ＝x 2+1
D ．y ＝x 2+5
【答案】A
【解析】结合向左平移的法则，即可得到答案.
【详解】解：将抛物线y ＝x 2＋3向左平移2个单位可得y ＝(x ＋2)2＋3，
故选A.
【点睛】
此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答. 12．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1＝0的一个根为0，则m 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．1或﹣1
【答案】C
【分析】将0代入一元二次方程中建立一个关于m 的一元二次方程，解方程即可，再根据一元二次方程的定义即可得出答案.
【详解】解：依题意，得
m 2﹣1＝0，且m ﹣1≠0，
解得m ＝﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根及一元二次方程的定义，准确的运算是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是
㎝1． 【答案】14
【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=12ab=12
×6×8=14cm 1， 故答案为14．
14．将数12500000用科学计数法表示为__________．
【答案】71.2510⨯
【分析】根据科学记数法的定义以及应用将数进行表示即可．
【详解】712500000 1.2510=⨯
故答案为：71.2510⨯．
【点睛】
本题考查了科学记数法的定义以及应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键．
15．如图,∠MON =90°,直角三角形ABC 斜边的端点A ,B 别在射线OM ,ON 上滑动,BC =1,∠BAC =30°,连接OC .当AB 平分OC 时,OC 的长为______．
【答案】3
【分析】取AB 中点F ，连接FC 、FO ，根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB 垂直平分OC ，利用特殊角的三角函数即可求得答案.
【详解】如图，设AB 交OC 于E ，取AB 中点F ，连接FC 、FO ，
∵∠MON =∠ACB =90°
∴FC=FO(斜边上的中线等于斜边的一半)，
又AB 平分OC ，
∴CE=EO ，AB ⊥OC (三线合一)
在Rt CBE 中，BC=1, ∠ABC=90BAC 903060∠︒-=︒-︒=︒，
∴sin 601
CE CE BC ︒==， ∴3CE =
∴23
OC=
故答案为：23
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造合适的辅助线是解题的关键．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则AB的长为____．
【答案】2π
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【详解】解：如图所示：连接OA、OB．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10，
∴∠AOB＝360
5
︒
＝72°，
∴AB的长为：72?10
2
360
π
π
⨯
=．
故答案为：2π．
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
17．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为__________cm．。